ECONOMETRÍA-III. ENERO, 2007.
1). Se conoce que el tipo de interés en un país es igual a una constante más
un ruido blanco. Se pide,
a). Obtener la media y la varianza del tipo de interés. Dibujar el gráfico de
la serie y el de su función de autocorrelación ( correlograma).
b). Definir el estimador MCO de la constante y demostrar que es insesgado
y consistente. Derivar la varianza de ese estimador.
c). Para un periodo con 100 observaciones, se va a contrastar la hipótesis
nula de que la constante es uno para lo cual se especifica como región
crítica que el valor absoluto de la media del tipo de interés, en ese periodo,
sea superior a 2. Definir la función de potencia de este contraste y derivar
el tamaño del error tipo 1.
( 2 puntos)
2).Se ha obtenido una muestra de tamaño 5 siguiendo el muestreo aleatorio
simple a partir de una población con media y varianza desconocidas. Se
pide:
a). Escribir la función de verosimilitud de la muestra.
b). Evaluar los elementos del gradiente utilizando los estimadores máximo
verosímiles sin restringir y restringidos, suponiendo que la restricción
especifica que la media es cero.
c). Especificar la región crítica que correspondería al contraste de los
multiplicadores de Lagrange ( LM) si se contrasta como hipótesis nula la
restricción comentada en el apartado anterior. Comentar los tamaños de los
dos errores que se cometen utilizando este contraste en el marco indicado.
( 2 puntos)
3). En el marco del modelo lineal general con k regresores
uXXuXy
+
+
=
+= 2211
β
β
β
se van a contrastar r restricciones lineales para
β
. Demostrar que los
contrastes de la Razon de Verosimilitud (LR) y Multiplicadores de
Lagrange (LM) pueden escribirse como:
2
2
σ
σ
~
~
log R
TLR =
2
22
R
R
T
LM
σ
σσ
~)
~
~
(−
=
en donde 2
R
σ
~
y 2
σ
~
son los estimadores de la varianza de u con y sin
restricciones, respectivamente. T es el tamaño muestral. Demostrar también
que el contraste LR puede escribirse como:
