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Tema 4: Divisibilidad
Matem´aticas - Maestro de Primaria
Divisibilidad en el conjunto de los n´umeros naturales
N
Sean a, b ∈ N, a > b, b 6 = 0. En toda divisi´on entera se cumple que
a = b · c + r, c, r ∈ N, 0 ≤ r < b
Divisibilidad
Sean a, b ∈ N, b 6 = 0 se dice que a es divisible por b, o que b divide a a, y se escribe b|a, si y solo si existe un n´umero c que verifica a = b · c.
a es divisible por b b es divisor de a b divide a a
⇒^ a^ es m´ultiplo de^ b^ (a^ = b˙)
Propiedades
Para todo a, b, c ∈ N, siendo a, b, c 6 = 0
- a|a
- 1|a
- a| 0
- Si b|a y a|b ⇒ a = b
- Si c|b y b|a ⇒ c|a
- Si m|a y m|b ⇒ m|(a + b)
- Si a < b y m|a y m|b ⇒ m|(a − b)
- Si b|a ⇒ b|ac
- Si b|a ⇒ bc|ac
- Si b|a ⇒ b|an
M´ultiplos y divisores de un n´umero natural
- Los m´ultiplos de un n´umero natural son los n´umeros que resultan de multiplicar ese n´umero por todos los n´umeros naturales. De otra forma, decimos que un n´umero es m´ultiplo de otro si le contiene un n´umero entero de veces.
- Los divisores de un n´umero natural son todos los n´umeros que le pueden dividir dando como resultado resto 0.
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un n´umero es divisible por otro sin necesidad de realizar la divisi´on. Aunque pueden buscarse criterios para todos los n´umeros, s´olo expondremos los m´as comunes
Divisible por Criterio Ejemplo
Un n´umero es divisible por 2 cuando la ´ultima cifra (la de las unidades) es 0 o m´ultiplo de 2
Un n´umero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es m´ultiplo de 3
Un n´umero es divisible por 4 cuando el n´ume- ro formado por las dos ´ultimas cifras es 00 o m´ultiplo de 4
Un n´umero es divisible por 5 cuando la ´ultima cifra es 0 o 5
Un n´umero es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3
Un n´umero es divisible por 7 cuando la diferen- cia entre el n´umero sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o m´ulti- plo de 7
Un n´umero es divisible por 8 cuando el n´ume- ro formado por las tres ´ultimas cifras es 000 o m´ultiplo de 8
Un n´umero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es m´ultiplo de 9
Un n´umero es divisible por 10 si la cifra de las unidades es 0
Un n´umero es divisible por 11 cuando el valor absoluto de la diferencia entre la suma de las cifras de los lugares pares y la suma de las cifras de los lugares impares, es 0 o m´ultiplo de 11
Un n´umero es divisible por 12 cuando es divisi- ble por 3 y por 4
Un n´umero es divisible por 25 cuando el n´ume- ro formado por las dos ´ultimas cifras es 00 o m´ultiplo de 25
Un n´umero es divisible por 100 si las dos ´ultimas cifras son ceros
C´alculo del n´umero de divisores y obtenci´on de los mismos de un n´umero compuesto
- Para saber si un n´umero es primo o compuesto lo vamos dividiendo por 2, 3, 5, ... (los primos) hasta que encontremos una divisi´on exacta, en cuyo caso el n´umero ser´a compuesto.
- Si al ir dividiendo un n´umero a por los sucesivos primos menores que
a ninguna divisi´on es exacta, entonces el n´umero dado a es primo.
Sea un n´umero natural a:
a = pαqβ^ · · · rγ Entonces el n´umero de divisores de a se puede calcular y es
D(a) = (α + 1) · (β + 1) · · · (γ + 1) Adem´as, para obtener todos los divisiores de a se puede proceder de la siguiente forma:
Se colocan las potencias sucesivas del primer factor desde la potencia 0 (cuyo valor es obviamente 1) hasta la potencia α.
Se multiplican estos n´umeros por las potencias sucesivas del segundo factor, desde la potencia 0 hasta la potencia β.
Se sigue sucesivamente multiplicando por las potencias sucesivas del resto de facto- res.
Los divisores del n´umero son los productos obtenidos al final del proceso.
Por ejemplo, ya hemos visto que 60 es un n´umero compuesto 60 = 2^2 · 3 · 5. El n´umero total de divisores de 60 ser´a
D(60) = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 · 2 = 12
Y para determinar los 12 divisores hacemos
Potencias de 2 Potencias de 3 Potencias de 5 1 1 1 2 3 5 4
Productos Divisores 1 · 1 · 1 1 1 · 1 · 5 5 1 · 3 · 1 3 1 · 3 · 5 15 2 · 1 · 1 2 2 · 1 · 5 10 2 · 3 · 1 6 2 · 3 · 5 30 4 · 1 · 1 4 4 · 1 · 5 20 4 · 3 · 1 12 4 · 3 · 5 60
M´aximo com´un divisor (m.c.d.)
- El m´aximo com´un divisor de varios n´umeros es el divisor m´as grande posible que sea com´un a todos los n´umeros. Puede ocurrir que el divisor com´un m´as grande posible sea solamente el 1, en este caso decimos que los n´umeros son “primos entre s´ı”.
- Para el c´alculo del m´aximo com´un divisor de dos o m´as n´umeros se descompondr´an los n´umeros en sus factores primos y se tomar´an los factores comunes a todos los n´umeros con su menor exponente.
Por ejemplo, para el c´alculo del m´aximo com´un divisor de 6936 y 1200, haremos
6936 = 2^3 · 3 · 172 1200 = 2^4 · 3 · 52 m.c.d.(6936, 1200) = 2^3 · 3 = 24
Algoritmo de Euclides
Otro procedimiento posible para el c´alculo del m.c.d. de dos n´umeros es el Algorit- mo de Euclides, que consisten en dividir los dos n´umero entre s´ı y, posteriormente, ir haciendo divisiones sucesivas del divisor entre el resto de la divisi´on anterior. As´ı hasta que obtengamos una divisi´on exacta, en este caso el m.c.d. es el divisor de esta ´ultima divisi´on. Por ejemplo, para el c´alculo del m´aximo com´un divisor de 6936 y 1200, haremos
6936 = 1200 · 5 + 936 1200 = 936 · 1 + 264 936 = 264 · 3 + 144 264 = 144 · 1 + 120 144 = 120 · 1 + 24 120 = 24 · 5
Luego, el m.c.d. es 24
Propiedades
Sea el m.c.d.(a, b) = c y sean a = α · c y b = β · c, entonces α y β son primos entre si.
Sea el m.c.d.(a, b) = c y sea n otro divisor de a y b simult´aneamente, entonces
m.c.d.
Ç a n
b n
å
c n
Sea el m.c.d.(a, b) = c y sea n ∈ N, entonces
m.c.d.(a · n, b · n) = c · n
Teorema de Euclides: Sean a, b, c ∈ N y a|(b · c) y m.c.d.(a, b) = 1, entonces a|c.
