4.19 Sea Xuna v.a. con distribuci´on N(m, σ2= 4), cuya media se quiere estimar. Se toma para ello
una m.a.s. de tama˜no ny se proponen los siguientes estimadores:
ˆm1=3X3+ 3X6+ 3X9+· ·· + 3Xn
n
ˆm2=2X2+ 2X4+ 2X6+· ·· + 2Xn
n
(Se supone que nes m´ultiplo de 2 y de 3)
a) ¿Son ambos estimadores insesgados?
b) Obtener la varianza de ambos estimadores.
c) ¿Son estimadores consistentes?
d) Determinar la eficiencia del estimador de menor varianza de los dos considerados. ¿Es eficiente
dicho estimador?
Ayuda: La cota de Cramer-Rao para un estimador regular e insesgado, ˆ
θ, es: Lc=1
nE h∂ln f(x,θ)
∂θ i2.
Soluci´on:
a) E( ˆm1) = E3X3+3X6+3X9+···+3Xn
n=1
n·n
3·3m=m. ˆm1es insesgado.
E( ˆm2) = E2X2+2X4+2X6+···+2Xn
n=1
n·n
2·2m=m. ˆm2es insesgado.
b) V ar( ˆm1) = 1
n2(V ar(3X3) + V ar(3X6) + V ar(3X9) + · · · +V ar(3Xn)) =
=1
n2(9V ar(X3)+9V ar(X6)+9V ar(X9) + · · · + 9V ar(Xn)) = 1
n2·n
39·4 = 12
n
V ar( ˆm2) = 1
n2(V ar(2X2) + V ar(2X4) + V ar(2X6) + · · · +V ar(2Xn)) =
=1
n2(4V ar(X2)+4V ar(X4)+4V ar(X6) + · · · + 4V ar(Xn)) = 1
n2·n
24·4 = 8
n
c) Ambos son insesgados y sus varianzas tienden a 0 cuando n→ ∞. Ambos cumplen la
condici´on suficiente de consistencia, luego ambos son estimadores consistentes de m.
d) El estimador de menor varianza es ˆm2.
Para verificar si ˆm2es eficiente es preciso calcular Lc, la cota de Cramer-Rao para esti-
madores regulares e insesgados del par´ametro mde una distribuci´on N(m, σ2= 4). ˆm2
ser´a eficiente si V ar( ˆm2) = Lc.
Lc=1
nE∂ln f(x;m)
∂m 2
f(x;m) = 1
2√2πe−1
2
(x−m)2
4
ln f(x;m) = −ln(2√2π)−1
2
(x−m)2
4
∂ln f(x;m)
∂m =X−m
4
E∂ln f(x;m)
∂m 2
=EX−m
42
=E(X−m)2
16
85
