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MICROONDAS
_________________________
TEMA 5
DIVISORES DE POTENCIA Y ACOPLADORES
DIRECCIONALES
Curso 2011/
Profesores: Francisco J. Rodríguez Martínez; Ángel J. García Collado
En este tema se abordan los circuitos de microondas y su análisis, haciendo uso de parámetros de dispersión o parámetros S (de Scattering). Se considerarán como circuitos de microondas aquellos formados por elementos pasivos concentrados (R’s, L’s y C’s), dispositivos activos (transistores, diodos) y líneas de transmisión.
Restando la primera y la segunda ecuaci´on se deduce que |β| = |γ| y sustituyendo este resultado en la tercera ecuaci´on resulta que |β| = |γ| = 1/
- Llevando este resultado a la primera ecuaci´on tambi´en |α| = 1/
- Por otro lado tambi´en se ha de cumplir que los productos entre dos vectores columna diferentes, habiendo conjugado uno de ellos, deben ser nulos, por lo que entre otras relaciones se deber´a cumplir que:
β · γ∗^ = 0 Ecuaci´on que exige que o bien β o bien γ sean igual a cero, y esto es incompatible con el hecho de que ambas tienen m´odulo igual a 1/
- Con lo cual queda demos- trada la imposibilidad de que una red de tres accesos pasiva, rec´ıproca y sin p´erdidas est´e completamente adaptada. Para los divisores de potencia, si se toma el acceso 1 como el de potencia incidente a dividir, su matriz de dispersi´on conviene que sea de la forma:
[S] =
0 α β α γ δ β δ ε
Aqu´ı |α|^2 y |β|^2 representan las fracciones de potencia incidente que se reparten a los accesos 2 y 3, respectivamente. Si el divisor es sim´etrico, α = β, γ = ε y en este caso la unitariedad requiere una matriz de la forma:
[S] =
0 α α α γ −γ α −γ γ
Para comprobarlo se parte del aspecto de la matriz S que tendr´ıa un divisor sim´etrico:
[S] =
0 α α α γ δ α δ γ
Aplicando unitariedad resulta:
|α|^2 + |α|^2 = 1 |α|^2 + |γ|^2 + |δ|^2 = 1 γα∗^ + δα∗^ = 0 |α|^2 + γδ∗^ + δγ∗^ = 0
De la primera ecuaci´on se deduce que |α| = 1/
2, mientras que de la tercera resulta que γ = −δ. Sustituyendo el valor de |α| y δ por γ en la segunda ecuaci´on,
se obtiene que |γ| = 1/2, resultado que tambi´en se habr´ıa obtenido partiendo de la segunda y cuarta ecuaci´on.
As´ı pues queda demostrado que un divisor sim´etrico, pasivo y rec´ıproco tiene una matriz de dispersi´on como la de la ecuaci´on 4.1.3, con |α| = 1/
2 y |γ| = 1/2. Para un combinador de potencia sim´etrico interesar´ıa que, entrando por los accesos 2 y 3 y saliendo por el acceso 1, la matriz de dispersi´on fuese:
[S] =
α β β β 0 γ β γ 0
forma que es imposible de cumplir para una red pasiva y sin p´erdidas, pues debiendo cumplir unitariedad se requiere que ββ∗^ = |β|^2 = 0. Es decir, los accesos 2 y 3 estar´ıan aislados del acceso 1, en contra de lo deseado. Por tanto, las redes sin p´erdidas no son adecuadas para realizar combinadores de potencia de caracter´ısticas aceptables.
