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PROBLEMA 1
Un acero contiene 8,5 % en peso de Ni en el centro de un grano de Fe C.C.C. y
8,8% en el límite del grano. Si los dos puntos están separados 40 μ m ¿Cual es el flujo de
átomos entre estos puntos a 1200 ºC?.
a = 0,365 nm MaNi = 58,71 gr/mol MaFe = 55,85 gr/mol
Do = 0,77·
- m
2 / s E = 0,465 · 10
- J / at k = 13,8 · 10 - J / at K
Para determinar el flujo de átomos, sólo hace falta aplicar la 1ª ley de Fick x
c J =-D ∂
Es necesario hallar D, x
c
∂
y conocer las concentraciones en porcentaje atómico y no en
peso. Calculemos pues los porcentajes atómicos en el centro del grano y en el límite del mismo.
El número de átomos en una masa "M" será proporcional al % en peso, e inversamente
proporcional a la masa atómica. Luego:
Ni: % at. en la superficie 8,5 / 58,71 = 0,
Fe: % at. en la superficie 91,5 / 55,85 = 1,
Luego la proporción de átomos de Ni, será:
x 100 =8,1%at.de Ni 0,144+1,
Haciendo lo mismo en el límite de grano se obtiene:
Ni ∝
Fe ∝
% atómico de Ni = 8.4 %
La concentración en átomos/μm
3 será:
m
at. =6,91 10 (0,365 10 )
4 x0, C =
m
at. =6,66 10 (0,365 10 )
4 x0, C =
3
9 limite - 3 3
3
9 centro - 3 3
μ
μ
Nótese que se ha determinado la concentración en 1/μm
3 y no en 1/m
3 al estar refi-
riéndonos a un grano cuyos tamaños son muy pequeños, lo lógico es utilizar la μm y no el m.
Por otra parte, se ha supuesto que en el límite de grano también existe la estructura c.c.c. para
poder determinar la concentración.
m^ s
at. J=- 910 (- 62510 )=5,6 10
m
at. =- (^62510) 40 m
x
c
s
m
s
m D=Doe =0,77 10 e = (^910)
2
4
4
2 13,8 10 1473 - 15
0,465 10
E
⋅ −
− 2 3 910
PROBLEMA 2
La difusividad del Al en Cu es 2,6.
- m
2 / s a 500ºC y 1,6.
- m
2 / s a 1000ºC.
Determinar:
a) Los valores de Do y E.
b) La difusividad a 750º C.
a) Para poder obtener Do y E aplicamos la fórmula de la difusividad a las dos temperaturas.
1,6 10 =D e
2,6 10 =D e
13,8 10 1273
E
13,8 10 773
E
⋅
⋅
0
0
Tomando logaritmos en las dos, se obtiene:
e m^ s s
m D =0,2 10 1273 13,8 10
- 9 10 / 24 11 2
18 − ⋅ = ⋅
m^ s
at )=1,015 10 m
at (-0,35 10 s
m J = 2,9 (^102)
2 −
Como nos piden por celdilla unidad, calculemos la sección de esta
celd m
at = 81 m
s .x 60 celd
m x1,33 10 m s
at J=1,015 10
celd
m S .=(0,365 10 )=1,33 10
2
19
2
PROBLEMA 4
Una solución de Cu en Al tiene 10
26 átomos/m
3 en el punto "x" y 10
24 átomos/m
3 en
el punto "y". Ambos puntos están separados 10 μ m****. Calcular el flujo de átomos de x a 500
ºC.
at
J
;E=0,21 10
s
m ; Do=0,15 10 atK
J
k =13,8 10
2 Datos: -^24 -^4
Aplicando la primera ley de Fick :
m^ s
átomos J -4,23 10 m s 10 at m =4, 10
=- 10 at m 1010 m
10 - 10 at m
x
c
s
m D=0,15 10 e =4,23 10
2
31
24 26
2
- 14 13,8 10 773
- 4 - 0,21^10
- 24
(^2418)
4
3
PROBLEMA 5
Cual es el gradiente de concentración de Ni en Fe si a 800 ºC hay un flujo de
átomos de Ni de 250 at /mm
2 s.
DATOS: Do = 0,77 10
- m
2 /s E = 0,465 10
- J/at K = 13,8 10 - J/ at K
Calculamos previamente el coeficiente de difusión, a partir de los datos será:
s
m e =1,77 10 s
m D=0,77 10
2
- 18 13,8 10 1073
- 4 2 - 0,465^10
- 24
− 18
Aplicando la primera ley de Fick tendremos:
mm
at =1,41 10 m
at mm =1,4 10 1,77 10
D
J
dx
dc 4
14 2
20
2 /
PROBLEMA 6
Un aluminio contiene el 0,19 % de átomos de cobre en su superficie y el 0,18% a
1,2 mm por debajo de ella. ¿Cuál será el flujo de átomos de cobre desde la superficie hacia
el interior a 500ºC si la estructura del Al es C.C.C. con una constante reticular
a=0,4049 nm****?
