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Didáctica de la Matemática
Divisibilidad en N*
1. Divisibilidad en N*
1.1. Divisibilidad entre números con representación decimal y factorial: divisores y
múltiplos
1.1.1. Propiedades de los múltiplos y divisores
1.1.2. Clasificación de los números naturales en función del número de
divisores: números primos y compuestos
1.1.2.1. Propiedades de los números primos
1.2. Divisores y múltiplos comunes: máximo común divisor y mínimo común
múltiplo de dos números
Bibliografía:
Carrillo, J., Contreas, L.C., Climent, N., Montes, M.A., Escudero, D.I. y flores, E. (Coord),
(2016). Didáctica de las Matemáticas para Maestros de Educación Primaria.
Paraninfo.
Lewin, R., López, A., Martínez, S., Rojas, D. y Zonocco, P. (2013). Números para futuros
profesores de educación básica. REFIP Matemática. SM.
Sierra, M., González, M.T., García, A. & González, M. (1989). Divisibilidad. Síntesis:
Madrid.
Valls, J. (1997). Matemáticas y su didáctica I (Tomo II, 2ª edición). Ecu: Alicante
Páginas web:
http://www.jupenoma.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/naturales
_y_enteros/divisores_y_primos/actividad.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_g_2_t_1.html
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html
Didáctica de la Matemática
1. Divisibilidad en N*
Vamos a estudiar la divisibilidad entre números con representación decimal y factorial.
1.1. Divisibilidad entre números con representación decimal y factorial
Tarea 1
Los zumos se venden en paquetes de 3 unidades y los flanes de 2 unidades. ¿Podemos
comprar 24 zumos? ¿Y 20 flanes? ¿Cuántos zumos y flanes podemos comprar?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados 24 = 3· 20 = 2· 3·1; 3·2; 3·3; 3·4; 3·5… Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 3· Sí, ya que 20 lo puedo expresar como 2 · Podré comprar cualquier cantidad de zumos y de flanes que se obtenga al multiplicar 3 por otro número y 2 por otro número. Múltiplos y divisores
Tarea 2
En un colegio quieren formar distintos equipos para hacer diferentes deportes. Si en
cada aula hay 24 alumnos, ¿pueden hacerse equipos de 6 jugadores sin que ninguno se
quede sin jugar? ¿Y equipos de 4 personas? ¿De cuántas personas pueden hacerse los
equipos?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados 24 = 2 ·12 = 3 ·8 = 4 · = 6 ·4 = 8 ·3 = 12 · Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 6· Sí, ya que 24 lo puedo expresar como 4· Se pueden hacer equipos de 2, 3, 4 , 6, 8 y 12 personas Múltiplos y divisores
Tarea 3
Isabel tiene una habitación de 2^4 x 5^2 cm^2. Si quiere enlosarla con ladrillos enteros,
¿podrá hacerlo con ladrillos de dimensiones 2x5 cm^2? ¿De qué otras dimensiones podrá
comprarlos?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados Sí podrá enlosar la habitación con ladrillos 2x5 ya que 24 x 5^2 = (2x5) x2^3 x Como 2^4 x 5^2 = (2x 5^2 ) x2^3 = 23 x(2x 5^2 ) = (2^2 x 5^2 ) x2^2 = 22 x (2^2 x 5^2 ) = (2^2 x 5) x2^2 x = (2^3 x5) x2x5= (2x5) x(2^3 x5) = (2^4 x 5) x5=… Se podrá enlosar con ladrillos de dimensiones 2x5^2 ; 2^2 x 5^2 ; 22 x 5; 2^3 x 5; 24 x 5 =… Múltiplos y divisores
Didáctica de la Matemática
Solución
Segundo múltiplo de 7, es 14 = 2·7 y el cuarto múltiplo es el 28 = 4·7. Por tanto, la
secuencia numérica sería:
Sólo es múltiplo de 7, el 21, que corresponde al tercer múltiplo de 7, el resto de números
de la secuencia no son múltiplos de siete.
