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Divisibilidad
Si una determinada clase de yogures se vende en paquetes
de 4 unidades, puedes comprar 8 yogures, porque 8 es dos
veces 4, o 12 yogures, porque 12 es tres veces 4. Pero no
puedes comprar 7, porque 7 no contiene a 4 una cantidad
exacta de veces.
Cuando un número contiene a otro un número exacto de
veces, se dice que entre ellos hay relación de divisibilidad.
En la tienda de especias de un zoco marroquí venden bolsas de 50 g de una mezcla especial para un plato de cuscús y bolsas de 20 g de menta para el té. a) ¿Es posible comprar 100 g de las bolsas de menta? ¿Y 50 g? b) ¿Podemos comprar 80 g del preparado para cuscús? ¿Y 150 g? c) Piensa cómo podríamos llevarnos la misma cantidad de preparado para cuscús y de menta. ¿Hay más de una posibilidad?
Divisibilidad 41
Recuerda y resuelve
Cuáles son los términos de una multiplicación y de una división.
1 Escribe una multiplicación cuyos factores sean 4 y 11.
2 Indica cuáles son los factores y cuál es el producto de la operación
3 Indica el dividendo, el divisor y el resto de las siguientes divisiones:
a) 15 4 c) 123 6 b) 32 8 d) 270 18
4 En una división, el dividendo es 20 y el divisor es 4. Calcula el cociente
y el resto.
Qué es una división exacta y qué relación hay entre sus términos.
5 Indica cuáles de las siguientes divisiones son exactas y escribe
la relación entre sus términos: a) 15 4 c) 123 6 b) 32 8 d) 270 18
6 Completa en tu cuaderno la relación entre los términos de las
siguientes divisiones exactas: a) 1 750 125 14 1 750 b) 105 300 230 450 105 300
Qué relación hay entre la multiplicación y la división exacta.
7 Averigua cuáles son las divisiones exactas que se obtienen
con los términos de las siguientes multiplicaciones: a) 7 19 133 b) 15 68 1 020
8 Completa en tu cuaderno estas operaciones:
a) 12 240 b) 123 5 535
Qué significado tiene una potencia.
9 Escribe en tu cuaderno estas multiplicaciones en forma
de potencia: a) 3 3 3 3 3 b) 2 2 2
10 Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) b) c)
11 Calcula el valor de estas expresiones:
a) 2 2 3 b) 2 32 5 c) 2 2 3 5 2
En una multiplicación:
En una división:
Una división exacta es aquella
cuyo resto es cero.
Entre sus términos se cumple
la siguiente relación:
dividendo = divisor · cociente
Cuando tenemos una
multiplicación, podemos,
a partir de ella, obtener
dos divisiones exactas.
En una potencia, la base es
el número que se multiplica
por sí mismo tantas veces
como indica el exponente.
factores producto
resto
dividendo divisor
cociente
exponente
base
Múltiplos y divisores
Hemos visto que cuando existe relación de divisibilidad entre dos
números naturales, a y b, podemos decir que a es divisible por b. Por
consiguiente:
Un número natural, b, es divisor de otro, a, cuando la división a b es exacta. a b c & b es divisor de a Por ejemplo: 12 3 4 3 es un divisor de 12 Un número natural, a, es múltiplo de otro, b, si al multiplicar b por un número natural, se obtiene a como resultado. b c a & a es múltiplo de b Por ejemplo: 3 4 12 12 es un múltiplo de 3
Observa que las expresiones «ser divisor de» y «ser múltiplo de» son
relaciones recíprocas:
Si la división de dos números naturales, a b, es exacta, es decir, si hay relación de divisibilidad entre ellos, entonces b es un divisor de a y, recíprocamente, a es un múltiplo de b.
