Diezmado e Interpolación, Apuntes de Programación de Bases de Datos

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UPC / GPS^

Señales y Sistemas (SIS) ‐ DSE

Diezmado e Interpolación

Diezmado e interpolaciónT6 Señales y Sistemas (SIS)

N

N

diezmador^ (N=3)

??^ filtro interpolador x[n]n x[Nn]n

intercalador de ceros

(N=3) ?^ ??

n ?^

?^ ??…

Descomposición teórica del diezmadoT6 Señales y Sistemas (SIS)

x[n]

n y[n]=v[Nn]

n

2. eliminarmuestras

Secuencia intermedia:dondet[n]

n [ ]^ 0,^ ,^1

[ ]^

[ ]^ [ ]

x n^ n^^0

N^ N

v n^

x n^ t n ^ ^  otro^ n ^

^

^ 

^

^

[ ]^ [^

N^ j^ knN ] Nr k t n^ n^ x[n]^ y[n]=x[Nn]N  ^  rN^ e  ^   

v[n]=x[n]∙t[n]

n

1. anularvalores (N=3)

Análisis frecuencial del diezmadoT6 1. Transformada de la secuencia intermedia2. Transformada de la secuencia diezmada: y[n]=x[Nn]=v[Nn] Señales y Sistemas (SIS)

^  [^ ] 12 2

(^20) 1

1 2 0

(^ )^ [ ]

[ ]

[ ]

N t n N j^ kN kn j^ Fn^

j^ Fn

n^

n^ k N^

N j^ F^ n k^ n^

k

V F^ v n e

x n

e^

eN k x n e^

X^ F

N^

N^

 N



 

 ^

^ 



^

^  ^ ^

 ^   

^  

^

^

^ ^  ^

^

^

^

^ 

 ^

2

2 1 2

0

(^ )^ [ ]

[^ ]^1

j^ Fn^ [ ]

j^ Fn n^

n

N j^ F m Nm

k

Y F^ y n e

v Nn e

F^

F^ k v m e^

V^

XNN N^ N



 ^ ^ 

 ^

 ^

  

 ^

^

   ^

^

^ ^

^ ^

^ 

^ ^

^ 

^

^

réplicas espectralescada 1/N

^ m^ Nn ^ posible, ya que[^ ] 0 v m^ m^ Nn ^ ^

expansión frecuencial xN

x[n]^ y[n]=x[Nn]^ N

T6^ ^ Si^ 𝐵௫^ Señales y Sistemas (SIS)

ᇱ^ ൌ 𝑁 ൉ 𝐵൐ 0.5௫^

(i.e., si^ 𝐵൐௫^

ଵ ) habrá aliasing:ଶே Y F  

F

1

2

-^

A/3 ᇱ0.5^ 𝐵௫

Aliasing (1)

¿Lo escuchamos?

Aliasing (2)T6 Señales y Sistemas (SIS)

Original, fm = 44.1 kHz (CD) https://www.youtube.com/watch?v=k38H25fDCb Diezmada por N • N= 2, fm’ = 22 kHz • N= 4, fm’ = 11 kHz • N= 8, fm’ = 5.5 kHz • N= 16, fm’ = 2.8 kHz

#%% Load audiosf, data = wavfile.read('Milstein.wav')data=data/215x = data[0:10sf,:]print('Original sampling frequency is ',sf, 'Hz')sound(x, sf=sf)#%%Decimation by 2, SAMPLING FREQUENCY IS 22 kHzy1 = x[::2,:]fs = int(0.5sf)print('sampling frequency is ',fs, 'Hz')sound(y1, sf = fs)wavfile.write('Decimated_by_2.wav', fs, (y12*15).astype('int16'))

Aliasing (4)T6 Señales y Sistemas (SIS)

https://www.youtube.com/watch?v=k38H25fDCb4Original, fm = 44.1 kHz (CD)

-^ N= 2, fm’ = 22 kHz •^ N= 4, fm’ = 11 kHz •^ N= 8, fm’ = 5.5 kHz •^ N= 16, fm’ = 2.8 kHz

Filtrada antesde diezmar

Diezmada:

b, a = signal.iirdesign(wp = 1/2.05, ws=1/2.0, gstop= 50, gpass=0.1, ftype='ellip')z = np.zeros_like(x)z[:,0] =signal.lfilter(b, a, x[:,0])z[:,1] =signal.lfilter(b, a, x[:,1])sound(z[::2,:], sf=fs)wavfile.write('Filtered_and_dec_by_2.wav',fs, (2*15z[::2,:]).astype('int16'))

