Dualidad en programación lineal, Resúmenes de Derecho

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Dualidad y Análisis de

Sensibilidad

Luis Medina Aquino

Asociado con cualquier problema de

programación lineal (PPL) existe otro

llamado DUAL. Conocer la relación de

un PPL y su dual es vital para

entender el análisis de sensibilidad.

Por conveniencia la variable de la

función objetivo del primal se

denomina Z , y sus variables primales

de decisión se denominan Xi. En el

caso del dual la variable de la función

objetivo se denomina W , y sus

variables duales se denominan Yj.

Primero aprenderemos como hallar el

programa dual de un problema primal

de maximización, con todas sus

variables no negativas y cuyas

restricciones son todas del tipo menor

o igual (Problema estándar de

maximización).

El dual de un problema de maximización se define

como:

Minimizar W = b1 Y1 + b2 Y2 + ..... + bm Ym

Sujeto a:

a11 Y1 + a21 Y2 + .... + am1 Ym  C

a12 Y1 + a22 Y2 + .... + am2 Ym  C

a1n Y1 + a2n Y2 + .... + amn Ym  Cn

Yj  0 (j = 1, 2, ... , m)

Maximizar Z = 3 X1 + 4 X

Sujeto a:

1 X1 + 2 X2  1000 Y

3 X1 + 2 X2  1800 Y

0 X1 + 1 X2  400 Y

X1  0, X2  0

Minimizar W= 1000 Y1 +

1800 Y2 + 400 Y

Sujeto a:

1 Y1 + 3 Y2 + 0 Y3 > 3

2 Y1 + 2 Y2 + 1Y3 > 4

Y1  0, Y2  0, Y3  0

PRIMAL DUAL

Modelos max Modelo min

Xi  0  la iésima restricción es 

Xi  0  la iésima restricción es 

Xi srs  la iésima restricción es =

la iésima restricción es   Yj  0

la iésima restricción es   Yj  0

la iésima restricción es =  Yj srs

Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 -2 X1 + 3 X2 + X3  6 -5 X1 + X2 - 6 X3  4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 X1  0, X2  0, X3 srs En este programa primal hay 3 variables primales y 4 restricciones. El programa dual tendrá 4 variables duales y 3 restricciones.

Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 -2 X1 + 3 X2 + X3  6 -5 X1 + X2 - 6 X3  4 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 X1  0, X2  0, X3 srs Cada columna representa una restricción del dual. Los coeficientes de la función objetivo serán los valores del lado derecho del primal. Y los valores del lado derecho del dual serán los valores de los coeficientes de la función objetivo del primal Y Y Y Y

Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 Y -2 X1 + 3 X2 + X3  6 Y -5 X1 + X2 - 6 X3  4 Y 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y X1  0, X2  0, X3 srs Función Objetivo del programa dual: Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y Primera restricción del programa dual: 4 Y1- 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4 ??? 3

Función Objetivo del programa dual: Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y Primera restricción del programa dual: 4 Y1- 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4 > 3 Modelos max Modelo min Xi  0  la iésima restricción es  Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 Y -2 X1 + 3 X2 + X3  6 Y -5 X1 + X2 - 6 X3  4 Y 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y X1  0, X2  0, X3 srs

Función Objetivo del programa dual: Minimizar W = 12 Y1+ 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y Segunda restricción del programa dual: -2 Y1+ 3 Y2 + Y3 + 4 Y4 < 4 Modelos max Modelo min Xi < 0  la iésima restricción es < Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 Y -2 X1 + 3 X2 + X3  6 Y -5 X1 + X2 - 6 X3  4 Y 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y X1  0, X2  0, X3 srs

Programa Dual Min W = 12 Y1 + 6 Y2 + 4 Y3 + 10 Y Sujeto a: 4Y1 - 2 Y2 - 5 Y3 + 3 Y4  3 -2 Y1+ 3 Y2 + Y3 + 4 Y4  4 3 Y1+ 1 Y2 - 6 Y3 - 2 Y4 = - Y1  0, Y2  0, Y3  0, Y4 srs Ejemplo: Maximizar Z = 3 X1 + 4 X2 – 2 X Sujeto a: 4 X1 - 2 X2 + 3 X3  12 Y -2 X1 + 3 X2 + X3  6 Y -5 X1 + X2 - 6 X3  4 Y 3 X1 + 4 X2 – 2X3 = 10 Y X1  0, X2  0, X3 srs la iésima restricción es   Yj  0 la iésima restricción es   Yj  0 Modelos max Modelo min

OBSERVACIÓN: EL DUAL DEL PROBLEMA DUAL ES OTRA VEZ EL PROBLEMA PRIMAL