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Divisibilidad 43
Actividades
(^) Indica verdadero o falso: a) 24 es múltiplo de 6. b) 2 es divisor de 8. c) 14 es divisor de 7. d) 15 es múltiplo de 5. e) 3 es divisor de 20. f) 18 es divisor de 9. g) 7 es divisor de 22. h) 24 es múltiplo de 3.
(^) A partir de la división 28 7 4, escribe y completa estas expresiones en tu cuaderno: a) El 28 es de 7. b) El 7 es de 28. c) El es igual a por 7.
(^) Escribe y completa en tu cuaderno las siguientes frases con las palabras «múltiplo» o «divisor»: a) El 7 es de 14. + El 14 es de 7. b) El 12 es de 6. + El 6 es de 12. c) El 6 es de 3. + El 3 es de 6. d) El 3 es de 18. + El 18 es de 3.
(^) Sabiendo que a es divisible por b, indica si estas afirmaciones son verdaderas o falsas; razona tu respuesta: a) El número a es divisor de b. b) El número a es múltiplo de b. c) El número b es un múltiplo de a. d) El número b es un divisor de a. e) La división b a es exacta. f) La división a b es exacta.
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La división 12 3 es exacta:
3 es divisor de 12 12 es múltiplo de 3
Se cumple que:
dividendo divisor cociente
Múltiplos de un número
Sea cual sea la cantidad de yogures que compres, siempre podrás hacer
grupos de 8 yogures. Todas esas cantidades son múltiplos de 8.
1 pack: 8 yogures 8 es 1 vez 8 8 1 8
2 packs: 16 yogures 16 es 2 veces 8 8 2 16
3 packs: 24 yogures 24 es 3 veces 8 8 3 24
4 packs: 32 yogures 32 es 4 veces 8 8 4 32
Podríamos seguir comprando packs sin parar y obtendríamos infinitos
múltiplos de 8.
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales. El conjunto de los múltiplos de un número, a, lo expresaremos como M(a).
3
4444 U NIDAD 3
En un supermercado están de oferta los yogures que vienen en packs de 8 unidades. ¿Cuáles son las diferentes cantidades de yogures que te puedes llevar según el número de packs que compres?
P i e n s a y d e d u c e
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S
2 Escribe los cinco primeros múltiplos de 4. 4 1 4 4 2 8 4 3 12 4 4 16 4 5 20 M(4) {4, 8, 12, 16, 20, …}
Actividades
(^) Añade tres términos más en cada serie: a) M(3) 3, 6, 9, 12, … b) M(6) 6, 12, 18, … c) M(30) 30, 60, 90, 120, …
(^) Contesta las preguntas. Justifica tus respuestas afirmativas con una multiplicación y el resto con una división. a) ¿Es 12 múltiplo de 6? b) ¿Es 45 múltiplo de 9? c) ¿Es 33 múltiplo de 7? d) ¿Es 1 260 múltiplo de 28?
(^) Calcula los cinco primeros múltiplos de los siguien- tes números: a) 5 c) 12 b) 7 d) 10
(^) Escribe en tu cuaderno: a) Los cinco primeros múltiplos de 12 mayores que 282. b) Los múltiplos de 3 comprendidos entre 40 y 55. c) El primer número mayor que 100 que es múltiplo de 4 y 6.
(^) Explica de forma clara por qué 168 es múltiplo de 12 y por qué 47 no es múltiplo de 6.
(^) ¿Cuál es la diferencia entre dos múltiplos conse- cutivos de 12? ¿Y de 27?
(^) Un número, b, es múltiplo de otro, a, y, a su vez, otro número, c, es múltiplo de b. ¿Se puede asegurar que c es múltiplo de a?
(^) Utiliza la calculadora para averiguar el primer múltiplo de 24 mayor que 2 300. ¿Cómo lo has hecho?
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T e n e n c u e n t a
Cualquier número natural, a, es múl- tiplo de sí mismo y de 1, ya que: a 1 a
Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad permiten averiguar si un número es o no
divisible por otro, sin necesidad de efectuar la división.
