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Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Modelos No Lineales
Econometr´ıa II
L.Econom´ıa
Dpto. de M´etodos Cuantitativos para la Econom´ıa y la Empresa
Curso 2011/
Modelos No Lineales Introducci´on Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
´Indice de Contenidos
1 Introducci´on
2 Modelos intr´ınsecamente lineales
3 Variables Dicot´omicas
4 Modelos intr´ınsecamente no lineales
M´etodo de desarrollo en serie de Taylor
5 Optimizaci´on lineal
Newton-Raphson y Gauss-Newton
Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Introducci´on
Dentro de la teor´ıa econ´omica es habitual encontrarnos en situaciones en el que los modelos utilizados para describir relaciones entre variables suelen venir descritos por expresiones no lineales. En estas situaciones el m´etodo de m´ınimos cuadrados ordinarios suele presentar inconvenientes debido a la no linealidad existente en los par´ametros.
Ejemplo
(^1) yt = β 1 + β 2 ex^2 t^ + β 3 x 3 t x 4 t + ut
(^2) yt = β 1 + β 2 x tβ 3 + ut
Observando con detenimiento los ejemplos considerados se tiene que, si se realiza el cambio de variable z 2 t = ex^2 t^ y z 3 t = x 3 t x 4 t sobre el ejemplo 1, este adopta una forma lineal, yt = β 1 + β 2 z 2 t + β 3 z 3 t + ut. Sin embargo, el ejemplo 2 no puede ser tratado como un modelo lineal debido a la estructura que este presenta. Luego, teniendo en cuenta los comentarios realizados, a la hora de estudiar los modelos no lineales se distinguir´an: Modelos intr´ınsecamente lineales. Modelos intr´ınsecamente no lineales.
Modelos No Lineales Introducci´on Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Modelos intr´ınsecamente lineales
Los modelos intr´ınsecamente lineales surgen cuando, en un modelo no lineal en par´ametros, existe alguna transformaci´on sobre los par´ametros tal que nos permite describir un modelo lineal (Ejemplo 1).
Cuando no se conoce el cambio a realizar se recurrir´a al m´etodo Box-Cox, a partir del cual podremos determinar el tipo de transformaci´on a realizar. La transformaci´on Box-Cox consiste en describir una nueva variable y (λ) utilizando la transformaci´on (1) sobre la variable Y (o variables).
y (λ) =
yλ^ − 1 λ λ^6 = 0 ln(y ) λ = 0
El cambio (1) queda determinado en funci´on del par´ametro λ^1. En este apartado centraremos nuestra atenci´on en las relaciones de dos variables, Y y X , las cuales se ajustan mediante el Modelo Box-Cox y(λ 1 ) = α 0 + β 0 x(λ 2 ) + u, donde se considera que
y (λ 1 ) =
yλ^1 − 1 λ 1 λ^1 6 = 0 ln(y ) λ 1 = 0
x(λ 2 ) =
xλ^2 − 1 λ 2 λ^2 6 = 0 ln(x) λ 2 = 0
(^1) En algunas ocasiones el par´ametro ser´a conocido y en otras ocasiones tendr´a que ser estimado por m´axima verosimilitud
Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Modelo semilogar´ıtmico en y y = eα+βx+u^ , y semilogar´ıtmico en x y = α + β ln x + u
0.5 1 1.5 2
2
Figura: Semilogar´ıtmico en y con β = − 0 , 6
0.5 1 1.5 2
4
5
6
7
8
9
Figura: Semilogar´ıtmico en y con β = 0, 6
0.5 1 1.5 2
2
Figura: Semilogar´ıtmico en x con β = − 0 , 6
0.5 1 1.5 2
Figura: Semilogar´ıtmico en x con β = 0, 6
Modelos No Lineales Introducci´on Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Modelo hiperb´olico y = α + β (^) x^1 + u y rec´ıproco-logar´ıtmico y = eα−β^
1 x +u
0.5 1 1.5 2
Figura: Rec´ıproco o hiperb´olico con β = − 0 , 6
0.5 1 1.5 2
10
20
30
40
50
60
70
Figura: Rec´ıproco o hiperb´olico con β = 0, 6
0.5 1 1.5 2
100
200
300
400
500
Figura: Rec´ıproco-logar´ıtmico con β = − 0 , 6
0.5 1 1.5 2
Figura: Rec´ıproco-logar´ıtmico con β = 0, 6
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Ejercicio
En cuatro regiones dedicadas al cultivo de cacao, se observ´o el ´area cultivada (X ), en hect´areas y la producci´on obtenida (Y ), en cientos de Kilogramos.
X 22 38 50 76 Y 3 11 34 100
Obtener un modelo doblemente logar´ıtmico que nos permita conocer la producci´on a partir del ´area cultivada.