4.1.2. Divisores de Potencia
Divisores con l´ıneas en λ/ 4
La construcci´on de divisores de potencia con secciones de l´ınea de transmisi´on, utilizando transformadores en λ/4 para adaptar la entrada, es inmediata y se analiza en detalle a continuaci´on. Las figuras 4.1-a y -b representan dos posibles realizaciones que conducen a S 11 = 0 y por tanto corresponden con la forma 4.1.3.
a
b Figura 4.1: a-Divisor con una LT en λ/4. b-Divisor con dos LT en λ/ 4
De forma que S 21 quedar´a como:
S 21 =
V 2
V 1
V +(1 + ρ) V +j(1 − ρ)
= −j
Por simetr´ıa tambi´en S 31 = S 21 y por reciprocidad S 12 = S 21 y S 13 = S 31. Para el c´alculo de S 22 y S 32 se terminar´a el acceso 1 con Z 0 = 1. Desdoblando esta carga como el paralelo de dos de valor 2Z 0 resulta que queda una red sim´etrica de dos accesos, n´umero par, como la mostrada en la figura 4.3.
Figura 4.3: Red para el c´alculo de S 22 y S 32
Aplicando las propiedades de simetr´ıa se podr´ıan analizar los par´ametros S 22 y S 32. En primer lugar si se aplica excitaci´on par se sustituye el plano de simetr´ıa por una pared magn´etica, que dando el circuito de un acceso de la figura 4.4.
Figura 4.4: Caso par
Por lo que ρe^ ser´a
ρe^ =
Ze^ − Z 0 Ze^ + Z 0
siendo Ze^ igual a
Ze^ =
(2Z 0 ′)^2
2 Z 0
= 1 ⇒ ρe^ = 0
Figura 4.5: Caso impar
Para el caso de excitaci´on impar, el plano de simetr´ıa se sustituye por una pared el´ectrica, quedando el acceso 2 cortocircuitado, figura 4.5, y por tanto ρo^ = −1. As´ı pues, los par´ametros de dispersi´on S 22 y S 32 vendr´ıan dadas por:
S 22 =
(ρe^ + ρo) = −
S 32 =
(ρe^ − ρo) =
Y por simetr´ıa S 33 = S 22 y S 23 = S 32. Por lo que la matriz de par´ametros de dispersi´on ser´a:
[S] =
0 −j 1 /
2 −j 1 /
−j 1 /
−j 1 /
=^1
0 −j
2 −j
−j
−j
De manera similar se puede encontrar la matriz de dispersi´on para el circuito de la figura 4.1-b, obteniendo:
[S] =
0 −j
2 −j
−j
−j
Divisores resistivos
Para conseguir una adaptaci´on total se deber´a pensar en introducir elementos de p´erdidas, de forma que no deba cumplirse unitariedad. Una forma de conseguir- lo es introducir resistencias. Las figuras 4.6-a y -b muestran dos tipos de divisores construidos con resistencias solamente.
Para el c´alculo de S 22 se terminan los accesos 3 y 1, figura 4.8, y se calcula el factor de reflexi´on en el acceso 2.
Figura 4.8: C´alculo S 22 y S 32
Por lo que S 22 quedar´a como
Zi 2 = 1 +
⇒ S 22 =
Zi 2 − 1 Zi 2 + 1
Y por simetr´ıa S 33 = S 22 = 1/4. Para el c´alculo de S 32 , se terminar´ıan los accesos 3 y 1, encontrando que:
S 32 =
V 3 −
V 2 +
Y como:
V 2 = V 2 + (1 + S 22 )
V 3 = V 3 −
Resultar´a que:
S 32 =
V 3
V 2
(1 + S 22 ) =
V 3
V 1
V 1
V 2
(1 + S 22 )
Aplicando divisor de tensi´on es f´acil de localizar las relaciones de tensi´on V 3 /V 1 y V 1 /V 2 :
S 32 =
Y por reciprocidad S 23 = S 32. Teniendo finalmente que:
[S] =
En el caso del divisor de la figura 4.6-b puede hacerse su an´alisis de manera an´aloga, pero con mayor sencillez todav´ıa, dado que por la simetr´ıa del circuito S 13 = S 12 = S 23. Teniendo que:
[s] =
En ambos casos debe notarse, por una parte, que no puede hacerse uso de propie- dades de unitariedad de la matriz de dispersi´on para su c´alculo, ya que ambas redes tienen p´erdidas; y por otra que la potencia saliente por 2 y 3, cuando hay adaptaci´on, es una cuarta parte de la entrante por el acceso 1 ,− 6 dB, en lugar de ser la mitad, − 3 dB, como en el caso de los divisores realizados con l´ıneas en λ/4. Es decir, estos divisores desaprovechan la mitad de la potencia incidente; pero en contrapartida, su car´acter resistivo hace que su comportamiento como divisores sea independiente de la frecuencia, por lo que son ampliamente utilizados en el laboratorio como elementos auxiliares de instrumentaci´on.