Observamos que entre cada múltiplo de siete se repite el siguiente esquema:
7·k + 1; 7·k + 2; 7·k + 3; 7·k + 4; 7·k + 5; 7·k + 6
1.1.1. Propiedades de los múltiplos y divisores
Tarea 4
Dados los números abc y abcde, de tres y de cinco cifras, respectivamente, ¿puedes dar
dos divisores de cada uno de ellos? ¿Y un múltiplo?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados abc = 1·abc abcde = 1·abcde
DIVISORES
1 es divisor de abc abc es divisor de sí mismo 1 es divisor de abcde abcde es divisor de sí mismo MÚLTIPLOS abc =abc·1; por tanto abc es múltiplo de sí mismo abcde = abcde·1; por tanto abcde es múltiplo de sí mismo Propiedades de los múltiplos y divisores
I. El 1 es divisor de cualquier número, o todos los números son múltiplos de 1
II. Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo
Tarea 5
Juan tenía en su casa 18 botellas de zumo. Si su mujer trae del supermercado 36
botellas más, ¿podrá Juan repartir el total de botellas entre sus tres hijos sin que sobre
ninguna?
Didáctica de la Matemática
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados 18 = 3· 36 = 3· 18 + 36 = 3·6 + 3·12 =3 · (6 + 12) Como 3 es divisor de 18 + 36, podemos asegurar que el total de botellas se puede repartir entre los tres hijos Propiedades de los múltiplos y divisores
III. Todo divisor de dos números lo es de su suma (diferencia), o la suma
(diferencia) de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de ese
número
Tarea 6
Si la compañía A puede formar en filas de 5 soldados justos y la compañía B no.
¿Podrán formarse en filas de 5 soldados justos cuando se agrupen las dos compañías
en una sola?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados Sea X el número de soldados de la compañía A, luego X = 5·k Sea Y el número de soldados de la compañía B, luego Y = 5·k 1 + 1; o Y = 5·k 2 + 2; o Y = 5·k 3 + 3; o Y = 5·k 4 + 4 Si se juntan las dos compañías, no podrán agruparse en grupos de 5, ya que: X + Y = 5·k + 5·k 1 + 1 o X + Y = 5·k + 5·k 2 + 2 o X + Y = 5·k + 5·k 3 + 3 o X + Y = 5·k + 5·k 4 + 4 Luego 5 no es divisor de su suma. Todo divisor de dos números lo es de su suma (diferencia),
La suma (diferencia) de
dos múltiplos de un número es múltiplo de ese número
IV. La suma (diferencia) de un múltiplo de un número con otro que no lo sea, no es
múltiplo de ese número
Tarea 7
Los niños de 1ºA de primaria no pueden agruparse en grupos de 5 y los de 1ºB,
tampoco, ¿podrán agruparse de 5 en 5 si se juntan?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados
Didáctica de la Matemática
Tarea 9
Dado el número K = 2 · 3^2 · 7 + 2^3 · 5 · 7^2 ¿K es divisible por 2?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados 2 divide a los dos sumandos que forman K, por lo tanto K es divisible por 2 Sí, K es divisible por 2 Si a es divisor de dos números, también lo es de la suma de sus múltiplos
VII. Si a es divisor de dos números, también es divisor de la suma de sus
múltiplos,
(La suma de los múltiplos de dos números es múltiplo de ese número)
Tarea 10
Enuncia el criterio de divisibilidad del dos. ¿Podrías decir el por qué de este criterio?
Compruébalo en el número de cuatro cifras abcd
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados Sea x = abcd , y su descomposición polinómica, x = 10^3 · a + 10^2 · b + 10 · c + d x = (2·5)^3 · a + (2·5)^2 · b + (2·5) · c + d = = 2 · (2^2 ·5^3 ) ·a + 2 ·(2·5^2 ) · b + 2· (5· c) + d Un número es divisible por 2 si las cifras de las unidades es cero o par Todo divisor de dos números lo es de la suma de sus múltiplos
1.1.2. Clasificación de los números naturales en función del número de divisores:
números primos y compuestos
Tarea 11
Calcula los divisores de cada uno de los números de la serie 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y
12 ¿Observas alguna relación en el listado que te permita establecer una clasificación de
la serie de números dados por el conjunto de divisores de cada uno de ellos?
Puedes hacer el ejercicio a través de la página web
http://www.jupenoma.es/gauss/materiales_didacticos/eso/actividades/aritmetica/naturales
_y_enteros/divisores_y_primos/actividad.html
Didáctica de la Matemática
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados 2 =2·1 D(2 ) = {1,2} 3 = 3·1 D(3) = {1,3} 4 = 1·4 = 2·2 D(4) = {1, 2, 4} 5 = 5·1 D(5) = {1, 5} 6 = 6·1 = 2·3 D(6) = {1, 2, 3, 6} 7 = 7·1 D(7) = {1, 7} 8 = 8·1 = 2·4 D(8) = {1, 2, 4, 8} 9 = 9·1 = 3·3 D(9) = {1, 3, 9} 10 = 10·1 = 2·5 D(10) = {1, 2, 5, 10} 11 = 11·1 D(11) = {1, 11} 12 = 12·1 = 2·6 = 3·4 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Podemos observar que hay números que tienen únicamente dos divisores, el 1 y ellos mismos, otros tienen otros divisores distintos de ellos mismos y la unidad. Números primos y compuestos
Definición de número primo y compuesto
Diremos que p N* es un número primo si sus únicos divisores son el 1 y
el mismo. En caso contrario, se llama compuesto.
