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Asignatura: econometria 1, Profesor: , Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UGR
Tipo: Apuntes
1 / 53
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Econometría. Tema 6
Distribución en el muestreo de los estimadores MCO
u X Y^
r r
r^
=
β
1
i
i^
2
σ β
β^
(^
) (^1) ; 0
ˆ^
N
a^ ii
i i^
→ − σ
β β
(^
) n I
N
u^
2 ; 0 σ
→ r
(^
) n I
X N Y^
2
r^ →
(^
)^
r
r
(^1) −
β
(^
)
(^
1 )
2
'
;
ˆ^
−
→
X X
N
σ β
β^
r
r
X
(^
)
(^
1 )
2
'
; 0
ˆ^
−
→ −^
X X
N
σ
β β^
r r
Econometría. Tema 6
Recordando
2
Ya se sabe que
(^
) I
N
u^
2 ; 0 σ
→ entonces r
2
2
kn
u M u^
− →
r r
Rango de una matriz idempotente, su traza
(^
) I
N
X^
2 , 0 σ
→
A simétrica e idempotente de rango k,
2
2
' 1
k
AX X
χ
σ^
→
M es simétrica e idempotente y que su traza vale n-kpor tanto, el rango de M es n-k ●
De donde se deduce que
Econometría. Tema 6
4
2
2
(^2) ˆ )
(^
kn
k n^
− →
−
χ
σ
σ
Si recuerdan
0
ˆ^
N
a^ ii
i i^
→ − σ
β β
kn
i ii i
−
2 2
σ
σ
σ
β β
k n
i ii
i^
−
n
n^
F
t^
, 1
2 →
k n
i ii i^
F
a^
−
→
−^
, 1
2
2
ˆ ˆ^ σ
β β
Econometría. Tema 6
5
Intervalos de confianza para los parámetros 5
Centro
Radio
0
ˆ^
t aii σ
k n
i ii
i^
t
a^
−
→
− σ
β ˆβ^ ˆ
i ˆ β
Ejemplo
⎞⎟ ⎟ ⎟⎠
⎛⎜ =⎜ ⎜⎝
19 20 11
20 32 14
11 14 7 '^ XX
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛⎜ −⎜ ⎜−⎝
− −
−=
14 7 36
7 6 23
36 23
104 (^110)
'^
1 X X
⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ (^37) ⎛⎜ = (^77) ⎜ ⎜ (^57) ⎝ r ' YX
203 '^
= Y Y^
r r
⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛⎜ =⎜ ⎜⎝
(^5) , 2 1 5 , 0 r ˆ β
(^57) , 195 37 7
37 7 7
2
2
2
=
= ⎞⎟ ⎠ ⎛⎜ ⎝ =^
x
Yn
2
Yn Y Y
SCT
r r
198 (^3777) ) 57 (^5) , 0 1 (^5) , 2 ( ) ' ˆ^ ('
⎞⎟ =⎟ ⎟⎠ ⎛⎜ ⎜ ⎜⎝
= Y X^
r r β
5
198
203 ' ˆ' '^
=
−
=
−
=^
Y X
Y Y
SCR
r
r r r
β (^
)^
(^43) , 2
(^57) , 195 198
' ˆ^ '
2
=
−
=^
Yn Y X
SCE
r r β
k SCRn
σ
σ
Econometría. Tema 6
7
Intervalo de confianza para 5
n = 7; k=3; En el ejemplo, con
2
2
(^2) ˆ ) (^
kn
k n^
− →
−
χ
σ
σ
2 σ
2
) 2 (^1) )( (
2
2
2
) 2 )( (
ˆ)
(
α
α
χ
σ
σ
χ^
− −
−^
≤
− ≤^
kn
kn
k n
2
) 2 (^1) )( ( 2 2
2
) 2 )( (
1
ˆ)
(
1
α
α
χ
σ σ
χ^
− −
−
≥
− ≥
kn
kn
k n
2
) 2 (^1) )( (
2
2
2
) 2 )( (
2
ˆ)
(
ˆ)
(
α
α
χ
σ
σ
χ
σ
− −
−
− ≥ ≥
−
kn
kn
k n
k n
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎜ ⎝
−
−
−
− −
2
) 2 )( (
2
2
) 2 (^1) )( (
2
ˆ)
( , ˆ)
(
α
α