Relación con el entorno analógicoT6 Señales y Sistemas (SIS)

)t(x

)t(y

A/D^

D/A

N

𝑓௠ 𝑓ൌ ௖ 2

ᇱ𝑓௠𝑓′ ൌ (^) ௖ 2 𝑓௠ᇱ (^) 𝑓ൌ ௠𝑁 ]n[x^ diezmado

]Nn[x]n[y 

‐𝑓௢

f

F^

F Suponiendo que nose produce aliasing:௙೚^ 𝑁^ < 0.5௙೘

f

𝑓௢^

‐𝑓𝑓௢^ ௢ 𝑓௙೚௢ ‐ 𝑁 𝑁 ௙೘ 𝑓௠ muestras cadaT=1/f^ seg.m^ m^ 𝑓௢ 𝑓௠

muestras cadaNT= N/fseg.m^ m^

Ejemplo de diezmado 2D (2)T6 Señales y Sistemas (SIS)

F^1

(-0.5,0.5) F^2 (0.5,0.5)

(-0.5,-0.5) (0.5,-0.5)^

F^2 F(0.5,0.5) 1

Extensión 2D de la TF:imagen original

Diezmada (M=N=2)Réplicas y expansión frecuencial

X = np.log10(1+np.abs(fft2(x,(512,512))))Xc = fftshift(X)plt.imshow(Xc, cmap='jet')

y1 = x[::2, ::2]Y1 = np.log10(1+np.abs(fft2(y1,(512,512))))plt.imshow(fftshift(Y1), cmap='jet')

Ejemplo de diezmado 2D (3)T6 Señales y Sistemas (SIS)

Original^

Filtrada paso bajo y diezmada F 2 F^1

F^2

F^1

z = convolve2d(x, 1/9*np.ones((3,3)))y2 = z[::2, ::2]Y2 = np.log10(1+np.abs(fft2(y2,(512,512))))plt.imshow(fftshift(Y2), cmap='jet')

X = np.log10(1+np.abs(fft2(x,(512,512))))Xc = fftshift(X)plt.imshow(Xc, cmap='jet')

Análisis frecuencial de la interpolaciónT6 1. Intercalado de ceros2. Filtrado: y[n]=v[n]*h[n]^ (^ ) Señales y Sistemas (SIS)

(^ )^

(^ )^ (^

)^ (^ ) Y F^ V F H F

X NF H F ^



,^ ,

[ ]0,^

n otherwise x^ n^

mN^ m ^ ^ v n N

^ ^

^ ^  ^  

compresión frecuencial en un factor N‐‐ no hay aliasing !!!! ‐‐

^ ^

^ 

2

2

2

[ ]^

[^ ]^

[^ ]

j^ Fn^

j^ FNm^

j^ FNm

n^

m^

m

V^ F^

v n e^

v mN e^

x m e^

X^ NF







^

^

 ^

^



^

^



^

^

^

^

^

EsquemaT6 Señales y Sistemas (SIS)

H(F) x[n] v[n] y[n]

1. intercalarceros 2. calcularde valores

F

1. compresiónfrecuencial 2. filtrado

X(F)^ F

Y F ^ H F ^ ^ ^

X FN  ^ 

Y F ^ H FV F ^ ^ ^ 

V F ^ X FN ^ ^ ^  ^ ^1 0

1 0

1 0 1/N^

2/N

n

n ?^?^? (^)?

1 0

F

N f=1/2Nc^

v[n]^

y[n] x[n]^

HN

T6^ Señales y Sistemas (SIS)

19

Relación con el entorno analógico^ )t(x^

)t(y

A/D^

D/A

x[n]^ N interpolación

y[n] f

F^

F

f

𝑓௠ 𝑓ൌ ௖ 2

ᇱ𝑓௠𝑓′ ൌ (^) ௖ 2

𝑓௠^

ᇱ^ 𝑓ൌ 𝑓𝑁௠௠^

‐𝑓𝑓௢^ ௢

௙೚𝑓௢- ௙ே೘^ 𝑓𝑁௠^

‐𝑓𝑓௢^ ௢

Ejemplo de interpolación (1)T6 Señales y Sistemas (SIS)

[^ ,^ ] x m n x = plt.imread('lena.bmp')M, N = np.shape(x)plt.figimage(x, cmap='gray')

1. Intercalado de ceros v = np.zeros((2M, 2N))v[::2, ::2] = xplt.figimage(v, cmap='gray')