Teorema Fundamental de la aritmética. Descomposición factorial de un
número
“Todo número compuesto se puede descomponer en un producto de
factores primos, y esta descomposición es única, salvo el orden de los
factores”
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_202_g_2_t_1.html
1.1.2.1. Propiedades de los números primos
Tarea 12
¿Cuántos números primos conoces? ¿Existe alguno más? ¿Cuántos números primos
hay en N*? Para contestar a las dos últimas preguntas de esta tarea utiliza la tabla que
aparece en la página web http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_158_g_1_t_1.html
llamada Criba de Eratóstenes, “tachando” los múltiplos de los distintos números primos;
Propiedad 1: “El conjunto de los números primos es infinito”
Didáctica de la Matemática
Tarea 15
Divide los números 83 y 203 por todos los números primos menores que ellos. Compara
en cada una de las divisiones los cocientes y los divisores y observa en cada
comparación los restos obtenidos. ¿Qué podrías decir de esta comparación?
Como 11^2 = 121 > 83 por la propiedad 2, 83 es primo.
No obstante, también observamos que el divisor 11 es mayor que el cociente 7.
203 es compuesto porque tiene por divisor al 7.
Propiedad 5: (Divisiones sucesivas) “Sean 2, 3, 5,... , pi , ... , pn , la
serie de números primos que no dividen a un cierto
número x. Si x = c·pn + r, con c < pn, entonces x es primo”
1.2. Divisores y múltiplos comunes: máximo común divisor y mínimo común
múltiplo de dos números
Tarea 16
María tiene 36 claveles blancos y Jorge 24 rosas rojas. Cada uno de ellos quieren hacer
ramos de distintos tamaños utilizando todas sus flores en cada caso. Indica
a. cuántas flores tendrán los ramos de cada uno de ellos si quieren que todos los
ramos tengan el mismo número de flores
b. en qué casos los ramos hechos por María y Jorge tendrán el mismo número de flores
c. de los casos coincidentes, ¿cuál es el mayor?
Didáctica de la Matemática
Resolución problema Respuestas Conceptos matemático s implicados María 36 ramos de 1 clavel; 1 ramo de 36 claveles 18 ramos de 2 claveles ; 2 ramos de 18 claveles 12 ramos de 3 claveles ; 3 ramos de 12 claveles 9 ramos de 4 claveles; 4 ramos de 9 claveles 6 ramos de 6 claveles Jorge 24 ramos de 1 rosa ; 1 ramo de 24 rosas 12 ramos de 2 rosas; 2 ramos de 12 rosas 8 ramos de 3 rosas ; 3 ramos de 8 rosas 6 ramos de 4 rosas; 4 ramos de 6 rosas D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(36) D(24) = {1,2,3,4,6,12}
El mayor 12 Divisores comunes: máximo común divisor de dos números
Definición de máximo común divisor de dos números
El máximo común divisor de dos números, a y b, es el mayor de los divisores
comunes a estos números. [m.c.d (a, b)]
Es decir, el máximo común divisor de a y b, divide a a y a b y además es el
mayor número que los divide.
Tarea 17
Un paciente debe tomarse un jarabe cada 2 horas y una pastilla efervescente cada 3
horas. Si comienza a tomarse ambos medicamentos a las 0 horas, ¿a qué horas se debe
tomar cada uno de los medicamentos?, ¿cuándo coincidirán las dos tomas?, ¿y a qué
hora coinciden por primera vez?
Resolución problema Respuestas Conceptos matemáticos implicados Jarabe 2 horas, 4 horas, 6 horas, 8 horas, 10 horas, 12 horas, ... Pastilla 3 horas, 6 horas, 9 horas, 12 horas, … m(2) = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, …} m(3) = {3, 6, 9,12, …}
m(2) m(3) = {6,12, …}
Primera toma coincidente 6 horas Divisores comunes: mínimo común múltiplo de dos números