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4646 U NIDAD 3
Un número es divisible por… Criterio de divisibilidad 2 3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. 5 Si termina en 0 o en 5.
11
Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras que ocupan los lugares impares es 0 o un múltiplo de 11.
Si es par, es decir, si termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 4 Sin tener que dividir, indica si 4 158 es divisible por 2, 3, 5 y 11. Por 2: es par; por tanto, es divisible por 2. Por 3: la suma de sus cifras 4, 1, 5 y 8 es 18, que es un múltiplo de 3; por tanto, es divisible por 3. Por 5: no termina ni en 0 ni en 5; por tanto, no es divisible por 5. Por 11: suma de las cifras que ocupan un lugar impar: 4^ ^5 ^ 9. Suma de las cifras que ocupan un lugar par: 1 8 9. La resta de estas dos sumas es 9 9 0; por tanto, es divisible por 11.
Actividades
(^) Indica si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5 y 11: a) 18 b) 45 c) 120 d) 845 e) 1 320
(^) En tu cuaderno, añade una cifra para que se cumpla la condición dada. Da todas las soluciones posibles. a) 12 & Es múltiplo de 2 y de 5. b) 13 & Es múltiplo de 3, pero no de 2. c) 4 1 & Es divisible por 3. d) 4 31 & Es divisible por 11. e) 63 & Es divisible por 3 y por 2 y no por 5.
(^) Halla: a) Un número de tres de cifras que sea divisible por 2 y por 3. b) Un número de cinco cifras que sea divisible por 5 y por 3, pero no por 2. c) Un múltiplo de 11 de cuatro cifras.
(^) El número 1 452 es múltiplo de 11. Obtén otro múltiplo de 11 cam- biando el orden de las cifras. ¿Cuántas soluciones hay?
(^) Marta ha vendido papeletas de 3 € para una rifa. Al contar el dinero recaudado, comprueba que tiene 124 €. ¿Por qué sabe, sin hacer ninguna división, que le falta o le sobra dinero?
(^) Escribe un criterio de divisibilidad para los números divisibles por 10 y otro para los divisibles por 100.
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Números primos y compuestos
Un número es primo si solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
Por ejemplo, 5 es un número primo, ya que sus únicos divisores son
1 y 5.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
Por ejemplo, 6 es un número compuesto, ya que sus divisores son 1, 2,
3 y 6.
Observa que el 1 solo tiene un divisor, él mismo, así que no se consi-
dera ni primo ni compuesto.
Para saber si un número es primo, se va dividiendo entre los números
primos menores que él, a fin de comprobar que ninguno es divisor suyo.
Como cuando calculábamos los divisores, basta con dividir hasta que el
cociente sea igual o menor que el divisor.
Hay infinitos números primos. Los menores de 30 son 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23 y 29.
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Divisibilidad 47
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 5 Averigua si son primos los números 37 y 91. Dividimos por los primos que son menores: 37 37 37 37 1 18 1 12 2 7 2 5 El 37 no tiene ningún número primo menor que él que sea divisor suyo; por tanto, el 37 es un número primo. Veamos qué ocurre con 91: 91 91 91 91 1 45 1 30 1 18 0 13 El 91 es un número compuesto, pues tiene más divisores que 1 y 91 como el 7 y el 13.
Actividades
(^) Clasifica en números primos y compuestos: 2, 7, 45, 11, 80, 23, 39, 5, 37, 67, 93, 9, 17
(^) Indica cuáles son compuestos expresándolos con una multiplicación: a) 113 b) 143 c) 282 d) 352 e) 387
(^) De los números 622, 705, 3 179, 177 y 2 099 averi- gua cuál es primo.
(^) ¿Puede ser primo un número par distinto de 2?
(^) ¿Cuántos divisores tiene un número que es el producto de dos números primos?