Divisor Wilkinson
Tanto en los divisores resistivos como en los realizados con secciones de l´ınea en λ/4, estudiados anteriormente, los accesos de salida, 2 y 3, no est´an aislados (S 23 6 = 0) y adem´as, la simetr´ıa en la divisi´on de potencia se destruye si los accesos 2 y 3 se cargan de manera asim´etrica. Estos inconvenientes se eliminar´an en un divisor cuya matriz de dispersi´on tuviese el aspecto siguiente:
[S] =
0 α α α 0 0 α 0 0
Donde idealmente |α| = 1/
- Caso de existir desadaptaci´on en los accesos de salida, produciendo reflexiones de ρ 2 y ρ 3 , se tendr´ıa la siguiente relaci´on entre las ondas entrantes y salientes:
b 1 b 2 b 3
0 α α α 0 0 α 0 0
a 1 ρ 2 b 2 ρ 3 b 3
carguen con Z 0 = 1 los accesos 2 y 3 no rompe la simetr´ıa del circuito, y si adem´as se excita en un punto contenido en el plano de simetr´ıa, supondr´a que todas las tensiones y corrientes que aparezcan inducidas conservar´an esa simetr´ıa. Eso supone que en puntos del plano de simetr´ıa donde confluyan corrientes, al ser sim´etricas ser´an iguales y de signo contrario, por lo que no habr´a flujo de corriente neto atravesando el plano de simetr´ıa. Es decir se produce un comportamiento en el plano de simetr´ıa similar al de circuito abierto, o pared magn´etica. En el caso del divisor Wilkinson, figura 4.9, al terminar los accesos 2 y 3 y excitar por el acceso 1, la resistencia R quedar´ıa justo sobre el plano de simetr´ıa y por tanto por ella no fluir´a corriente. De forma que para el an´alisis de S 11 , S 21 y S 31 del divisor Wilkinson se puede prescindir de la resistencia R resultando una red igual a la de la figura 4.1-b. Es decir que los par´ametros S 11 , S 21 y S 31 ser´an los mismos que se calcularon anteriormente:
[S] =
0 −j 1 /
2 −j 1 /
−j 1 /
2 S 22 S 23
−j 1 /
2 S 32 S 33
Para el c´alculo la submatriz de orden 2 × 2 que a´un se desconocen, se termina el acceso 1 con dos impedancias de valor normalizado 2 en paralelo, una a cada lado del plano de simetr´ıa, y a la red sim´etrica resultante se le instala una pared magn´etica, figura 4.10-a, y una el´ectrica, figura 4.10-b, sucesivamente, obteniendo los factores de reflexi´on ρe^ y ρo^ en el acceso 2 (o en el 3).
