¡Descarga Econometria y más Apuntes en PDF de Econometría solo en Docsity!
Tema I: Modelo de Regresión Lineal clásico.
A partir de los datos observados de la variable “y” y de algunos, intentamos inferir las propiedades estocásticas del vector de variables. La función de distribución conjunta de todas estas variables es el PROCESO GENERADOR DE DATOS ( a partir de unos datos buscamos la relación de la que proceden los datos). Como el número de variables explicativas es suficientemente grande , marginalizamos el estudio de las propiedades estocásticas. Pasamos de ese vector a otro siendo “z” poco relevante para explicar “y”. Las “x” las podemos contemplar como exógenas. El estudio de se reduce al estudio de( esto es “y” condicionado a “x”). Si suponemos una distribución normal multivariante , el estudio quedaría reducido a: a.- , esto es, la regresión de “y” frene a “x”; y b.- , esto es, el comportamiento medio de “y” respecto al comportamiento medio de x. Si suponemos que son series temporales , suponemos también que los procesos que generan esas series temporales son estacionarios. La dependencia entre no sabemos “ a priori” si es dinámica o contemporánea.
Modelo de Regresión Lineal Clásico
El modelo de regresión lineal clásico (MRLC) recoge relaciones contemporáneas, y por eso , porque son los parámetros que recogen las relaciones dinámicas.
I .- Representación del MRLC con k variables : Hay un término no implícito con el MRLC, y es , ya que no es necesario, sólo en algunos casos aparece la constante ().
Población ( Modelo Lineal Uniecuacional estático)
Muestra i=1,..n
“ A priori” podríamos haber observado infinitas muestras ( principio de variabilidad muestral).
M (^) j es la muestra que observamos. El problema de la inferencia es, una vez observada M (^) j, ¿ Qué parámetros poblacionales son los que han generado la muestra?. Hay que dotarse de criterios para trasladar la muestra a la población y esos serán mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.
Criterio Mínimos Cuadrados Criterio Máxima verosimilitud
I No hay necesidad de introducir supuestos sobre la función de distribución.
Necesitamos introducir supuestos sobre la función de distribución.
II permite calcular los poblacionales que hacen mínimos la suma de cuadrados de los residuos.
Siempre ocurre lo más probable ( si hemos cogido M (^) j , es que es la más probable en función de los valores poblacionales). Busco el estimador de máxima probabilidad ( Verosimilitud máxima respecto a los poblacionales).
III ; si además entonces
II .- Resultados algebraicos : Son resultados que no dependen del MRLC.
1.- ; si
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
La suma de la diferencia es cero ,; y si premultiplicamos todo por.
2.- La suma de cuadrados de los valores observados es igual a la suma de cuadrados de los valores ajustados más la suma de cuadrados de los residuos.
3.- Variabilidad en torno al nivel medio ( a veces en libros como suma de cuadrados). 1.- Variabilidad total: ; Suma de cuadrados de la regresión. 2.- Variabilidad explicada: 3.- Variabilidad no explicada: En el caso en el que el modelo hay una constante la SCT=SCE+SCR Si hay constante. Demostración:
4.- A efectos prácticos es aproximadamente igual considerar un modelo en el que hay un término constante , y las observaciones de las variables no tienen ninguna transformación a contemplar un modelo sin constante en que las observaciones aparecen en desviaciones respecto a la media muestral.
Si no existe constante en el modelo (β 1 ), no tiene porqué verificarse. No se debe usar R^2 para seleccionar uno de entre varios modelos en los que la variable dependiente “y” no sea la misma, por ejemplo, : en este caso no se puede utilizar R 2 porque no sirve para discernir entre la forma funcional con la que las variables aparecen en el modelo. Intuitivamente podemos observar la relación entre el R^2 y el coeficiente de correlación entre y e.
6.- Correlación: Correlación
El rango de la matriz de observaciones debe ser k<n.
II .- Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal General: A.- Hipótesis que afectan a las X: 1.- el rango de la matriz de observaciones debe ser pleno. 2.- Las x deben ser fijas, no estocásticas; el estudio se realiza en base a las x que han aparecido, no a cualquier valor posible. B.- Hipótesis que afectan a la u: 3.- E(u)= 4.- E(u’u)=σ^2 Ι, matriz escalar.
- luego la diagonal principal esta completada σ^2 (Homoscedasticidad),
- Ausencia de autocorrelación (lo de fuera de la diagonal son ceros).
III.- Propiedades de los estimadores si se cumplen las hipótesis: 1.- Lineales: Los obtenemos como una combinación lineal de las observaciones de la variable endógena. es la matriz de proyección. 2.- Insesgados : La esperanza del estimador coincide con el parámetro poblacional.
3.- Óptimos: dentro de los estimadores lineales e insesgados son los de mínima varianza (de Gauss-Markov) que son los mínimo cuadráticos. Demostrar esta teoría supone encontrar un estimador lineal insesgado, distinto de , y se que su varianza es mayor que la de los β.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Y es aleatoria, porque lo es u, siendo x no estocástica, y el estimador de β también es aleatorio. Cuando la muestra es pequeña si no conocemos la distribución de probabilidad de u, no podemos conocer la distribución de probabilidad de , luego no podemos hacer contrastes de hipótesis sobre esos parámetros.
“converge en distribución cuando su función de distribución
converge”. , siendo F la función de distribución asintótica de X ( cuando n es suficientemente grande).
CS::. Ejemplo: =x (^) 1,...x t..
Es un estimador insesgado en todas las muestras ( asintóticamente insesgado)) y cuando
La media muestral es un estadístico asintóticamente insesgado y cuya varianza
asintótica es ceroconverge en media cuadrática y por tanto en probabilidad a la
poblacionalcumple condición suficiente para que converja en distribución.
Cuando toda la masa de probabilidad se concentra en un punto; será cero en todos los puntos menos en uno que es media, luego para evitar el problema lo expresaremos como:
, pero la distribución asintótica sería:
la transformaremos para que σ^2 no sea cero.
Si cuento con dos o más estimadores consistentes elegiremos el que converja más rápido. Esta necesidad justifica el presentar los ordenes de magnitud.
Sean dos sucesiones de números reales y : 1.- tiene al menos un orden de magnitud si cuando , o el , si entonces el orden > orden. Ejemplo : 2.- tiene al menos un orden de magnitudsi , es decir tiene límite finito. Los ordenes marcan la tasa de convergencia. En términos estocásticos tendríamos ordenes estocásticos de magnitud. Variables aleatorias, y sucesión de números reales positivos. 1.-. 2.- (finito). Otra forma de expresarlo:
¿ A qué tasa converge la media muestral en la media poblacional?
Sea y ; y utilizando la desigualdad de Tchebycheff. hacemos un cambio de variable y nos queda es la tasa de convergencia.
Teorema de Cramer: Dada dos sucesiones de vectores de variables aleatorias y ,
siendo D cualquier función de distribución y la Matriz de varianzas y covarianzas. Se verifica que.
¿Cómo usamos todo esto en el MRLC? Y=Xβ+u siendo x no estocástica
Resulta que:. Pueden ocurrir dos situaciones: a.- Admitimos la distribución del vector de estimadores es ; b.- No admitimos hablamos de la distribución de probabilidad asintótica de los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios.
La distribución depende del número de observaciones que utilicemos en su cálculo, lo que nos obliga a introducir una hipótesis que afecta a las x : siendo M una matriz de definida positiva.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Si el estimador es consistente el segundo término debe ser cero, ya que el. La distribución de probabilidad asintótica del estimador m.c.o. La consistencia equivale a decir que definida positiva, luego para que haya convergencia es CN:. Para ver si converge en media cuadrática tenemos que ver que. Hasta ahora mantenemos que X’ son fijas, pero podemos modificarlo diciendo que son variables aleatorias siempre y cuando verifiquen que lo que significa que hay incorrelación contemporanea entre las variables explicativas y el término de perturvación.
La varianza asintótica también es cero.
Lo escribimos así porque buscamos la varianza asintótica, es decir, que ocurra cuando:
La distribución de probabilidad asíntótica del estimador, cuando n tiende a infinito converge a cero, por lo que tenemos una distribución degenerada para solucionar el problema.
El estadístico tiene distribución de probabilidad asintótica no degenerada. La distribución del estadístico será igual a la distribución de es una constante.
La varianza asintótica: que no es una distribución de probabilidad degenerada ( el límite es distinto de cero). por lo que sobre este estadístico y aplicando el teorema central del límite en la versión de Mann- Wald.
(Aplicación del TCL-Teorema de Mann-Wald). Entonces, la varianza asintótica del estadístico inicial nos quedaría
La distriución asintótica expresada de forma degenerada nos quedaría:
Para encontrar la diferencia entre ambas expresiones tenemos que tener en cuenta que en la primera estamos en el límite y que , y entonces ya encontramos términos comunes. Cuando n no tiene distribución normal lo que hacemos es aproximar la varianza en el límite desde ese estimador.
Como conclusión independientemente de que el error siga o no una distribución
normal.
Podemos modificar las hipótesis de tal forma ue:
1.- Que las “x” sean no estocástica y si lo son estén incorrelacionadas de forma
contemporanea con la perturbación (X’U=0);
2.- Que la matriz de varianza y covarianzas sea una matriz escalar finita. 3.- Que la esperanza del error sea cero. E(u)=0.
Esto tiene interés a efecto del contraste de hipótesis, y para llevarlos a cabo hay dos
opciones:
1.- Generamos una tabla de valores críticos mediante simulaciones, sin importar
la distribución de probabilidad.
2.- Conocer la distribución de probabilidad total o asíntótica del estimador al ir
a las tablas.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Y dividiendo por los grados de libertad
Al hacer el contraste
Rechazamos H 0 cuando cuando el cociente cae en la región crítica, o
Es decir cuando el estadístico tome un valor mayor que F(α).
Ej: Si tomamos un valor 1,6, con una masa de probabilidad del 20% (Pvalue=0,2) aceptamos la H 0 porque 0,20>0,05.
Contraste 1.a.- βj=o
Si no conocemos utilizaremos un estimador que no depende de. (t value)
Lo que evaluamos es la desviación del valor concreto con la hipótesis en términos de su desviación típica (precisión en el que evaluamos el parámetro). Si la distancia es pequeña en términos de esa precisión entonces aceptamos H 0 , la regla de decisión del contraste será se rechaza, se acepta que la variable xj incluida es significativa.
Otra forma de proceder sería ejecutando un intervalo de confianza y ver si H 0 pertenece al intervalo de confianza entonces lo aceptamos.
Contraste 1.b.- Región de confianza conjunta para los k
parámetros.
Sabemos que entonces 1. En este caso k es el número de hipótesis que contrastamos.
- Para el caso particular β 2 =....=β (^) k=0 / k-1 hipótesis a contrastar.
Rechazamos H 0 cuando Y’Y>e’e ( la suma de cuadrados explicada es mayor que la suma de cuadrados no explicada). Cuando el modelo es de este tipo se verifica la relación siguiente, siempre que haya constante en el modelo.
- Las consecuencias en el modelo de que , en función de que: 1.- La media muestral , 2.- La media muestral. Cuando , aceptar H 0 implica que lo cual no tiene sentido, ya que la hipótesisno se cumple. Cuando no habría ningún problema excepto cuando especificamos el modelo respecto de la media:. No tendría sentido escribir el modelo. En la hipótesis nula entrarían k-1 variables, siendo
H 0 :β 2 =....=β (^) k=0.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
(^1) He copiado los apuntes literalmente ( no diré el pecador...), pero a mi me parece
que debe ser (X’X)-1, en vez de X’X
Aceptar H 0 implicaría que , luego no habría ninguna incoherencia. En este modelo, si lo estimamos tendríamos que no es cero, sino; por tanto ambos modelos son equivalentes. El estadístico de contraste será para aceptar H 0.
¿Cómo proceder dándonos el ordenador sólo la suma de residuos, y no nos da la F?. 1.- Hacemos una regresión respecto de sin ninguna. 2.- Otra regresión respecto a las otras variables. Si la diferencia de la suma de cuadrados de los residuos obtenidos es grande, entonces las “x” son significativas ( reducción grande).
¿Cual es la contribución de una sola variables explicativa a la variable endógena? La contribución de a la Varianza de y (^) t. Realizamos dos regresiones, una con todas las variables y otra en la que no esté , y vemos la reducción, la diferencia entre la varianza de los residuos. Con la regresión completa obtendríamos de la regresión sin, tendría y miramos y , ya que la variable dependiente es la misma en la dos regresiones. La contribución a la reducción será.
¿ Existe realmente la correlación entre y (^) t y x (^) h ?, o ¿ la correlación no es una influencia directa sino que es a través de otra variable o de una combinación lineal de variables?
Tengo el vector:
Se puede pensar que como son creciente las dos van a estar muy correlacionadas, pero puede haber una variable t que sea la causante de esta correlación. Para determinarlo se puede hacer: 1.- Regresión de y con todas las variables menos xh ( los residuos es lo que no nos explica x (^) h). 2.- Regresión de xh frente a todas las demás x excluidas xh ( lo que no nos explica de x (^) h el resto de x).
3.- Estudiar la relación de los residuos de ambas regresiones y nos da la correlación entre “y” y xh.
Contraste 1.c.- Contraste sobre un conjunto de parámetros.
y a.- Una regresión de yt según el modelo como está. Obtenemos unos residuos:. b.- Otra regresión que no tuviera las m variables incluidas en las hipótesis. /residuos: Si la diferencia es grande, las nuevas x que incorporamos pueden ser significativas. Estadístico de contraste:.
Contraste 1.d.- Contraste de cambio estructural.
Observamos n observaciones de. Nos planteamos en un momento del tiempo t=n 1 si los son iguales en
t=n 1 -1 y t=n-n 1 ; es decir, no cambian a partir de un momento dado ( son iguales estadísticamente). a.- Hacemos una regresión hasta n 1. b.- Hacemos una regresión desde n 1 +1, es decir con n-n 1 variables. El problema es que en alguno de los dos intervalos podemos tener pocas observaciones para poder hacer la estimación. Ej: n=100 y k=s, si n 1 =96, no podríamos proceder. 1.- (modelo estático) 2.- 3.- Y=Xβ+u Obtenemos los residuos de las regresiones. Si la suma de cuadrados de residuos de 2.- y 3.- será igual a la suma de cuadrados de la muestra total (sólo pasa si el modelo es estocástico y ). H 0 No hay cambio estructural. Suma de los cuadrados de los residuos totales o de (1). Suma de los cuadrados de los residuos de (2). Suma de los cuadrados de los residuos de (3). Con cambio estructural se explicaría mejor el modelo. Si se cumple. Si no se cumple ( en el hemos incorporado una restricción , en el modelo para las n observaciones, luego es mayor) 2. El estadístico será: que implicaría rechazar H 0.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
(^2) No entiendo absolutamente nada, debe estar mal tomado en clase.
No hay H 1. 1.- Estimamos por mínimos cuadrados ordinarios y obtenemos unos residuos.
2.- Coger. 3.- número de coeficientes en 2.-. Si Rechazo la hipótesis nula.
C.- Segundo contraste de White: 1.- Estimo por mínimos cuadrados ordinarios y obtengo unos residuos.. 2.- Obtengo la estimación de la matriz de autocovarianzas.
3.- Obtengo la estimación de la matriz de varianzas del estimador de los parámetros del modelo: ; se puede demostrar que es un estimador consistente de la Varianza de los estimadores de los parámetros. Si la estimación de la varianza por mco y por estimación robusta son similares entonces no hay problemas de heterocedasticidad.
3.- Formas de corregir la Heteroscedasticidad.
Tenemos que tener idea sobre como es la Heteroscedasticidad. Suponemos que la heterocedasticidad se expresa como:
Realizaremos el siguiente contraste: Diríamos que Para contrastar H 0 utilizamos H 1 , lo que implica que V es conocido ya que toda x (^) ri es conocida. Transformamos el modelo original y llegamos a un modelo transformado que se caracteriza porque la matriz de varianzas y covarianzas fuera una matriz escalar. La transformación consiste en buscar la matriz de transformación que premultiplicada por cada una de las variables del modelo nos lleve a un modelo en el que la perturbación tenga una matriz de varianzas y covarianzas escalar.
La matriz de transformación sería. La transformación consiste en aplicarla P -1^ a todas las variables de manera que si tuvieramos un model de este tipo:
El modelo transformado es: Si entonces dividiriamos por x2i. Si la heterocedasticidad fuera generada por un vector zi , se dividiría por la raiz de zi ( z (^) i puede estrar formado por vasrias variables). 4.- Autocorrelación. Los elementos fuera dela diagonal principal son distintos de cer ( los de la disagonal pueden ser iguales o no). La u viene generada por algún tipo de proceso estocástico (AR, MA, o ARMA). Resolvemos el problema en el supuesto de que u esté generado por un AR(1). para que el proceso sea
estacionario. La matriz Σ es una matriz de autocorrelaciones tal que los elementos de fuera de la diagonal principal son autocorrelaciones.
La función de autocorrelación de un AR(1) es ;. En la matriz Σ sólo va a haber un parámetro a estimar que es ρ. . ¿Cual es la transformación a realizar para que?
Perturbación transformada y de esperanza cero, y matriz de varianzas y covarianzas escalar.
Para detectar la presencia de esta autocorrelación utilizamos el estadístico de Durvin-Watson.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Siendo (residuos obtenidos por mínimos cuadrados ordinarios).
Estimación de Y=Xβ+u por m.c.o., bajo (ruido blanco);.
Próximo a 2: Ausencia de autocorrelación. Próximo a 0 o 4: Si hay autocorrelación.
- Próximo a cero: autocorelación positiva.
- Próximo a uno: aucorrelación negativa. Hay zonas donde no hay posibilidad ni de rechazar ni de aceptar la hipótesis nula. Y además sólo es aplicable a la autocorrelación generada por un AR(1).
*** Si la autocorrelación no viene generada por un AR(1) deberíamos observar el estadístico de Box- Pierce-L.Jung que pemite contrastar la hipótesis nula ,** a través del estadístico donde p* es el número de parámetros a estimar para generar la autocorrelación.
Para ver la diferencia contemplamos el modelo:
El modelo inicial podríamos haberlo explicado como: dice que hay un factor común en yt como en x1t y habría que estimar.
En el segundo caso no se como se han generado los datos ( Estadístico Q), sólo tengo datos de y (^) t y x (^) 1t. Estimamos los parámetros suponiendo que se cumplen las hipótesis básicas y obtenemos los residuos, y vía el estadístico D o QBPL , vemos si los residuos siguen un proceso AR(1). Tenemos dos opciones: 1.- Proponer un modelo como en el caso anterior. . 2.- Reonocer que el modelo inicial estaba mal especificado al contemplar como estático, ya que lo correcto habría sido especificar un modelo dinámico que se puede expresar como el cas 1; o de esta forma:
Reescribimos el modelo: Este modelo es el más general y una vez obtenido habría que contrastar la hipótesis: ( Restricción de tipo no lineal). Para contrastarlo hay que estimar los dos modelos con y sin restricción y comparar la suma de cuadrados de residuos de ambas estimaciones.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Por consiguiente,
esto es, los estimadores de los parámetros βj son insesgados pero su varianza es superior a la que hubieramos obtenido al estimar en el modelo verdadero. Representado por a este nuevo estimador, tendríamos: implicando una elevación de los errores estandar de los y, consiguientemente, una reducción de los t ratios incluso para las variables relevantes. Observemos que, si las variables incluidas en X 1 y X 2 estan incorrelacionadas, se verifica:. Si, por el contrario, la correlación entre X 1 y X 2 es perfecta, la varianza de los estimadores. Ejemplo: Sea el modelo verdadero y estimamos donde las variables aparecen en desviaciones respecto a su media. En este caso
mientras que siendo inmediata la comprobación de las afirmaciones anteriores.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
Tema IV: Cambio en la unidad de medida de las variables.
