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Tema 2: EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL La Econometría se ocupa de formular relaciones entre variables económicas, cuantificarlas y valorar los resultados obtenidos. Un análisis econométrico empírico suele comenzar con la formulación de una pregunta. Por ejemplo: ¿Cómo afectan los cursos de reciclaje al salario? ¿Cómo afecta la renta a la esperanza de vida? Comencemos por el modelo de regresión lineal simple. Supongamos que nos interesa analizar la variable Y. Con frecuencia en economía nos encontramos con modelos en los que el comportamiento de una variable Y viene explicada por otra variable, la variable X:
Y f(X )
Si consideramos que la relación entre Y e X es lineal:
Y 1 2 X
El modelo anterior es determinista. De tal manera que dos estudiantes que estudian el examen el mismo numero de horas de Econometría sacarían la misma nota. Sin embargo, las relaciones económicas no son deterministas, siempre hay un cierto grado de incertidumbre o aleatoriedad. Además, estas relaciones no suelen ser exactas, sino aproximaciones en las que se omiten variables de importancia secundaria. Por lo tanto, en el modelo debe de introducirse un término adicional llamado perturbación aleatoria (u), de forma que, tendremos un modelo estocástico: Y X u
Para cuantificar la relación entre Y e X (valores de los parámetros ) es necesario disponer de datos de Y y X. Supongamos que tenemos n observaciones de cada una de ellas:
Yi 1 2 Xiui i 1 , 2 , n
N= numero de estudiantes
- Y es la variable a explicar, generalmente llamada regresando, endógena o dependiente (nota de econometría)
- X es la variable explicativa o regresor (horas estudiadas)
- β son parámetros desconocidos (B2 recoge como influye la X sobre la Y, el número de horas sobre la nota de econometría)
- u es la perturbación aleatoria ( la suerte, los nervios). Gráfico de dispersión entre las variables Y y X: hay tantos puntos como estudiantes (n). A partir de este grafico se traza una recta que nos dará los valores de Beta 1 y 2. El objetivo de la regresión es determinar o estimar b 1 y b 2 a partir de la información contenida en los datos. Lo que queremos es que los errores que se cometan sean los mínimos posibles. Es decir, la distancia entre los valores observados y la recta de regresión sea mínima. El modelo estimado (o recta de regresión) es:
Yi 1 2 X i
ˆ ˆ ˆ Obtendríamos la nota de econometría estimada para X horas estudiadas por N estudiantes. La verdadera relación entre Y y X no tiene por qué coincidir con el modelo estimado. De hecho, el modelo estimado ó recta de regresión no se ajusta perfectamente a los datos, comete errores. Se denomina error o residuo (Û) a la diferencia entre el valor observado (Y) de la variable endógena y el valor ajustado (ý) , es decir:
u i Yi Yi Yi 1 2 X i
ˆ ˆ ^ ˆ^ ^ ˆ
Gráficamente, los residuos son las distancias entre los valores observados y la recta de regresión.
Al igualar a cero, se obtienen dos ecuaciones que se denominan ecuaciones normales. La primera ecuación normal se obtiene: n i n i i n i i n i i i Y X Y X S 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 0 ˆ En un lado dejamos las variables y en el otro las incógnitas/ parámetros. Observar que beta1 está sumado n veces y podemos sacar beta2 del operador sumatorio, quedando:
n i n i
Yi n X i
1 1 1 2
La segunda ecuación normal se obtiene:
n i i n i i n i i i n i i i i
YX X X
Y X X
S
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2
En un lado dejamos las variables y en el otro las incógnitas/ parámetros. Igual que antes, beta1 y beta2 se pueden sacar del operador sumatorio: n i n i i n i Yi Xi X i X 1 1 2 2 1 1 ˆ ˆ Resolviendo el sistema de ecuaciones normales se obtienen las expresiones analíticas de los estimadores mínimo-cuadráticos para el MRLS. De la primera ecuación normal: Y X n X n Y Y n X n i n i n i n i i i 2 1 2 1 1 1 1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Lo dividimos todo entre N ( que acompaña a Beta 1) y despejamos. Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación normal: ^ ^ ^
n i i n i i n i i i n i n i i n i
Yi Xi X i X YX Y X X X
1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ
Operando y despejando:
n i i n i i n i n i
Yi Xi Y X i X X X
1 2 2 1 1 2 1
ˆ ^ ˆ
n i i n i Yi X i nYX n X X 1 2 2 2 1 2 ˆ ˆ
n
i i n i i i
X n X
YX nY X
1 2 2 1
^ ˆ 2
Las expresiones analíticas de los estimadores mínimo-cuadráticos para el MRLS son:
var( )
cov( , )
1 2 1 1 2 2 1 2
X
Y X
X X
Y Y X X
X n X
YX nY X
n i i n i i i n i i n i i i
^
ˆ 1 Y ˆ 2 X
¿Cuál será el signo de la pendiente/recta de regresión (B2)? Dependerá del signo de la cov (Y,X). Si la covarianza es positiva, Beta 2 será positiva. Si la covarianza es negativa, Beta 2 será negativa. Ejemplo: Vamos a estimar por MC los parámetros del siguiente modelo:
Ventas i 1 2 Publicidadi ui i 1 , 2 , 5
Para ello contamos con los siguientes datos:
Por tanto, el modelo estimado es:
Ventas i 716 , 66 28 , 33 Publicidad i
Ahora podemos calcular los residuos y los valores estimados de las ventas.
ui Ventasi Ventas i
En el gráfico los valores estimados de las ventas son los puntos en rojo sobre la recta de regresión. Los valores observados son los puntos azules. Interpretación de los coeficientes i i i i i X Y Y X u 1 2 2 El coeficiente estimado para la variable explicativa X (beta 2) proporciona una estimación de la influencia de esa variable sobre Y. En concreto, el coeficiente mide el cambio en Y cuando X aumenta en una unidad. El coeficiente estimado es el valor esperado de Y cuando la variable explicativa es nula:
ˆ 1 E(Yi /Xi 0 ) Ejemplo : MARKTVAL = Valor de mercado de una compañía. Se calcula multiplicando el precio de la acción por el número de acciones emitidas. BOOKVAL = Valor contable de una compañía. También se conoce como valor neto de la compañía. El valor contable se calcula como la diferencia entre los activos de una compañía y sus pasivos Modelo especificado : Markvali 1 2 Bookvaliu i Modelo estimado : Markval (^) i 60 , 77 0 , 48 Bookval i ˆ (^) Al aumentar en una unidad monetaria el valor contable (Bookval), se estima que el valor de mercado aumenta en 0,48 unidades monetarias. 60.77 es el valor de mercado cuando su valor contable (Bookval) es 0. Ahora vamos a ver la interpretación de los coeficientes, en otras formas funcionales. El modelo que acabamos de ver es el que se denomina nivel-nivel : PMg X Y Y X u i i i i i 1 2 2 Modelo log-log (potencial o doblemente logarítmico ) i i i u Yi AX i e LY LX u i 1 2 2
ALIM: Gasto familiar anual en alimentos y bebidas no alcohólicas comprados para ser consumidos en el propio domicilio. Se expresa en euros anuales. RDISP: Renta anual disponible familiar. Se expresa en euros anuales.
LA limi 1 2 RDIPi u i
Al aumentar la renta disponible en un euro anual, se estima que el gasto en alimentos aumente un 0,00339%. Ejemplos: ALIM: Gasto familiar anual en alimentos y bebidas no alcohólicas comprados para ser consumidos en el propio domicilio. Se expresa en euros anuales. RDISP: Renta anual disponible familiar. Se expresa en euros anuales.
A limi 1 2 LRDIPi u i
Al aumentar la renta disponible un 1%, se estima que el gasto en alimentos aumente unos 43,70 euros anuales.
