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Naturaleza de los modelos El problema de la identificaci´on Estimaci´on
BLOQUE 1
Modelos de Ecuaciones Simultaneas
Econometr´ıa II
3 oC L.Econom´ıa
Dpto. de M´etodos Cuantitativos para la Econom´ıa y la Empresa
Curso 2011/
Modelos de Ecuaciones Simult´aneas
Naturaleza de los modelos El problema de la identificaci´on Estimaci´on
´Indice de Contenidos
1 Naturaleza de los modelos
Introducci´on Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
2 El problema de la identificaci´on
Introducci´on Identificaci´on con restricciones de nulidad Condici´on de orden Condici´on de rango de la forma estructural Condici´on de rango de la forma reducida Identificaci´on con restricciones lineales
3 Estimaci´on
Estimaci´on de la Forma Reducida. M´ınimos Cuadrados Ordinarios M´ınimos Cuadrados Indirectos M´ınimos Cuadrados Dos Etapas Variables Instrumentales M´ınimos Cuadrados Tres Etapas
Naturaleza de los modelos El problema de la identificaci´on Estimaci´on
Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
´Indice de Contenidos
1 Naturaleza de los modelos
Introducci´on Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
2 El problema de la identificaci´on
Introducci´on Identificaci´on con restricciones de nulidad Condici´on de orden Condici´on de rango de la forma estructural Condici´on de rango de la forma reducida Identificaci´on con restricciones lineales
3 Estimaci´on
Estimaci´on de la Forma Reducida. M´ınimos Cuadrados Ordinarios M´ınimos Cuadrados Indirectos M´ınimos Cuadrados Dos Etapas Variables Instrumentales M´ınimos Cuadrados Tres Etapas
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Naturaleza de los modelos El problema de la identificaci´on Estimaci´on
Introducci´on Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
Introducci´on
Los modelos uniecuacionales analizados hasta ahora recogen la relaci´on causa-efecto entre una variable end´ogena (Y ) y un conjunto de variables ex´ogenas (X ). Sin embargo, hoy en d´ıa nos encontramos con numerosas aplicaciones donde las estructuras son m´as complejas en las cuales se recogen la influencia de la variable end´ogena sobre las predeterminadas y la relaciones que puedan existir.
Ejemplo
La renta nacional se puede expresar a trav´es del modelo
ct =α 0 + α 1 (1 − τ )yt + α 2 rt , it =β 0 + β 1 (yt− 1 − yt− 2 ) + β 2 rt− 1 , yt ≡ct + it + gt ,
en el que se espera que 0 < α 1 < 1 , α 2 < 0 , β 1 > 0 , β 2 < 0 y donde y es el producto nacional bruto, c son los gastos de consumo, i los gastos de inversi´on y g son los gastos de gobierno.
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Modelos de sistemas de ecuaciones de regresi´on.
Sistemas de ecuaciones con datos de series temporales de secci´on cruzada. Este tipo de sistemas utiliza observaciones correspondientes a un periodo muestral de distintos entes para analizar un fen´omeno econ´omico. El objetivo suele ser contrastar si existe un comportamiento diferente entre las distintas submuestras.
Y 11 =α 1 + α 2 X 11 + α 3 X 21 + u 11 , Y 12 =β 1 + β 2 X 12 + β 3 X 22 + u 12 , Y 13 =γ 1 + γ 2 X 13 + γ 3 X 23 + u 13.
El primer sub´ındice de la variable indica la variable en cuesti´on y el segundo sub´ındice hace referencia a la submuestra. Sistemas de ecuaciones aparentemente no relacionadas. Este tipo de modelo se caracteriza porque podr´ıa tener distintas variables explicadas y explicativas para cada ecuaci´on. La denominaci´on, aparentemente no relacionadas, viene justificado por la presencia de correlaci´on entre las perturbaciones de las distintas ecuaciones.
Y 1 =α 1 + α 2 X 1 + α 3 X 2 + u 1 , Y 2 =β 1 + β 2 X 3 + β 3 X 4 + u 2.
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Forma estructural del modelo
Y 1 t β 11 + Y 2 t β 12 +... + Ygt β 1 g + X 1 t γ 11 + X 2 t γ 12 +... + Xkt γ 1 k + u 1 t = Y 1 t β 21 + Y 2 t β 22 +... + Ygt β 2 g + X 1 t γ 21 + X 2 t γ 22 +... + Xkt γ 2 k + u 2 t = .. . Y 1 t βg 1 + Y 2 t βg 2 +... + Ygt βgg + X 1 t γg 1 + X 2 t γg 2 +... + Xkt γgk + ugt =
Forma matricial de la forma estructural −→ Y (^) t β +
X (^) t Γ +
U (^) t =
(^0) t
Y (^) t =
Y 1 t Y 2 t... Ygt
β =
β 11 β 21 · · · βg 1 β 12 β 22 · · · βg 2 .. . β 1 g β 2 g · · · βgg
X (^) t =
X 1 t X 2 t... Xkt
γ 11 γ 21 · · · γg 1 γ 12 γ 22 · · · γg 2 .. . γ 1 k γ 2 k · · · γgk
U (^) t =
u 1 t u 2 t... ugt
(^0) t =
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Forma estructural del modelo
El primer sub´ındice de los elementos de la matriz β indica la ecuaci´on a la que pertenece y el segundo sub´ındice va relacionado con la variable end´ogena que acompa˜na.
En el caso de los par´ametros de Γ se tiene que el primer sub´ındice indica tambi´en la ecuaci´on a la que pertenece y el segundo sub´ındice va asociado a la variable ex´ogena que acompa˜na.
Tanto en el caso de las variables end´ogenas, ex´ogenas y perturbaciones el primer sub´ındice va referido al n´umero de la ecuaci´on a la que pertenece y el segundo indica la observaci´on, con t = 1, 2 ,... , n.
Utilizando la regla de normalizaci´on, es decir
β 11 = β 22 =... = βgg = − 1 , se describe un sistema de ecuaciones en el que la variable end´ogena Ygt de la ecuaci´on g -´esima es la variable explicada de dicha ecuaci´on.
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Forma reducida del modelo
Ventaja: permite resolver el sistema de una forma m´as sencilla ya que cada variable end´ogena est´a expresada ´unicamente en funci´on de las variables predeterminadas y las perturbaciones.
Y 1 t =X 1 t Π 11 + X 2 t Π 12 +... + Xkt Π 1 k + v 1 t , Y 2 t =X 1 t Π 21 + X 2 t Π 22 +... + Xkt Π 2 k + v 2 t , .. . Ygt =X 1 t Πg 1 + X 2 t Πg 2 +... + Xkt Πgk + vgt.
o bien en forma matricial (^) −→ Y (^) t =
X (^) t Π +
V (^) t , donde
Y (^) t =
Y 1 t Y 2 t... Ygt
π 11 π 21 · · · πg 1 π 12 π 22 · · · πg 2 .. . π 1 k π 2 k · · · πgk
X (^) t =
X 1 t X 2 t... Xkt
V (^) t =
v 1 t v 2 t... vgt
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Hip´otesis del modelo
Con respecto a las variables se tiene: (^1) Las variables ex´ogenas son no estoc´asticas. En el caso de que en el modelo haya variables end´ogenas retardadas entonces se supondr´a que ´estas ser´an independientes de las perturbaciones. (^2) Se supone que no hay multicolinealidad exacta. Los supuestos que se establecen, con respecto a las perturbaciones aleatorias de la forma estructural, en estos tipos de sistemas son similares a las hip´otesis de un modelo uniecuacional. (^1) E [−→u (^) t ] = 0 para cualquier valor de t ∈ 1 , 2 ,... , n (^2) Las perturbaciones contempor´aneas si est´an correlacionadas
Var [−→u (^) t ] = E [−→u (^) t , −→u
′ t ] =^ Σ^ =
σ^21... σ 1 g .. .
σg 1... σ^2 g
describiendo una matriz sim´etrica definida positiva (Todos los determinantes de los menores principales son positivos). (^3) Las perturbaciones no contempor´aneas (distintos momentos del tiempo) no est´an correlacionadas, es decir, E [−→u (^) t , −→u
′ s ] = 0,^ ∀t^6 =^ s^ y^ t,^ s^ ∈ {^1 ,^2 ,... ,^ n}. 4 −→u (^) t N (0, Σ) ∀t ∈ { 1 , 2 ,... , n}.
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Introducci´on Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
Si consideramos las perturbaciones de la forma reducida se tiene que −→v ′ t =^ −
−→u ′ t β
donde −→v
′ t es el vector fila de la matriz^
V.
A partir de la relaci´on existente entre las perturbaciones de la forma estructural y reducida del modelo se describen las hip´otesis siguientes: (^1) E [−→v (^) t , −→v ′ s ] = −→ 0 , ∀t 6 = s y t, s ∈ { 1 , 2 ,... , n}.
(^2) E [−→v ′ t ] = −E [−→u ′ t ]−→ β −^1 = 0
(^3) Var [−→v (^) t ] = E [−→v (^) t , −→v ′ t ] =
β−^1
E [−→u (^) t , −→u
′ t ]β
− (^1) = (β− 1 )′^ Σβ− (^1) = Ω
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Modelos de sistemas de ecuaciones Forma estructural del modelo Forma reducida del modelo Hip´otesis del modelo Conclusiones
En resumen, es necesario saber ...
(^1) Diferenciar y clasificar las variables end´ogenas y predeterminadas. (^2) Identificar los distintos modelos multiecuacionales.
(^1) Obtener la expresi´on matricial de la forma estructural. (^2) Obtener la expresi´on matricial de la forma reducida. (^3) Relaci´on existente entre la forma estructural y la forma reducida de un modelo multiecuacional.
(^1) Hip´otesis sobre las variables del modelo multiecuacional. (^2) Hip´otesis sobre las perturbaciones de la forma estructural. (^3) Hip´otesis sobre las perturbaciones de la forma reducida.