Se trata de un problema de extraordinaria importancia práctica. Abordaremos tal cuestión primero en el modelo lineal, y despúes en el lognileal. Distinguiremos diversos casos según el cambio de medida se produzca en las variables explicativas; en la variable endógena y, en ambas a la vez. A.- Modelo Lineal.
A lo largo de la exposición que sigue expresaremos los cambios en la unidad de medida como el producto de una o varias variables por las constntes ki , no necesariamente iguales para todas las variables, aunque
constantes para toda la muestra. Representamos con * a las variables transformadas, tal que , donde k es la constante utilizada en la transformación de y Q es la matriz diagonal.
Estamos ya en disposición de deducir las consecuencias que se siguen de un cambio en la unidad de medida en cada uno de los casos señalados. A.1.- Las variables explicativas ( ó alguna de ellas) se multiplica por la constante k (^) i. Consecuencias: 1.- Los coeficientes de regresión quedan divididos por k (^) i.
donde 2.- Los residuos no varían 3.- El estimadorde la varianza de las perturbaciones queda inalterado.
4.- Las desviaciones típicas de los estimadores de los coeficientes de regresión se modifican en la misma proporción que estos.
A.2.-La variable endógena se multiplica por k. Consecuencias: 1.- Todos los coeficientes de regresión quedan multiplicados por k.
2.- Los residuos quedan multiplicados por k
3.- El estimador de la varianza de las perturbaciones queda multiplicado por k^2.
4.- Las desviaciones típicas de los estimadores de los coeficientes de regresión quedan multiplicados por k.
A.3.- La variable endógena se multiplica por k y las variables explicativas- exceptuada la constante
- por ki. Consecuencias: 1.- Los coeficientes de la regresión varían en una proporción igual al cociente del factor de corrección de la variable endógena, k, y del correspondiente a la propia variable k (^) i.
2.-Los residuos quedan multiplicados por k.
3.- Idem que en A2.
4.- Las desviaciones típicas de los estimadores de los coeficientes de regresión se modifican en la misma proporción que estos.
En ninguno de los casos estudiados se modifican los estadísticos t, el coeficiente de determinación R 2 , ni
el valor del Test de Durvin Watson.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
TemaV: Multicolinealidad
Nos permite obtener : Hablamos aquí de ausencia de multicolinealidad perfecta Multicolinealidad: “ que alguna x sea combinación lineal de otra u otras”
, es un ejemplo de multcolinealidad perfecta Estadísticamente teemos una sola variable, así que si quitamos una de las dos del modelo se resuleve el problema.
Tenemos “y” y tb x 1 , al observar las dos variables con periodicidad trimestral (ya qe la y tiene
componente estacional y la x 1 no). Si hacemos, tenemos un modelo incompleto ya que y (^) t tiene componente estacional y x1t no. La esacionalidad la explica el término de perturbación ( al observar el correlograma de los residuos de los retardos estacionales hay retardos distintos de cero.
Hay que incorporar algo en el modelo para que no se plantee el problema. 1.- incorporar una variable que incluye la estacionalidad de yt. 2.- incorporar variables artificiales para corregirlo (Ej: D1t tiene valor uno en el primer trimestre y cero en los demás). δ 1 mide la media de los primeros trimestres.
El ordenador no podría estimar los δi ya que ternemos β 0 que es una combinación lineal de los D (^) it , luego
hay que quitar los Dit o β 0. El problema surge cuano tenemos un modelo como: si fuera multicolinealidad perfecta. Es un problema ya que al no ser uno la matriz se puede invertir y es posible calcular. , si , entonces el determinante es cero. El problema es como cambiar los cuando estimamos con un número reducido de observaciones. la varianza de los estimadores en muy grande. Se acepta en contrastes individuales al aceptar que.
II.- Regresores estocásticos. Las variables x del modelo deben ser fijas ( que no sean aleatorias), lo que significan que son aleatorias, pero al coger una muestra va a salir siempre el mismo valor. Que sean fijas implica: 1.-todas las x incorrelacionadas con u, luego garantiza insesgados. 2.-todas las x incorrelacionadas con u, luego garantiza consistentes. ¿ Qué sucede si alguna de estas condiciones no se verifica? Usamos regresores estocásticos. , esto es en desviaciones respecto de su media. El regresor será y la pregunta será ¿ por qué es estocástica?. Se nos van a presentar tres casos: A.- Variable endógena desfasada: Es el caso más sencillo. La es la desfasada.. Suponiendo que ut sea ruido blanco no hay ningún problema con las dos condiciones expuestas
ya que y (^) t-1 y ut están incorrelacionados.
El problema comienza si ut no es ruido blanco, sino que por ejemplo.
y al calcular la correlaciones quedaría
B.- Errores en la variable: el supuesto es que la existencia de una relación exacta entre la variable “y” y la “x”, no se observa y en u lugar se observan otras. Las variables y’ y x’ pueden representar la tendencia de una serie que no se observa sino que se estima; lo que se va a hcer es estimar un modelo entre las variables observadas: y = Xβ+u / la relación exacta sería
Admitimos que ζ y η son aleatorios (con ruido blanco), y por tanto las características de u en el modelo que estimamos será:, y por tanto:
a.- Sesgados: hay un que no es 0.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
b.- Inconsistentes:
C.- Ecuaciones simultaneas: Ej: Ecuación consumo renta. Ct =α+βy (^) t+u (^) t , pero Yt =Ct +I (^) t ; ambas ecuaciones en forma estructural. Luego quedará:
o se puede expresar al revés
Ambas ecuaciones costituyen lo que es la forma reducida del sistema de ecuaciones simultaneas ( reducida de la forma estructural(), que se caracteriza porque cada variable endógena está sólo en función de la otra exógena y no es función de otra endógena. También se verifica que el regresor It y ut no están incorrelacinados. que nos porduce un proble de insesgadez e inconsistencia, luego no podemos estimar por mínimos cuadrados ordinarios.
Hay que diseñar otro método de estimación: Método de las variables instrumentales. Punto de partida. Los estimadores por mínimos cuadrados ordinarios no son consistentes. El método consiste en buscar un conjunto de variables denominadas instrumentales caracterizada por: 1.- Variable no incluida en el modelo como explicativa ( o más de una variable). 2.- Deben estar incorrelacionadas con u. 3.- Estar correlacionadas con la variable para la que hace de instrumento. Ej:
La variable del problema es ; el instrumento (I):
- No está en el modelo.
- No es yt-1 ni.
- Correlacionada con yt-. La variable a utilizar podría ser usar en vez de. También podría utilizarse , al ser fija , Una variable puede coniderarse instrumento de sí misma. Z: matríz de observaciones de las variables instrumentales ( n filas con observaciones de las x, y m columnas con regresores x). en el caso de que cojamos como instrumeto. Las z deben verificar las condiciones anteriores: 1.-. 2.- Límite finito. 3.- Límite finito. Podemos premultiplicar las variables del modelo (XZ). Z’Y=Z’Xβ+Z’u Criterio:. Z es ortogonal a los residuos.
Si sustituimos Z’ por λ’ obtenemos las ecuaciones normales por mco. El seria el con los regresores que serían las mismas variables explicativas.
y por tanto insesgados. (Consistente).
Vamos a ver la eficiencia del estimador y veremos como ésta depende de la correlación de la variable a sustituir. y como variable instrumenta zt.
( cambio eficiencia por consistencia).
Si , tieen igual varianza y por tanto es eficiente; solo se dan si X=Z.
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
de
Econometría Aplicada Autor: Cu
