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22va Dirigida de trigonometría
✓Funciones trigonométricas II
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Análisis de funciones trigonométricas: crecientes, decrecientes, par, impar y periódicas, Ejercicios de Matemáticas
Documento que presenta la definición, gráficas y ejemplos de funciones trigonométricas crecientes, decrecientes, par, impar y periódicas. Además, se explica cómo calcular el periodo principal de estas funciones.
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 34
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22va Dirigida de trigonometría
✓ Funciones trigonométricas II
Funciones monótonas 1
Función creciente 1.
Función decreciente 1.
NOCIONES PREVIAS SOBRE FUNCIONES
Funciones simétricas 2
Función par
2.
Función impar 2.
Función periódica 3
1.2 FUNCIÓN DECRECIENTE
Definición 1.
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 𝐼 ⊂ 𝐴 , decimos que 𝑓 es
estrictamente decreciente en 𝐼 ⟺
1
2
1
2
1
2
GRÁFICAMENTE
𝒙
𝟏
𝒇 𝒙
𝟏
𝒙 𝟐
𝒇 𝒙
𝟐
Notamos que al aumentar
el valor de x, la imagen
DECRECE.
𝑿
𝒀
2.1 FUNCIÓN PAR
Definición 2.
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ conjuntos no vacíos, 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , decimos que 𝑓 es par ⟺
Note que Dom 𝑓 = 𝐴 debe ser un conjunto simétrico
GRÁFICAMENTE
−𝒙 𝒙
𝐟 −𝒙 𝐟 𝒙
Ejemplos:
𝑓 𝑥 = 𝑥
2
𝑔 𝑥 =
3
𝑥
𝑿
𝒀
𝑿
𝒀
La gráfica de una
función PAR es
simétrica respecto al
eje de ordenadas.
𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂
𝒙
=
𝝅
𝒙
=
𝟐
𝝅
𝒙
=
𝟎
FUNCIÓN COTANGENTE
2
𝑿
𝒀
𝑷(𝒙; 𝐜𝐨𝐭 𝒙 )
𝜋
2
3 𝜋
2
Análisis del gráfico
✓ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ es decir −∞ < 𝑐𝑜𝑡 𝑥 < ∞
✓ 𝐸𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑡 −𝑥 = −𝑐𝑜𝑡(𝑥)
Análisis de la gráfica
𝜋
2
✓ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ − − 1 , 1 es decir sec 𝑥 ≤ − 1 ∨ 1 ≤ sec 𝑥
✓ 𝐸𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑐 −𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
3 𝜋
2
FUNCIÓN COSECANTE
2
𝑿
𝒀
𝒙
=
𝝅
𝒙
=
𝟐
𝝅
𝒙
=
𝟑
𝝅
𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂
𝒙
=
𝟎
13
Consideración 01:
Definimos la función: f(x)= 𝑨 𝑭𝑻
𝒏
𝑩𝒙 + 𝜽 + D
𝐴 ∈ ℝ − 0
𝑛 ∈ ℤ − 0
𝐵 ∈ ℝ − 0
θ ∈ ℝ
D ∈ ℝ
El periodo principal de f se puede calcular aplicando la siguiente regla:
1º) Para las funciones seno, coseno, secante y cosecante:
Si n es par: 𝑇
𝑓
𝜋
𝐵
Si n es impar: 𝑇
𝑓
2 𝜋
𝐵
Por ejemplo:
__* f(x) = 2 𝑐𝑜𝑠
6
7𝑥 − 1 → 𝑇
𝑓
=
𝜋
7
__* g(x) = 3 𝑐𝑠𝑐
4
2𝑥
3
- 1 → 𝑇
𝑔
=
𝜋
2
=
3 𝜋
2
Por ejemplo:
__* f(x) = 5 𝑠𝑒𝑛
9
4𝑥 − 1 → 𝑇
𝑓
=
2 𝜋
4
__* g(x) = 8 𝑠𝑒𝑐
5
7𝑥
4
- 1 → 𝑇
𝑔
=
2 𝜋
7
4
=
8 𝜋
7
=
𝜋
2
TEORIA DE PERIODOS
2º) Para las funciones tangente y cotangente:
Si n es par o impar: 𝑇
𝑓
𝜋
𝐵
Por ejemplo:
__* f(x) = 5 𝑡𝑎𝑛
4
4𝑥 − 1 → 𝑇
𝑓
=
𝜋
4
__* g(x) = 4 𝑡𝑎𝑛
7
5𝑥
4
- 3 → 𝑇
𝑔
=
𝜋
5
4
=
4 𝜋
5
__* f(x) = 2 𝑐𝑜𝑡
8
2𝑥 −
𝜋
7
− 1
→ 𝑇
𝑓
=
𝜋
2
__* g(x) = 7 𝑐𝑜𝑡
2021
2𝑥
5
−
𝜋
13
- 1
→ 𝑇
𝑔
=
𝜋
2
5
=
5 𝜋
2
Consideración:
Si una función no adopta la forma anteriormente definida, se tendría que aplicar la
definición de función periodica.
Consideración 03:
Su periodo principal 𝑇
𝑓
se calcula así:
𝑇
𝑓
Dadas las funciones:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥) + cos(𝐵𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛(𝐵𝑥) + cot(𝐵𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝐵𝑥) + csc(𝐵𝑥)
𝐵 ∈ ℛ − 0
Por ejemplo:
__* 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(8𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(8𝑥) → 𝑇
𝑓
=
𝜋
2 ( 8 )
→ 𝑇
𝑓
=
𝜋
16 )
__* 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐
𝑥
5
- 𝑐𝑠 𝑐
𝑥
5
→ 𝑇
𝑓
=
𝜋
2 (
1
5
)
→ 𝑇
𝑓
=
5 𝜋
2
__* 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(
2𝑥
3
) + 𝑐𝑜𝑡(
2𝑥
3
) → 𝑇
𝑓
=
𝜋
2 (
2
3
)
→ 𝑇
𝑓
=
3 𝜋
4
Consideración 04:
Su periodo principal 𝑇
𝑓
se calcula así:
𝑇
𝑓
Dadas las funciones:
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛
2𝑛
𝐵𝑥 + 𝑐𝑜𝑡
2𝑛
(𝐵𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐
2𝑛
𝐵𝑥 + 𝑐𝑠𝑐
2𝑛
(𝐵𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
2𝑛
𝐵𝑥 + 𝑐𝑜𝑠
2𝑛
(𝐵𝑥)
𝐵 ∈ ℛ − 0
𝑛 ∈ ℤ
Por ejemplo:
__* f(x) = 𝑠𝑒𝑐
8
6𝑥 + 𝑐𝑠𝑐
8
(6𝑥) → 𝑇
𝑓
=
𝜋
2 ( 6 )
→ 𝑇
𝑓
=
𝜋
12
__* f(x) = 𝑡𝑎𝑛
16
2𝑥
5
- 𝑐𝑜𝑡
16
2𝑥
5
→ 𝑇
𝑓
=
𝜋
2 (
2
5
)
→ 𝑇
𝑓
=
5 𝜋
4
𝐵 ∈ ℛ − 0
𝑛 ∈ ℤ ; n ≥ 2