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Clasifica los 30 primeros números naturales, excepto el 1, en dos grupos: Los que tienen solo dos divisores. Los que tienen más de dos. ¿Cuáles son los divisores de los números que solo tienen dos divisores?
P i e n s a y d e d u c e
Cociente divisor dejamos de dividir.
Hemos encontrado divisores. No es primo. Dejamos de dividir.
Consideramos la descomposición en factores primos de 12:
Observa que ocurre con sus múltiplos y con sus divisores:
Un número, para ser múltiplo de otro, tiene que contener todos sus factores primos. Un número, para ser divisor de otro, solo puede contener factores primos de este.
Divisibilidad 49
Múltiplos Divisores D(12) {1, 2, 3, 4, 6,12} 24 12 2 (2 2 3) 2 36 12 3 (2 2 3) 3 3 3 (factor de 2 2 3 ) 48 12 4 (2 2 3) 2 2 4 2 2 (factor de 2 2 3 ) … Cualquier múltiplo de 12 contiene todos los factores primos de 12.
6 2 3 (factor de 2 2 3 ) Cualquier divisor de 12 mayor que 1 contiene solo factores primos de 12.
2 2 (factor de 2 2 3)
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 6 La descomposición factorial de un número es 2 2 3 5. Escribe tres múltiplos y cinco divisores suyos. Múltiplos: (2 2 3 5) 2 120, (2 2 3 5) 3 180, (2 2 3 5) 7 420 Divisores: 2, 3, 5, 2 3 6, 2 5 10
Actividades
(^) Escribe los números indicados como un producto que contenga los factores que se indican: a) 144 en dos factores. c) 27 en tres factores. b) 90 en cuatro factores. d) 60 en tres factores.
(^) Descompón los siguientes números en dos facto- res, luego en tres, y así sucesivamente, hasta obtener todos los factores primos: a) 24 b) 60 c) 260 d) 450
(^) Descompón en factores primos: a) 18 e) 108 i) 675 m) 1 530 b) 20 f) 130 j) 1 100 n) 2 457 c) 36 g) 252 k) 900 ñ) 14 000 d) 70 h) 660 l) 2 184 o) 13 860
(^) Descompón en factores primos estos números: a) 6 d) 8 g) 9 j) 12 b) 15 e) 21 h) 24 k) 27 c) 28 f) 30 i) 50 l) 66
(^) Factoriza los números 12 y 90. ¿Qué factores tienen en común?
(^) Factoriza los números 120 y 840 y averigua, así, si 120 es divisor de 840.
(^) Indica si es correcta la siguiente factorización del número 60: 60 2 5 6
(^) Escribe tres múltiplos y tres divisores del siguiente número: 2 3 2 5
(^) Sin hacer ninguna operación, averigua si el nú mero n es divisor de m. Razónalo. a) m 2 2 3 5 c) m 2 2 3 3 7 n 2 3 n 2 2 2 b) m 23 32 7 d) m 22 33 5 n 2 4 32 n 2 32
(^) Sin hacer ninguna operación averigua si m es múltiplo de n. Razona tus respuestas. a) m 22 2 2 5 c) m 22 2 2 3 7 n 2 5 n 2 2 11 b) m 22 33 7 d) m 22 33 5 n 2 32 n 23 32
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44
43
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Múltiplos comunes
y mínimo común múltiplo (m.c.m.)
El mínimo común múltiplo de dos o más números, a, b, c, …, es el menor de los múltiplos que tienen en común. Se expresa como m.c.m. (a, b, c, …).
8.1. Obtención del mínimo común múltiplo
Como vimos, para que un número sea múltiplo de otro, tiene que con-
tener todos sus factores primos. Por tanto, para que sea múltiplo de dos
números, debe de contener todos los factores primos de ambos números.
Veamos un ejemplo, descomponemos en factores primos 32 y 12:
5
2
El m.c.m. de 12 y 32 tiene que contener todos los factores primos
de ambos el menor número de veces posible (2 5 , 2 2 y 3, pero 2 2 ya está
contenido en 2^5 ):
Q
Observa que para obtener el m.c.m., se multiplican los factores primos
comunes y no comunes que aparecen en las dos descomposiciones elevados
al mayor exponente.
m.c.m. (12, 32) 25 3 96
Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números, se procede de la siguiente manera:
- Se descomponen los números en factores primos.
- Se multiplican todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevando cada uno al mayor exponente con el que figuran en ellas.
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5050 U NIDAD 3
Los múltiplos de 4 son M(4) {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …}. Los múltiplos de 6 son M(6) {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}. ¿Hay números en común en los dos conjuntos? ¿Podemos saber cuál es el menor de los múltiplos comunes del 6 y el 4? ¿Y el mayor?
P i e n s a y d e d u c e
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 7 Mario va a la piscina cada seis días y Luisa, cada ocho. Hoy han coincidido los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir? Se trata de averiguar el mínimo común múltiplo de 6 y 8. Para ello, primero calculamos los múltiplos de cada uno: Mario va cada 6 días: M(6) {6, 12, 18, 24 , 30, 36, …}. Luisa va cada 8 días: M(8) {8, 16, 24 , 32, 40, 48, …}. A continuación buscamos el común más pequeño: m.c.m. (6, 8) 24 Por tanto, Mario y Luisa coincidirán dentro de 24 días.
Divisores comunes
y máximo común divisor (M.C.D.)
El máximo común divisor de dos o más números, a, b, c, …, es el mayor de los divisores que tienen en común. Se expresa como M.C.D. (a, b, c,…).
Como el 1 es divisor de todos los números naturales, dos números
naturales tienen al menos un divisor en común, el 1. Si el 1 es el único
divisor que tienen en común, los números son primos entre sí. Por
ejemplo, el 3 y el 4 son primos entre sí.
9.1. Obtención del máximo común divisor
Como vimos, un número, para ser divisor de otro, solo puede conte-
ner sus factores primos. Así, para ser divisor de dos números, debe con-
tener los factores primos comunes a ambos. Veamos un ejemplo:
Descomponemos en factores primos 36 y 60.
El M.C.D. de ambos tiene que contener todos los factores primos
comunes, así para hallar el M.C.D., se multiplican los factores comunes
elevados al menor exponente con el que aparecen en las dos descomposi-
ciones:
M.C.D. (36, 60) 22 3 12
Para obtener el máximo común divisor de dos o más números, se procede de la siguiente manera:
- Se descomponen los números en factores primos.
- Se multiplican los factores que tienen en común, elevando cada uno al menor exponente con el que aparece en las descomposiciones.
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5252 U NIDAD 3
Los divisores de 12 son D(12) {1, 2, 3, 4, 6, 12}. Los divisores de 20 son D(20) {1, 2, 4, 5, 10, 20}. ¿Podemos saber cuál es el mayor de los divisores comunes? ¿Cómo mínimo cuántos divisores tienen en común dos números?
P i e n s a y d e d u c e
E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 9 Los padres de Jonás quieren cambiar los azulejos del suelo del baño, que tiene forma rectangular. Uno de sus lados mide 12 dm, y el otro, 16 dm. Los azulejos que les ofrecen son cuadrados; ¿cuánto tiene que medir el lado del azulejo más grande que pueden poner? Los azulejos se tienen que ajustar a los dos lados de las paredes, de modo que su medida tiene que ser divisor de las medidas de las dos paredes. Veamos cuáles son los divisores de los dos lados de la pared: D(12) { 1 , 2 , 3, 4 , 6, 12} D(16) { 1 , 2 , 4 , 8, 16} Los azulejos pueden medir 1 dm, 2 dm o 4 dm de lado; como quieren los más grandes (M.C.M. (12, 16) 4), deben coger azulejos de 4 dm de lado.
Divisibilidad 53
Actividades
(^) Halla todos los divisores de los siguientes números y obtén su máximo común divisor: a) 3 y 6 c) 8 y 20 e) 12 y 42 b) 18 y 25 d) 12, 18 y 30 f) 20, 30 y 90
(^) Calcula un divisor común de estos números: a) 8 y 20 b) 30 y 50 c) 15 y 18
(^) Calcula: a) M.C.D. (3, 6) d) M.C.D. (6, 9) b) M.C.D. (4, 6) e) M.C.D. (10, 20) c) M.C.D. (2, 9) f) M.C.D. (20, 30)
(^) Indica si las siguientes pares de números son primos entre sí: a) 18 y 20 b) 6 y 15 c) 4 y 9 d) 3 y 2
(^) Escribe todos los divisores de estos números y ave- rigua su máximo común divisor. A continuación, vuelve a obtenerlo a partir de la descomposición en factores primos y comprueba que llegas al mismo resultado. a) 12 y 30 b) 18 y 45 c) 16 y 40
(^) Factorizando, obtén los números dados: a) M.C.D. (12, 16) d) M.C.D. (600, 200) b) M.C.D. (9, 30) e) M.C.D. (150, 315) c) M.C.D. (60, 200) f) M.C.D. (980, 2 200)
(^) Averigua: a) M.C.D. (6, 15, 18) c) M.C.D. (18, 24, 30) b) M.C.D. (60, 84, 132) d) M.C.D. (24, 60, 80)
(^) Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números: a) 9 y 12 c) 8 y 15 e) 140 y 300 b) 18 y 42 d) 108 y 630 f) 693 y 1 485
(^) Un número, a, es divisor de otro, b; ¿cuál es el máximo común divisor de ambos?
(^) Dos números son primos entre sí; ¿cuál es su m.c.m y su M.C.D.?
(^) ¿Se te ocurre alguna forma rápida de averiguar el máximo común divisor de dos números a partir de los divisores del menor de ellos?
(^) Hay que colocar en cajas 24 botellas de refresco de naranja y 60 de limón, de manera que en todas las cajas haya el mismo número de unidades y que no se mezclen en una misma caja botellas de los dos sabores. ¿Cuál es el número máximo de botellas que pueden con- tener las cajas?
(^) Se dispone de tres listones de madera que miden 90 cm, 120 cm y 150 cm de longitud, respectivamente. Si se quieren cortar los tres listones en trozos del mismo tamaño: a) ¿Cuánto puede medir cada trozo como máximo? b) ¿Cuántos trozos saldrán de cada listón?
(^) Maite tiene 30 caramelos de fresa y 45 de menta. Los quiere empaquetar en bolsas, de manera que todas tengan la misma composición. Si quiere preparar el mayor número de bolsas sin que le sobre ningún caramelo: a) ¿Cuántas bolsas obtendrá? b) ¿Qué composición tendrá cada bolsa?
(^) Calcula el máximo común divisor de m y n, sin averiguar el valor numérico de cada uno: a) m 23 3 y n 2 32 5 b) m 23 3 52 y n 2 2 32 c) m 3 5 y n 2 7 d) m 3 5 72 y n 2 52 7
(^) Observa la descomposición factorial de los núme- ros a, b, c y d y contesta: a 2 32 b 2 3 c 5 7 d 2 32 7 a) ¿Es b el M.C.D de a y c? b) ¿Cuáles son primos entre sí?
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E J E R C I C I O S R E S U E LT O S 10 Halla el máximo común divisor de 24, 48 y 56.
- Descomponemos en factores primos: 24 23 3 48 24 3 56 23 7
- El único factor que tienen en común es el 2 y el menor exponente con el que aparece es 3. De este modo: M.C.D. (24, 48, 56) 23 8
Divisibilidad 55
Divisibilidad. Múltiplos y divisores
1 ^ Di si las siguientes afirmaciones son correctas. Razona
la respuesta.
a) 49 es múltiplo de 7.
b) 6 es divisor de 12.
c) 24 es divisible por 7.
d) 52 es múltiplo de 13.
e) 258 es divisible por 65.
f) 13 es un divisor de 86.
g) 7 es un múltiplo de 14.