DATOS: Constante de Boltzman = 13,8 · 10
- J/at K
Constante de proporcionalidad del Cu en Al: Do = 0,15 · 10
- m
2 /s
Energía de activación del Cu en Al: E = 0,21 · 10
- J/at
El flujo de átomos es proporcional al gradiente de concentración: dx
dC J =−D
Para calcular dC/dx necesitamos conocer antes el número de átomos por unidad de volumen:
28 3 9 3 6 ,^0210 0 , 4049 10
at m V
n
celd
celd = ⋅ ⋅
−
El gradiente de concentración será:
del acero es Co = 0,2 % C se tiene:
− CX
Por tanto, el contenido de C pedido será: Cx = 0,805 % C
PROBLEMA 8
Se difunde Al en Cu puro a 1000 ºC durante 5 horas. Cual es la profundidad bajo
la superficie a la que la concentración es 10
17 at/cm
3 si la concentración en la superficie es
de 10
18 at/cm
3
. Datos: E = 0,3 · 10 - J/at ; Do=4 · 10 - m
2 /s****.
Se aplicará la segunda ley de Fick dado que es un proceso no estacionario Como
solución a la 2ª ley de Fick se obtiene: ⎟
⎠
Dt
x erf C C
C C
S
S X
0 2
La concentración en la superficie es CS=
18 at/cm
3 , en el punto X que se desea calcular
Cx=
17 at/cm3 y la concentración inicial de aluminio en el cobre puro es lógicamente C 0 =0.
A partir de los datos anteriores se obtiene:
Luego erf(z)=0,9. Interpolando entre 1,1 y 1,2 se obtiene z=1,166. Luego:
10 -^0
18
18 17
2 Dt
x
Calculamos ahora el valor de la difusividad:
D D eKT e m s
E
4 10 1 , 53 10 /
127313 , 810 12 2
0 , 310 5 0
24
18
⋅ −
− ⋅ −
−
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
−
−
Despejando x de la ecuación anterior, se obtiene:
x = 2 Dt⋅1,166= 2 1,53⋅ 10 -12^ ⋅ 5 ⋅ 3600 ⋅1,166=3,8 7 ⋅ 10 -4m.=0,38 7 mm.
PROBLEMA 9
Se difunde aluminio en un cristal de silicio. Se pide:
a) A que temperatura el coeficiente de difusión será 10
- m
2 /s
b) A que temperatura la penetración de Al en Si será la mitad que a la temperatura
hallada en el apartado a, en el mismo tiempo.
Datos: Do = 1,55·
- m
2 /s ; Ev=305140 J/mol.
a) Partimos de la expresión que relaciona el coeficiente de difusión con la temperatura:
kT
E
D =D -
v 0 exp
substituyendo valores:
8,31T
10 -14^ =1,55 10 -^4 exp -
Tomando logaritmos y despejando T se obtiene: T=1565 K= 1292ºC.
b) Las penetraciones serán:
x =^2 D t
x=^2 Dt =^210 t
2 2 2
1
1 1 1 ⋅ ⋅
como t 1 = t 2 y x 2 = x 1 /
= 4 D=
D
(^2) D t
(^2 10) t
2 2
2 1
1
N J A J d at cms^ ( 3 cm)^1 , 2610 at/s
2 16 2 2 17 ⎟ = ⋅ ⎠
Obviamente, si el gas del lado de la membrana con alto contenido en nitrógeno no fuera
alimentado continuamente, tal lado se quedaría pronto sin átomos de nitrógeno.
PROBLEMA 11
Calcular las pérdidas de nitrógeno almacenado a temperatura ambiente en el
interior de una esfera de acero de 3 cm de espesor y 1 m de radio, en el instante en que la
concentración en el interior es de 10
20 at/cm
3 y en el exterior 10
18 at/cm
3
. ¿Qué porcentaje
de estas pérdidas se eliminaría almacenando el nitrógeno a 0 ºC?
Datos: Q= 18300 cal/mol ; D 0 = 0,0047 cm
2 /s ; R=1,987 cal/mol K.
Considerando que el proceso se desarrolla en estado estacionario, recurrimos a la primera ley de
Fick en forma unidimensional:
dx
dC J =−D
Calculamos previamente el coeficiente de difusión, para una temperatura T= 27º C=300K:
cm s cal molK K
cal mol cm s RT
Q
D D 2 , 1910 /
exp 0 , 0047 / exp
2 16 2 0
− ⎥= ⋅ ⎦
y el gradiente de concentración:
18 20 3
3 , 310 / 3
at cm cm
at cm
dx
dC =− ⋅
Sustituyendo en la primera ley de Fick:
cm s ( atN cm ) atN cms
dx
dC D
16 2 19 4 2 − =− 2 , 19 ⋅ 10 / ⋅ − 3 , 3 ⋅ 10 / = 7227 /
− J =
Las pérdidas a través de la superficie esférica de radio 100 cm serán:
J A 7227 at/cm s 4 ( 100 cm)^9 , 110 at/s
2 2 8 ⋅ = ⋅ π = ⋅
Repitiendo los cálculos para T= 0º C= 273 K
cm s calmolK K
cal mol cm s RT
Q
D D 1 , 0510 /
exp 0 , 0047 / exp
2 17 2 0
− ⎥= ⋅ ⎦
cm s ( atN cm ) atN cms
dx
dC J D
17 2 19 4 2 = − =− 1 , 05 ⋅ 10 / ⋅ − 3 , 3 ⋅ 10 / = 347 /
−
Y las pérdidas serán ahora:
J A 347 at/cms 4 ( 100 cm) 4 , 36 10 at/s
2 2 7 ⋅ = ⋅ π = ⋅
En porcentaje:
8
8 7 × = ⋅
at s
at s
Las pérdidas se han reducido en un 95,2 %.
