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Asignatura: algebra, Profesor: , Carrera: Ingeniería Informática, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
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División de números naturales
Dividir, en el sentido matemático, significa repartir equitativamente. Trataremos en este epígrafe la división con números naturales, es decir, aquellos que utilizamos para contar. El ejemplo más empleado, por dulce y descriptivo, es el de repartir caramelos: supongamos que tenemos 15 caramelos y queremos dividirlos entre 4 niños.
División de números naturales
Hay dos opciones sencillas de reparto equitativo: Opción a): 3 de los niños reciben 4 caramelos y 1 recibe solo 3 caramelos. Opción b): los 4 niños reciben 3 caramelos y se dejan sin repartir 3 caramelos. Esta segunda opción corresponde a la división matemática de números naturales: el número 15 es el dividendo , el 4 es el divisor y la división determina el cociente (cantidad que recibe cada uno de los niños), que en este caso es 3, y el resto (una cantidad menor que el divisor y que por tanto no alcanza para dar una unidad más a cada niño) que es también 3 en este ejemplo. Podemos expresar este reparto con la siguiente fórmula
en el caso general, si dividimos a entre b
a = b · q + r
donde q es el cociente y r es el resto, que cumple 0 ≤ r < b. Repasemos con un ejemplo sencillo el algoritmo de la división que aprendimos en prima- ria: se trata de dividir 235 entre 7. En el primer paso hacemos un reparto aproximado: separamos los dos dígitos a la izquierda y como 23 entre 7 cabe a 3, entonces escribimos 3 debajo de la caja y restamos 7 · 3 = 21 al
Múltiplos y divisores
Usamos los símbolos b | a (se lee: " b divide a a ”) para describir esta relación.
Observación 1. Dado un número n 6 = 0 tiene infinitos múltiplos: 0, n , 2 n , 3 n ,... , y el número 0 solo tiene un múltiplo, el propio 0. Por el contrario, todos los números dividen a 0 o dicho de otra manera, 0 es múltiplo de cualquier número. ¿Qué propiedad tiene el número 1 como divisor y como múltiplo?
Observación 2. Las relaciones "dividir a ” y "ser múltiplo de ” tienen las propiedades reflexiva y transitiva.
Ejercicio 2. En el conjunto de los números del 1 al 16 vamos a representar en un diagrama la relación de divisibilidad. Para ello dibujaremos una línea descendente (vertical u oblícua) de un número a sus múltiplos más pequeños. Un recorrido descendente nos lleva, por la transitividad, de un número a un múltiplo suyo.
Números primos y compuestos
1
2 3 5 7 11 13 4 6 9 10 8 16
14 12
En el ejercicio anterior se observa que la segunda línea horizontal está ocupada por aque- llos números que solo tienen como divisor propio (es decir, distinto del mismo número) al
3.1 Teorema ( Teorema Fundamental de la Aritmética). Todo número natural mayor que 1 se
Números primos y compuestos
donde 0 ≤ a ≤ 1; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 1. TODAS las posibles elecciones para a , b , c y los correspondientes divisores son: abc d 000 1 100 2 010 3 020 9 001 11 110 6 120 18 101 22 011 33 021 99 111 66 121 198
Ejercicio 3. Dibuja el diagrama que corresponde a la relación de divisibilidad para el con- junto de los divisores de 198.
Ejercicio 4. Calcula la descomposición en primos del número 301411 así como el conjunto
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
de todos sus divisores. Representa la relación de divisibilidad en dicho conjunto y compárala con la obtenida en el ejercicio anterior.
Dada una pareja de números naturales, a y b , pueden calcularse los conjuntos de divisores de cada uno y determinar cuál es el mayor número que los divide a ambos, es el máximo común divisor y se representa como mcd ( a , b ) o simplemente ( a , b ) si no hay lugar a confu- sión. A veces el máximo divisor común entre dos números es el 1, entonces se dice que los dos números son primos relativos , como ocurre con 24 y 35 puesto que mcd (24, 35) = 1. Del mismo modo, entre todos los múltiplos comunes de ambos números puede elegirse el menor, al que llamamos el mínimo común múltiplo , que se representa por mcm ( a , b ) o bien [ a , b ]. El mínimo común múltiplo se utiliza para calcular la suma de fracciones. En la enseñanza primaria suelen usarse principalmente dos métodos para calcular mcm y mcd , por tanteo o bien a partir de la factorización en primos. Recordemos este último: el mcd es el producto de los primos comunes (es decir, que aparecen en las descomposiciones de ambos números) elevados al menor exponente y el mcm es el producto de todos los primos (comunes y no comunes) elevados a la mayor potencia con la que aparezcan.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
a) mdc (560, 588)
b) mcm (72, 108)
c) mcd (210, 315, 420)
d) mcm (270, 234)
Un método más eficiente para calcular el mcd de dos números es el algoritmo de Eucli- des, que consiste en hacer divisiones enteras sucesivas y que forma parte del temario de la asignatura ALEM del grado de Informática. Este algoritmo y el hecho de que
a · b = mcd ( a , b ) · mcm ( a , b )
nos permite un cálculo algorítmico de ambos.