2 ^ Averigua si entre la pareja de números de cada
apartado hay relación de divisibilidad. En tal caso, indícalo utilizando las expresiones «es divisible por», «es múltiplo de» y «es divisor de».
a) 8 y 24
b) 12 y 312
c) 24 y 748
3 ^ Calcula los cinco primeros múltiplos de 8.
4 ^ Halla los múltiplos de 12 comprendidos entre 200
y 250.
5 ^ Determina las cifras con las que puede terminar
un múltiplo de 3 y uno de 6.
6 ^ Escribe los divisores de estos números:
a) 16 c) 80
b) 24 d) 90
Criterios de divisibilidad
7 ^ Indica, sin hacer ninguna división, cuáles de los
siguientes números son múltiplos de 2, cuáles lo son de 3, cuáles de 5 y cuáles de 11:
a) 24 e) 121
b) 120 f) 99
c) 396 g) 1 335
d) 345 h) 112 722
8 ^ Escribe el primer múltiplo común de 2 y 3 mayor
que 102.
9 ^ ¿Se puede formar un número de tres cifras que sea
múltiplo de 3 y que esté compuesto por las cifras 1, 5 y 7? ¿Y por 0, 5 y 7?
10 ^ Escribe todos los números de tres cifras múlti-
plos de 2 que se pueden formar con las cifras 1, 2 y 3, sin repetir ninguna.
11 ^ Escribe todos los números de tres cifras múltiplos
de 5 que se pueden formar con las cifras 0, 2 y 5, sin repetir ninguna.
12 ^ Juan tiene una forma muy peculiar de dar a sus
amigos su número de teléfono, que consta de nueve cifras, todas ellas distintas. Les dice que, leyéndolo de izquierda a derecha, se cumple que: La primera cifra es un múltiplo de 3 mayor que 6. Las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2 y 5. Las tres primeras cifras forman un número par múlti- plo de 3. Las cuatro primeras cifras forman un número que es múltiplo de 5, pero no de 2. Las cinco primeras cifras forman un múltiplo de 2 y de 3. Las seis primeras cifras forman un múltiplo de 11. La séptima cifra es un múltiplo de 7. Las ocho primeras cifras forman un número impar. Las cuatro últimas cifras forman un múltiplo de 11. ¿Sabrías decir cuál es el número de teléfono de Juan?
Números primos y compuestos
13 ^ Clasifica estos números en primos y compuestos:
a) 6 e) 49 b) 7 f) 81 c) 15 g) 93 d) 63 h) 1
14 ^ Escribe los números primos menores que 25.
15 ^ Determina, en cada caso, si el número es primo
o compuesto: a) 91 d) 209 b) 103 e) 251 c) 187 f) 300
16 ^ Escribe cada número como producto de dos fac-
tores distintos de 1. Averigua cuál es el único caso en que no es posible hacerlo. a) 36 c) 71 b) 54 d) 120
Descomposición en factores primos
17 ^ Descompón el número 106 en un producto de dos
factores, de tres factores, y así sucesivamente, hasta con- seguir el mayor número posible de factores.
18 ^ Descompón en factores primos:
a) 45 e) 162 b) 63 f) 1 400 c) 360 g) 225 d) 504 h) 4 680
5656 U NIDAD 3
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
19 ^ Halla los cinco primeros múltiplos comunes de los
siguientes números: a) 4 y 6 b) 6 y 15 c) 12 y 18
20 ^ ¿Cuál es el primer múltiplo común mayor que
200 de 6 y 9?
21 ^ Averigua los divisores comunes de 12 y 18.
22 ^ Contesta las siguientes preguntas sobre los núme-
ros m y n. En las respuestas negativas da la solución correcta: a) m 2 3 32 5 y n 2 33 7 ¿Es su m.c.m. 2^
¿Es su M.C.D. 2
b) m 2 32 7 y n 2 3 5 ¿Es su m.c.m. 2
¿Es su M.C.D. 2^
c) m 32 5 y n 3 3 ¿Es su m.c.m. 3^2 ^3 ^ 5? ¿Es su M.C.D. 3? d) m 2 72 y n 3 5 ¿Es su m.c.m. 2^ ^7
¿Es su M.C.D. 0?
23 ^ Calcula:
a) m.c.m. (8, 40) d) m.c.m. (420, 585) M.C.D. (8, 40) M.C.D. (420, 585) b) m.c.m. (15, 35) e) m.c.m. (240, 270) M.C.D. (15, 35) M.C.D. (240, 270) c) m.c.m. (84, 360) f) m.c.m. (396, 756) M.C.D. (84, 360) M.C.D. (396, 756)
24 ^ Averigua el mínimo común múltiplo y el máximo
común divisor de los números dados: a) 6, 8 y 12 b) 270, 315 y 360
25 ^ Calcula mentalmente el mínimo común
múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números: a) 4 y 8 g) 10 y 15 b) 2 y 3 h) 2 y 5 c) 3 y 12 i) 4 y 6 d) 7 y 10 j) 2, 3 y 4 e) 6 y 12 k) 3, 6 y 12 f) 6 y 9 l) 3, 4 y 6
26 ^ Si m 2 2 3 5 y n 2 3 3 , indica cuáles de los
siguientes números son múltiplos comunes de m y n: a) 2 3 2 5 b) 22 33 5 c) 22 33 5 7
27 ^ Sabiendo que m 2 33 y n 2 3 5, indica cuáles
de los siguientes números son divisores comunes de m y n: a) 2 b) 3 2 c) 2 3 d) 2 5
Problemas de divisibilidad
28 ^ Una marca de flanes se vende en envases de
8 unidades. ¿Se pueden comprar 184 flanes de esa marca? ¿Y 138 flanes?
29 ^ Samuel y Samia están contando hasta 100 al mis-
mo tiempo. Samuel da una palmada cada 6 números, y Samia, cada 8 números. ¿En qué números coincidirán las palmadas de ambos amigos?
30 ^ Sandra ha contado 18 monedas de 1 €. Para com-
probar que no se ha equivocado, hace montones del mismo tamaño. ¿De cuántas formas puede comprobar que efectivamente tiene 18 €?
31 ^ ¿Cuántos modos hay de colocar 45 bollos en
bandejas, de manera que cada una contenga el mismo número de bollos?
32 ^ En un campamento hay 47 participantes. ¿Qué
problema tienen los monitores para hacer equipos con el mismo número de componentes?
33 ^ A Javier le cobran 36 € y 28 céntimos por 3 camisas
iguales. ¿Cómo se da cuenta Javier, sin hacer ninguna división, de que le han cobrado mal?
34 ^ Julia tiene 135 cuentas amarillas, 150 rojas y 180
verdes. Quiere hacer el mayor número posible de collares con la misma composición de cuentas. a) ¿Cuántos collares puede confeccionar sin que le sobre ninguna cuenta? b) ¿Cuántas cuentas de cada color tendrá cada collar?
35 ^ En una granja avícola empaquetan los huevos de
la clase L en estuches de 12 huevos y los de la clase XL en estuches de 10 huevos. Cierto día empaquetaron entre 3 130 y 3 200 huevos de cada clase. Si usaron el mismo número de huevos de ambas categorías: a) ¿Cuántos huevos empaquetaron en total? b) ¿Cuántos estuches prepararon de cada clase?
36 ^ Calcula cuántas piezas como la que aparece a
continuación son necesarias, como mínimo, para cons- truir un cubo: 5 cm 2 cm 4 cm
