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DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL
Relaciones primal-dual
Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD) , que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se denomina entonces como problema primal (PP).
Las relaciones las podemos enumerar como siguen:
a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal.
b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal
c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las restricciones o RHS del programa primal.
d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo del problema primal.
e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la matriz técnica del problema primal.
f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER)
g) Si el programa primal es un problema de maximización , el programa dual es un problema de minimización.
h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.
Máx Z(x) = c t^ x s.a: A x ≤ b x ≥ 0
El problema dual ( dual simétrico ) es : Mín G(λ) = λ b s.a: λ A ≥ c λ ≥ 0
Los restantes tipos de combinaciones de problemas, se conocen con el nombre de duales asimétricos. Como por ejemplo: Máx Z(x) = ct^ x s.a: A x = b x ≥ 0
El problema dual ( dual asimétrico ) es :
Mín G(λ) = λ b s.a: λ A ≥ c λ >< 0, es decir, variables libres.
PREGUNTAS:
¿ Porqué se plantea el programa dual?. ¿ Que significado tiene su solución?. ¿ La solución del dual se puede obtener desde el primal?.
RESPUESTAS:
a) Por una parte permite resolver problemas lineales donde el numero de restricciones es mayor que el numero de variables. Gracias a los teoremas que expondremos a continuación la solución de unos de los problemas ( primal o dual) nos proporciona de forma automática la solución del otro programa.
b) La dualidad permite realizar importantes interpretaciones económicas de los problemas de programación lineal.
c) La dualidad permite generar métodos como el método dual del simplex de gran importancia en el análisis de post- optimización y en la programación lineal parametrica.
Este problema solo tiene dos variables y cinco restricciones por tanto se puede resolver gráficamente:
0
1
2
3
4
-1 0 1 2 3 4
Gráfico 2
vértice solución es el punto (4/5,3/5) con un valor de la función objetivo de 5.
x 1 + 3 x 5 = 4 2 x 1 + x 5 = 3
La solución de este sistema es : x 1 = 1 y x 5 = 1, lo cual nos proporciona un valor de la función objetivo de Z(x) = 5, idéntico a la solución del dual
6.1. Condiciones de Kuhn-Tucker en los problemas lineales (primales y duales).
Consideremos el siguiente programa lineal, que denominaremos PRIMAL:
Máx Z(x) = c t^ x s.a: A x ≤ b x ≥ 0
La función lagrangiana de esta programa será:
L(x,λ) = c x + λ ( b - Ax )
donde λ = ( λ 1 , λ 2 ,....,λm ) representa el vector de los multiplicadores de Lagrange asociados a las restricciones.
Las condiciones de optimalidad de este problema ( Condiciones de Kuhn-Tucker) respecto de las variables, son:
en donde el vector x = ( x 1 , x 2 , ..., x (^) n ) representa los multiplicadores asociados a las restricciones del dual.
Obteniendo las condiciones de Kuhn-Tucker respecto de las variables son:
∂L = b - Ax ≥ 0 ∂λ ∂L λ = λ ( b - Ax ) = 0 ∂λ
λ ≥ 0
Respecto a los multiplicadores, son:
∂L = c - λ A ≤ 0 ∂x ∂L x = ( c - λ A ) x = 0 ∂x
x ≥ 0
Como puede observarse, ambas condiciones de optimalidad son las mismas para los dos problemas. A la misma consideración se puede llegar sin más que comparar la función de Lagrange de los dos problemas y ver que son iguales:
L(x,λ) = c x + λ ( b - Ax )
L(λ,x) = λ b +( c - λA )x = λ b + cx-λAx = cx + λ( b - Ax )
Por lo tanto, asociado a todo problema de programación lineal existe otro problema de programación lineal denominado programa dual que tiene importantes relaciones con el problema original denominado programa primal. Como acabamos de ver, es evidente, que el programa dual de un programa dual proporciona el programa primal original.
6.3 Teoremas de dualidad.
Teorema de existencia. La condición necesaria y suficiente para que un problema de programación lineal tenga solución es que, tanto el conjunto de oportunidades del primal (S) como en conjunto de oportunidades del dual (S’) no sean vacíos, es decir, que ambos problemas sean factibles. ∃ ( x ^ , λ^ ) ←→ S ≠ ∅ ∧ S’ ≠ ∅ Corolario del teorema de existencia.