a (^) b Figura 4.10: a-Divisor Wilkinson caso par. b-Divisor Wilkinson caso impar
La impedancia de entrada por el acceso 2 para el caso par vendr´a dada por Zie = Z 0 ′^2 /2 = 1. Y para el caso impar la impedancia s´er´a Zio = 1. Es decir los factores de reflexi´on son ρe^ = ρo^ = 0. Por lo que los par´ametros de dispersi´on de la submatriz que faltaba por calcular ser´an:
S 22 =
(ρe^ + ρo) = 0
S 32 =
(ρe^ − ρo) = 0
Y por supuesto S 33 = S 22 y S 23 = S 32. Obteniendo finalmente que la matriz de dispersi´on de un divisor Wilkinson ser´a:
[S] = −
j √ 2
4.2. Acopladores direccionales
Las redes pasivas de cuatro accesos m´as importantes son los acopladores direccio- nales (AD), elementos que permiten medir separadamente ondas positivas y negativas de manera directa. La propiedad definitoria de un acoplador direccional es la de po- seer dos pares de accesos desacoplados, es decir, cuatro elementos de su matriz de dispersi´on no pertenecientes a la diagonal principal nulos. Interesa demostrar a continuaci´on la siguiente proposici´on: ”si una red de cuatro accesos pasiva, rec´ıproca y sin p´erdidas est´a completamente adaptada, Sii = 0 ; i = 1 , 2 , 3 , 4, es un acoplador direccional”, es decir su matriz de par´ametros de dispersi´on tendr´a cuatro elementos m´as nulos. En efecto, si se parte de la matriz de dispersi´on siguiente:
[S] =
0 α β γ α 0 δ ε β δ 0 σ γ ε σ 0
Por unitariedad:
βδ∗^ + γε∗^ = 0 αδ∗^ + γσ∗^ = 0 αε∗^ + βσ∗^ = 0
La segunda y tercera ecuaci´on se pueden poner como un sistema de ecuaciones con α y σ∗^ como inc´ognitas:
El procedimiento para conocer los cambios de los planos de referencia adecuados se expone a continuaci´on. En primer lugar se identifica la matriz [B] con los par´ametros de dispersi´on originales:
[B] =
[
S 13 S 14
S 23 S 24
]
[
cos τ ejφ^1 sen τ ejφ^2 sen τ ejφ^3 − cos τ ej(φ^2 −φ^1 +φ^3 )
]
En segundo lugar se hace un cambio de plano de referencia en el acceso 1 de valor φ′ 1 = φ 1 resultando unos nuevos par´ametros de dispersi´on iguales a:
[ S 13 ′ S 14 ′ S 23 ′ S 24 ′
]
[
S 13 e−jφ
′ 1 S 14 e−jφ
′ 1
S 23 S 24
]
[
cos τ sen τ ej(φ^2 −φ^1 ) sen τ ejφ^3 − cos τ ej(φ^2 −φ^1 +φ^3 )
]
A continuaci´on se hace un doble cambio en los accesos 2 y 4. Para el primer caso can´onico los cambios ser´an φ′′ 2 = φ 3 y φ′′ 4 = φ 2 − φ 1 , de forma que los nuevos par´ametros de dispersi´on quedar´an como:
[ S′′ 13 S′′ 14 S′′ 23 S′′ 24
]
[
S 13 ′ S 14 ′ e−jφ
′′ 4
S 23 ′ e−jφ ′′ 2 S′ 24 e−j(φ ′′ 2 +φ′′ 4 )
]
[
cos τ sen τ sen τ − cos τ
]
Obteni´endose efectivamente la primera forma can´onica de las expresiones 4.2.4. Para obtener la segunda de las formas can´onicas el segundo cambio de planos de referencia habr´ıan sido iguales a φ′′ 2 = φ 3 − π/2 y φ′′ 4 = φ 2 − φ 1 − π/2, y en este caso resultar´a:
[ S 13 ′′ S′′ 14 S 23 ′′ S′′ 24
]
[
S 13 ′ S 14 ′ e−jφ ′′ 4
S 23 ′ e−jφ
′′ 2 S′ 24 e−j(φ
′′ 2 +φ′′ 4 )
]
[
cos τ j sen τ j sen τ cos τ
]
Expresi´on que da lugar a la segunda de las formas can´onicas de las expresiones 4.2.4. En estas formas can´onicas se observa que todos los par´ametros de dispersi´on que- dan definidos por un solo par´ametro, el escalar τ.