Definici´on Se define la ELASTICIDAD como la variaci´on porcentual de una variable x en relaci´on a otra variable y. Se dice que la relaci´on entre la variable dependiente y y la variable independiente x es El´astica cuando la variable dependiente y var´ıa en mayor cantidad a la de la variable independiente x. Por el contrario, si la variaci´on de la variable independiente x es mayor a la de y , la relaci´on es Inel´astica. Matem´aticamente, la elasticidad se puede expresar como:
E [y , x] =
x y
∂y ∂x
Ejercicio Calcular la elasticidad de y respecto de x para cada uno de los modelos presentados.
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Variables dicot´omicas
En algunas ocasiones nos podemos encontrar situaciones en los que un modelo econom´etrico puede incluir variables de tipo cualitativo. Este tipo de variables suelen ser empleadas para describir acontecimientos extraordinarios como por ejemplo los cambios pol´ıticos, crisis,... Debido a que estas variables indican la presencia o no de un atributo se recurre al uso de variables ficticias, denominadas tambi´en como variables dummy. La principal caracter´ıstica que presentan estas variables es que generalmente suelen tomar los valores 1 (en presencia de la cualidad), y 0 (en ausencia de la cualidad).
Ejemplo
1 ser hombre y 0 ser mujer 1 tener estudios superiores y 0 no tener estudios superiores.
En el caso particular en el que las variables dummy toman ´unicamente los valores 0 y 1 tambi´en son conocidas por variables dicot´omicas.
Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Ejercicio Una empresa de mensajer´ıa utiliza la siguiente tabla de comisiones y viajes realizados diariamente por sus repartidores:
Comisi´on 1.5 2 2.5 3 4 6 8 10 Viajes 3 4 5 6 7 8 9 10
(^1) Estime el modelo de regresi´on por tramos suponiendo que para 6 viajes diarios la pendiente de las comisiones sufre un cambio. (^2) Contrastar si es significativa la estructura de comisiones de los repartidores que realizan m´as de 6 viajes al d´ıa.
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M´etodos de M´ınimos Cuadrados No Lineales M´etodo de desarrollo en serie de Taylor
Modelos intr´ınsecamente no lineales
Modelos intr´ınsecamente no lineales Realizando transformaciones sobre los modelos introducidos en la secci´on anterior se consegu´ıan describir modelos linealizados. El problema se presenta cuando la transformaci´on a realizar no es tan evidente, no consiguiendo as´ı poder realizar la estimaci´on de los par´ametros del modelo. La no linealidad que se encuentra en el sistema de ecuaciones normales, utilizadas para la estimaci´on de los par´ametros, de los modelos intr´ınsecamente no lineales suelen presentar ciertos problemas de resoluci´on, recurriendo para este fin a m´etodos num´ericos. Los m´etodos m´as empleados en la estimaci´on de modelos intr´ınsecamente no lineales son:
(^1) M´ınimos Cuadrados No Lineales. (^2) M´etodo del desarrollo en serie de Taylor. (^3) M´etodo de M´axima Verosimilitud.
En nuestro caso, se centrar´a la atenci´on en los dos primeros m´etodos.
Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
M´etodos de M´ınimos Cuadrados No Lineales M´etodo de desarrollo en serie de Taylor
M´etodos de M´ınimos Cuadrados No Lineales
El m´etodo de M´ınimos Cuadrados No Lineales, al igual que su hom´ologo lineal, consiste en minimizar el sumatorio de los errores del modelo al cuadrado, es decir:
m´ın β
SCR(β) =
∑^ n
t=
e t^2 =
∑^ n
t=
[yt − f (xt; β)]^2
(^3) Luego, los pasos a realizar son:
1 o^ paso. Se realiza la derivada de la expresi´on anterior con respecto a cada uno de los par´ametros contenidos en el vector de par´ametros β e igualando a cero, cada una de las derivadas, se obtienen las expresiones correspondientes a las ecuaciones normales. A partir de las ecuaciones normales se obtendr´an las estimaciones de cada uno de los par´ametros que describen al modelo.
∂SCR(β) ∂β
∑^ n
t=
[yt − f (xt; β)]
∂f (xt; β) ∂β
2 o^ paso. Se comprueba que la matriz ∂
(^2) SR(β) ∂β ∂β′^ es definida positiva. Ejercicio
Obtener el sistema de ecuaciones normales del modelo no lineal yt = β 1 + x tβ 2 + ut. (^3) N´otese que β hace referencia al vector de par´ametros. Modelos No Lineales Introducci´on Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
M´etodos de M´ınimos Cuadrados No Lineales M´etodo de desarrollo en serie de Taylor
M´etodo de desarrollo en serie de Taylor
Utilizando el desarrollo en serie de Taylor de primer orden, se consigue linealizar una funci´on de la forma yt = f (xt, β) + ut con t = 1, 2 ,... , n, entorno a la estimaci´on inicial de β̂ 0 :
yt ∼= f (xt, β̂ 0 ) +
∂f (xt, β̂ 0 ) ∂ β̂ 0
(β − β̂ 0 ) + ut (2)
definiendo z
β 0
∂f (xt, β̂ 0 ) ∂ β̂ 0
la expresi´on (2) queda descrita por
yt ∼= f (xt, β̂ 0 ) + z
β 0
(β − β̂ 0 ) + ut (3)
yt − f (xt, β̂ 0 ) + z
β 0
β 0 ∼= z
β 0
β + ut (4)
Considerando yt − f (xt, β̂ 0 ) + z
β 0
β 0 = y (^) t∗ en (4) esta queda definida por
y (^) t∗ ∼= z
β 0
β + ut (5)
de donde, el estimador m´ınimo cuadr´atico adopta la expresi´on
β̂ =
[
z
β 0
z
β 0
)]− 1
z
β 0
y (^) t∗ (6)
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Newton-Raphson y Gauss-Newton
Algoritmo de Newton-Raphson
Algoritmo de Newton-Raphson El algoritmo de Newton-Raphson es un m´etodo de estimaci´on basado en minimizar la suma de cuadrados de los residuos. En un primer paso se aproxima, mediante la serie de Taylor de segundo orden, la funci´on SCR(β) entorno a un punto inicial β̂ 0.
SCR(β) ≈ SCR(β̂ 0 )+
∂SCR(β) ∂β
β̂ 0
β − β̂ 0
β − β̂ 0
)′ (^ ∂ (^2) SCR(β)
∂β∂β′
β̂ 0
β − β̂ 0
Como la idea que se persigue es minimizar la expresi´on asociada a la suma de los cuadrados de los residuos, derivamos la aproximaci´on realizada con respecto a cada uno de los par´ametros que intervienen en la funci´on objetivo y se iguala a cero. Luego, si realizamos la derivada de SCR(β) con respecto a los par´ametros del modelo, se tiene: ∂SCR(β) ∂β
∂SCR(β) ∂β
β̂ 0
∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂ 0
β − β̂ 0
As´ı pues, con el objeto de buscar los m´ınimos de dicha expresi´on, se iguala la derivada a cero, describiendo la ecuaci´on: ( ∂SCR(β) ∂β
β̂ 0
∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂ 0
β − β̂ 0
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Newton-Raphson y Gauss-Newton
Algoritmo de Newton-Raphson
De donde se tiene, despejando el vector de par´ametros, β, que ( ∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂ 0
β − β̂ 0
∂SCR(β) ∂β
β̂ 0 ( β − β̂ 0
∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂ 0
∂SCR(β) ∂β
β̂ 0
β̂ = β̂ 0 −
∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂ 0
∂SCR(β) ∂β
β̂ 0
As´ı pues, realizando el proceso de forma iterativa, se describe la i -´esima iteraci´on del algoritmo por:
β̂ i+1 = β̂ i −
∂^2 SCR(β) ∂β∂β′
β̂i
∂SCR(β) ∂β
β̂i
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Newton-Raphson y Gauss-Newton
Algoritmo de Gauss-Newton
Algoritmo de Gauss-Newton El algoritmo de Gauss-Newton es muy similar al algoritmo de Newton-Raphson. La principal diferencia existente entre ambos algoritmos es que la aproximaci´on de la funci´on viene definida mediante el desarrollo en serie de Taylor de primer orden.
f (xt, β) = f (xt, β̂ 0 ) +
∂f (xt, β̂ 0 ) ∂ β̂ 0
(β − β̂ 0 ) + ut
donde f (xt, β) representa la funci´on a estimar. Luego, la expresi´on que se tiene para el algoritmo de Gauss-Newton vendr´ıa dada por la expresi´on:
β̂ i +1 = β̂ i +
[ (^) n ∑
t=
∂f (xt, β) ∂β
∂f (xt, β) ∂β
)′]− 1
β̂i
[ (^) n ∑
t=
∂f (xt, β) ∂β
ut
]
β̂i
donde ut = yt − f (xt, β̂ 0 ).
Modelos No Lineales Introducci´on Modelos intr´ınsecamente lineales Variables Dicot´omicas Modelos intr´ınsecamente no lineales Optimizaci´on lineal
Newton-Raphson y Gauss-Newton
Ejercicio
(^1) Obtener el sistema de ecuaciones del algoritmo Newton-Raphson de la funci´on:
yt = eβxt^ + ut
Considerando β̂ 0 = 0 obtener la expresi´on de la primera iteraci´on del algoritmo.
(^2) Sea el modelo no lineal yt = x 1 βt^1 + x 2 βt^2 + ut , describa la primera iteraci´on correspondiente al algoritmo de Newton-Raphson considerando β̂ 10 = 0 y β̂ 20 = 0.
Ejercicio
(^1) Obtener el sistema de ecuaciones del algoritmo Gauss-Newton de la funci´on:
yt = eβxt^ + ut
Considerando β̂ 0 = 0 obtener la expresi´on de la primera iteraci´on del algoritmo. (^2) Sea el modelo no lineal yt = x 1 βt^1 + x 2 βt^2 + ut , describa la primera iteraci´on correspondiente al algoritmo de Gauss-Newton considerando β̂ 10 = 0 y β̂ 20 = 0.