Una vez analizadas las condiciones que han de cumplirse para que exista solución optima, vamos a ver los diferentes casos posibles: a) S ≠ ∅ ∧ S’ ≠ ∅ Ambos problemas tienen solución optima finita. b) S = ∅ ∧ S’ ≠ ∅ El programa primal es infactible, y el programa dual es no acotado. c) S ≠ ∅ ∧ S’ = ∅ El programa dual es infactible, y el programa primal es no acotado. d) S = ∅ ∧ S’ = ∅ Ambos problemas son infactibles.
Teorema de la Dualidad.
La condición necesaria y suficiente para que exista solución óptima del primal ( x ^ ), es que exista una solución óptima para el dual ( λ^ ) y que valor de la función objetivo de ambos programas sea igual, es decir Z(x ^ ) = G(λ^ ).
∃ x ^ ←→ ∃ λ^ / Z(x ^ ) = G(λ^ )
Teorema del Holgura complementaria.
La condición necesaria y suficiente para que (x^ , λ^ ) sean soluciones óptimas del programa primal y dual, es que satisfagan las condiciones de holgura complementaria:
( c - λ*^ A ) x ^ = 0 λ^ ( b - A x *^ ) = 0
(c (^) j - a (^) 1j λ 1 - a (^) 2j λ 2 -.... - a (^) mj λm ) = - λjh^ ∀j (b (^) i - a (^) i1 x 1 - a (^) i2 x 2 -.... - a (^) in x (^) n ) = x (^) ih^ ∀i
por tanto las relaciones anteriores equivalen a :
λjh^ x (^) j = 0
x (^) ih^ λi = 0
En consecuencia tenemos:
1.- Si una restricción del primal es no saturada, entonces la variable de dual asociada debe ser nula.
2.- Si una variable de primal es positiva, entonces la correspondiente restricción del dual es una restricción saturada, es decir, se verifica como una igualdad.
Tomando esto en consideración, así como los teoremas de la dualidad, podemos establecer las siguientes relaciones entre las soluciones de primal y del dual.
1.- Por el teorema de la dualidad, y si ambos problemas tienen solución, entonces se verifica que:
Z(x ^ ) = G(λ^ ) c x ^ = λ^ b como cx *^ = c (^) B B-1^ b
se tiene que : λ*^ = c (^) B B-
Por tanto, conociendo la solución optima del programa primal, se puede determinar el valor de las variables duales en su solución óptima.(Véase el ejemplo anterior, resuelto gráficamente)
2.- En base al Teorema de holgura complementaria, existe una relación entre el comportamiento de las variables de un problema y su dual:
Variables principales primal ←→ Variables holgura dual
Variables holgura primal ←→ Variables principales dual
w (^) ih^ = 0- c (^) B B-1^ Pih^ = - λi ≤ 0 ⇒ λi ≥ 0 ∀ i ⇒ λ ≥ 0
lo que supone el cumplir la segunda condición de factibilidad dual.
Por tanto con las relaciones anteriores ( 3-4 ) podemos comprobar que la optimalidad primal garantiza la factibilidad dual.
Por tanto conociendo estas relaciones podemos determinar la solución de ambos problemas de forma inmediata.
Sea x *^ una solución factible y optima de un problema lineal, es decir se cumple que :
x (^) B = B-1^ b = b *^ ≥ 0. w (^) j = c (^) j - z (^) j ≤ 0
A partir de estos valores sabemos:
a) Valor de la variables principales del dual λ*^ serán iguales a los rendimientos marginales de las variables de holgura del problema primas pero cambiadas de signo. w (^) ih^ = - λi.
b) Valor de las variables de holgura del dual λh*^ se corresponden con los rendimientos marginales de las variables principales del primal. En particular, para las variables no básicas, de las que se obtienen las variables básicas del dual se tiene:
w (^) j = c (^) j - z (^) j ≤ 0 , ∀j
Si, en particular, la variable xk es no básica:
w (^) k = c (^) k - λPk.
Si consideramos: λ Pk - λkh^ = c (^) k tenemos que: - λkh^ = w (^) k.
Conviene no perder de vista la relación entre las variables básicas de un problema con las no básicas de su dual. Es decir, si una variable de primal es básica, la variable de dual asociada a ella será una variable no básica, y por la misma razón si una variable de primal es no básica, la correspondiente variable de dual será una variable básica.
c) Por ultimo, aunque parezca superfluo recordarlo, el valor de la función objetivo de ambos problemas es el mismo. Conviene notar que si establecemos las relaciones entre las tablas óptimas de los dos problemas, veremos que el valor que aparece