Ejemplo: Considerando un acoplador direccional con una matriz de dispersi´on igual a la primera forma can´onica de las expresiones 4.2.4, conectado como muestra la figura 4.11, con un generador en el acceso 1, una carga Z 3 en el acceso 3 y los accesos 2 y 4 terminados. Calcular la relaci´on b 2 /b 3. Por simplicidad se supondr´a inicialmente que τ ¼ 1 (aunque esto no invalida las conclusiones que se desean obtener) y por tanto, cos τ ≈ 1, sen τ ≈ τ :
b 1 b 2 b 3 b 4
0 0 1 τ 0 0 τ − 1 1 τ 0 0 τ − 1 0 0
a 1 0 a 3 0
Figura 4.11: Medida ROE con AD
De forma que se puede aproximar que:
b 1 ≈ a 3 b 2 ≈ τ a 3 b 3 ≈ a 1 b 4 ≈ τ a 1
Es decir, la se˜nal se transmite por la rama superior, 1-3, sin perturbaci´on, mientras que en 2 y 4 se obtienen se˜nales proporcionales a las ondas positiva y negativa en la rama superior; de aqu´ı el nombre de acoplador direccional. De forma que el cociente b 2 /b 4 ser´a:
b 2 b 4
τ a 3 τ a 1
ρ 3 b 3 a 1
≈ ρ 3
Es decir, se puede obtener una indicaci´on directa del factor de reflexi´on de la impedancia Z 3. En el an´alisis anterior se ha de tener en cuenta que:
- Dada la simetr´ıa de la matriz de dispersi´on las ramas 1-3 y 2-4 son equivalentes. Es decir, se pueden intercambiar las ramas principal y acopladas sin que las conclusiones var´ıen, raz´on por la que el esquema simb´olico de la figura 4.12 los representa sim´etricos.
- Si τ no es muy peque˜no y no se pueden hacer las aproximaciones anteriores, se tendr´a en este caso que:
b 1 = cos τ a 3 b 2 = sen τ a 3 b 3 = cos τ a 1 b 4 = sen τ a 1
4.2.1. H´ıbridos
A un acoplador direccional de 3 dB (C = 3 dB) se le denomina circuito h´ıbrido o h´ıbrido. En este caso sen τ = cos τ = 1/
2 y las formas can´onicas para la matriz de dispersi´on dadas por 4.2.4 quedan:
[S] =
[S] =^
0 0 1 j 0 0 j 1 1 j 0 0 j 1 0 0
Cuando el circuito responde a la forma primera de 4.2.8 se le suele llamar h´ıbrido de 180o^ y a segunda forma h´ıbrido de 90o.
a (^) b Figura 4.13: a-H´ıbrido 180o. b-H´ıbrido 90o
Es evidente que se puede pasar de uno a otro, a una frecuencia determinada, mediante un cambio de planos de referencia.
En un h´ıbrido de 180o, a los accesos acoplados tambi´en se les denomina suma (
y diferencia (∆); en la figura 4.14 se muestra como inyectando se˜nales por los accesos 1 y 2, b 3 ser´a proporcional a la suma, y b 4 a su diferencia.
Figura 4.14: Accesos suma
y diferencia ∆ con h´ıbrido 180o.
4.2.2. Realizaci´on de acopladores direccionales
Los m´as frecuentes, en el ´ambito de las l´ıneas de transmisi´on, son los que utilizan l´ıneas acopladas (que se estudiar´an m´as adelante en el apartado 4.3) y secciones de l´ınea en λ/4. Una forma de ´estas ´ultimas es la esquematizada en la figura 4.15.
Figura 4.15: H´ıbrido 90o^ con l´ıneas de transmisi´on
Se observan cuatro secciones de l´ınea en λ/4 formando un cuadrado (o un anillo), con unas impedancias caracter´ısticas iguales dos a dos. Dada la simetr´ıa, al an´alisis de esta estructura puede hacerse a partir de sus mitades sim´etrica y antisim´etrica seg´un se explic´o en el apartado 3.5, y tal como se indica en la figura 4.16.
a b Figura 4.16: a-H´ıbrido 90o^ caso par. b-H´ıbrido 90o^ caso impar
Donde los valores Ze^ y Zo^ vienen dadas por:
Ze^ = −jZ 02
tan βλ/ 8
= −jZ 02 =
Y e^
jY 02
Zo^ = jZ 02 tan β
λ 8
= jZ 02 =
Y o^
jY 02
resultando que S 11 e = S 22 e vendr´an dadas por: Si se fuerza a que S 11 e = 0 resultar´a que:
