econometría, Apuntes de Econometría

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Análisis e inferencia en el MLG

Departamento de Análisis Económico: Economía Cuantitativa

Universidad Autónoma de Madrid

Econometría I

Grado en Economía

Contenidos

(^1) Eficiencia del estimador MCO

(^2) La hipótesis de normalidad

(^3) Intervalos de confianza para los parámetros

(^4) Contrastes de hipótesis sobre los parámetros

Hipótesis individuales

Restricciones lineales

5 El Modelo Restringido

(^6) Predicción

Cálculo de la predicción

Error de predicción

Intervalo de confianza para la predicción

Evaluación y combinación de predicciones

Eficiencia del estimador MCO

Teorema de Gauss-Markov

Enunciado

Hipótesis:

1 E [ U  X ] = 0

n (Exogeneidad estricta)

(^2) Σ U  X =^ E^ [ UU

t  X ] = σ 2 u In (Matriz escalar)

(^3) X tiene rango completo

Resultado:

β

MCO es el Estimador Lineal condicionalmente Insesgado Óptimo (ELIO)

Notas:

˜ β es eficiente si ∀

β

′ 6 =

β Σ ˜ β ′^

β ˜

es semidefinida positiva

A1-A4 =⇒ (1)-(3)

Eficiencia del estimador MCO

Teorema de Gauss-Markov

Demostración

β ̂ MCO^ = At^ Y , At^ = ( X t^ X )

− 1 X t

Sea otro estimador cualquiera, lineal y condicionalmente insesgado ⇒

β =

A

t Y

Sea D =

A − A ⇒

A = A + D

β =

A

t Y =

A

t ( X β + U ) =

A

t X β +

A

t U = A

t X β + D

t X β +

A

t U = β + D

t X β +

A

t U

β = E [ β ˜ X ] = β + D t X β + A ˜ t E [ U  X ] = β + D t X β ⇒ D t X = 0 ⇒ β ˜ = β + ˜ A t U

˜ β  X

= E [˜ A

t UU t (^) ˜ A  X ] = ˜ A t σ 2 u In A ˜ = σ 2 u

˜ At^ A ˜

A^ ˜ t^ A ˜ = ( A + D ) t^ ( A + D ) = At^ A + Dt^ A + At^ D + Dt^ D =

( X

t X )

− 1 X t X ( X t X )

− 1

• D t X ( X t X )

− 1

• ( X t X )

− 1 X t D + D t D = ( X t X )

− 1

• D t D

˜ β  X

= σ 2 u

( X

t X )

− 1

• σ 2 u

D

t D = Σ ̂ βMCO^  X

• σ 2 u

D

t D ⇒ Σ ˜ β  X

β  X

= σ 2 u

D

t D

Dicha diferencia es semidefinida positiva, puesto que D

t D lo es (q.e.d.)

La hipótesis de normalidad

Normalidad de los errores

Consecuencias

A5: ui  x t i sigue una distribución Normal

(A2+A4+A5) ⇒ ui  x t i

d v iid N

0 , σ 2 u

⇒ U  X

d v N

(^0) n, σ 2 u In

No es necesaria para la eficiencia del estimador MCO

Si se cumple:

β ̂ MCO^  X

d v N

β, Σ ̂ βMCO^  X

Σ ̂ βMCO^  X

= σ

2 u ( X^

t X )

− 1 ⇒

⇒ ̂ β

MCO i  X^

d v N

βi , σ

2 ̂ βi

σ

2 ̂ βi

= σ

2 u

( X

t X )

− 1

ii

, ̂ σ

2 ̂ βi

= ̂ σ

2 u

( X

t X )

− 1

ii

U ̂ MCO^  X

d v N

(^0) n, Σ ̂ UMCO^  X

Σ ̂ UMCO^  X

= σ 2 u MX^ ,^ M^ =^ In^ −^ X^ ( X^

t X )

− 1 X t

U ̂ t^ U ̂

σ 2 u

=

U t MU

σ 2 u

d v χ

2 n −( k + 1 )

Para saber si es una hipótesis razonable en nuestros análisis, estudiaremos la

serie de residuos obtenida en la estimación MCO

Intervalos de confianza para los parámetros

Contenidos

(^1) Eficiencia del estimador MCO

2 La hipótesis de normalidad

(^3) Intervalos de confianza para los parámetros

(^4) Contrastes de hipótesis sobre los parámetros

Hipótesis individuales

Restricciones lineales

5 El Modelo Restringido

(^6) Predicción

Cálculo de la predicción

Error de predicción

Intervalo de confianza para la predicción

Evaluación y combinación de predicciones

Intervalos de confianza para los parámetros

Intervalos de confianza para los parámetros

σ ̂ βi

es habitualmente desconocido ⇒ ti =

β

MCO i −^ βi

σ ̂ ̂ βi

(≡ SE (

β MCO i

d v tn −( k + 1 )

tn −( k + 1 ) =

N ( 0 , 1 )

χ

2 n −( k + 1 )

n − ( k + 1 )

d v

β

MCO i −^ βi

σ ̂ βi √ √ √ √ √̂

U

t (^) ̂ U

σ^2 u n − ( k + 1 )

β

MCO i − βi √

σ 2 u

( X

t X )

− 1

ii √ √ √ √ √

( n − ( k + 1 ))̂ σ

2 u

σ 2 u n − ( k + 1 )

β

MCO i −^ βi √̂

σ 2 u

( X

t X )

− 1

ii

β

MCO i −^ βi

̂ σ ̂ βi

P

− tn −( k + 1 ) , α 2 ≤ ti ≤ tn −( k + 1 ) , α 2

= 1 − α ⇒

P

βi − t n −( k + 1 ) ,^

α 2

· ̂ σ β ̂ i

≤ βi ≤

βi + t n −( k + 1 ) ,^

α 2

· σ ̂ ̂ βi

= 1 − α ⇒

βi ± t n −( k + 1 ) ,^

α 2

· ̂ σ ̂ βi

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros

Contenidos

(^1) Eficiencia del estimador MCO

2 La hipótesis de normalidad

(^3) Intervalos de confianza para los parámetros

(^4) Contrastes de hipótesis sobre los parámetros

Hipótesis individuales

Restricciones lineales

5 El Modelo Restringido

(^6) Predicción

Cálculo de la predicción

Error de predicción

Intervalo de confianza para la predicción

Evaluación y combinación de predicciones

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Hipótesis individuales

Contraste de hipótesis individuales

Alternativas para realizar el contraste:

Valor crítico: Dado α rechazamos H 0 si | t

0 i | ≥^ tn −( k + 1 ) ,^

α 2

Intervalo de confianza: Dado α rechazamos H 0 si

β 0 i

βi ± t n −( k + 1 ) ,^

α 2

· SE

βi

p-valor: p = P

| t n −( k + 1 ) | > | t 0 i

Es la probabilidad de obtener un valor del estadístico al menos tan adverso

para la nula como el realmente calculado a partir de nuestros datos,

suponiendo que la hipótesis nula es verdadera.

Es el nivel de significación más pequeño al que rechazaríamos H 0 a la vista de

nuestros datos.

Rechazamos si p < α

El p-valor proporciona una medida de la contundencia con la que se rechaza

H 0 a la vista de nuestros datos.

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Hipótesis individuales

Contraste de hipótesis individuales

t 0 i

βi − β 0 i

SE

βi

) (^) se puede interpretar como una medida de discrepancia entre

H 0 y nuestros datos. En el contraste decidimos qué discrepancia es admisible

para aceptar que lo que plantea H 0 es cierto.

Contraste de Significación individual: Si

β 0 i = 0 ⇒ H 0 : βi = 0 t 0 i

βi

SE (

βi )

(≡ ti )

Si rechazamos H 0 ⇒ xi es estadísticamente significativa

Si i = 0 estamos contrastando la significatividad del término independiente

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Restricciones lineales

Contraste de restricciones lineales / hipótesis conjuntas

Sea el modelo: yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3 + β 4 x

2 i 3

• ui i = 1_... n_

¿Tiene x 3 poder explicativo significativo sobre y?

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Restricciones lineales

Contraste de restricciones lineales / hipótesis conjuntas

Sea el modelo: yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3 + β 4 x

2 i 3

• ui i = 1_... n_

¿Tiene x 3 poder explicativo significativo sobre y? ⇒ H 0 :

β 3 = 0

β 4 = 0

¿Es el efecto de x 2 sobre y el mismo que el de x 1?

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Restricciones lineales

Contraste de restricciones lineales / hipótesis conjuntas

Sea el modelo: yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3 + β 4 x

2 i 3

• ui i = 1_... n_

¿Tiene x 3 poder explicativo significativo sobre y? ⇒ H 0 :

β 3 = 0

β 4 = 0

¿Es el efecto de x 2 sobre y el mismo que el de x 1? ⇒ H 0 : β 2 = β 1

Contrastes de hipótesis sobre los parámetros Restricciones lineales

Contraste de restricciones lineales / hipótesis conjuntas

Sea el modelo: yi = β 0 + β 1 xi 1 + β 2 xi 2 + β 3 xi 3 + β 4 x

2 i 3

• ui i = 1_... n_

¿Tiene x 3 poder explicativo significativo sobre y? ⇒ H 0 :

β 3 = 0

β 4 = 0

¿Es el efecto de x 2 sobre y el mismo que el de x 1? ⇒ H 0 : β 2 = β 1

H 0 : Rβ = r

R ∈ M q x ( k + 1 ) , r ( R ) = q

r ∈ M q x 1