χ
σ
χ
σ
kn
kn
k n
k n
(^95) , 0
1
= −^ α
σ
(^14) , 11
2
) (^975) , 0 )( (^4) (
2
) 2 (^1) )( (^
=
= − −
χ
χ^
α kn
(^48) , 0
2
) (^025) , 0 )( (^4) (
2
) 2 )( (^
=
=
−
χ
χ^
α k n
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
(^48) , 0
(^25) , 1 4 , (^14) , 11
(^25) , 1 4
x
x (
) (^41) , 10 , (^44) , 0 (^
)^
(^95) , 0
(^41) , 10
(^44) , 0
2
=
≤ ≤σ
P
Econometría. Tema 6
8
La matriz R tiene q filas (número de hipótesis) y k columnas
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales (^5) El vector
tiene q filas (número de hipótesis) y 1 columna r r
Ejemplos:
2
1 0
β
β^
3
2 1
) 3 ( = r r ) 0 1 (^1) (^
R
1 3 : 0
β β^
3 2
1
) 0 ( = r r ) 1
0 (^1) (^
−
= R
2 0
β H
3
2 1
) 2 (− = r r ) 0 1 (^0) ( = R
1 0
β H
3
2
1
) 0 ( = r r ) 0 0 (^1) ( = R
r
R
H
r r^
= β : 0
En todo caso, la hipótesis nula es
Econometría. Tema 6
10
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales 5
(^
)
(^
1 )
2
'
;
ˆ^
−
→
X X
N
σ β
β^
r
r
(^
)
(^
)'
'
;
ˆ^
1
2
R X X R R N
R^
−
→
σ β
β^
r
r
(^
)
(^
)'
'
; 0
ˆ^
1
2
R X X R N R
R^
−
→
−
σ
β
β^
r r
(^
)
(^
)^
2
1 1
2 '
ˆ
'
'
1
ˆ^
q r R R X X R r R χ
β
σ
β^
⎞→⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−^
− −^
r r
r r^
2
2
kn
−
→
(^
)
(^
)
kn Fq
k n
SCR
q r R R X X R r R
−
− −
→
−
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
,
2
1 1
2 '
)
(
ˆ
'
'
1
ˆ^
σ
β
σ
β^
r r
r r
Econometría. Tema 6
11
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales 5
(^
)
(^
)
kn Fq
q r R R X X R r R
−
− −
→
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
,
2
1 1
'
ˆ
ˆ
'
'
ˆ
σ
β
β^
r r
r r
r Ej. En el ejercicio de la página 5, contrastar la hipótesis
2
3
1
β
β^
3 2 0
β β H
r r
) 1 1 (^0) ( = R
⎞⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛⎜ =⎜ ⎜⎝
(^5) , 2 1 5 , 0 r ˆ β
r
R^
r
r
R^
r
σ
Econometría. Tema 6
13
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales 5
(^
)
(^
)
kn Fq
q r R R X X R r R
−
− −
→
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
⎞⎟ ⎠
⎛^ ⎜ ⎝
−
,
2
1 1
'
ˆ
ˆ
'
'
ˆ
σ
β
β^
r r
r r
r Ej. En el ejercicio de la página 5, contrastar la hipótesis
⎧ ⎨ ⎩
= =
0 0
:
2 3 0
β^ β
H
⎞⎟ ⎟⎠ ⎛⎜⎜⎝ =^
0 0 r r
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛ ⎜ =⎜ ⎜⎝
(^5) , 2 1 5 , 0 r ˆ β
r
R^
r
(^
) 5 , 0 1
r
R^
r
σ
Econometría. Tema 6
14
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales 5
(^
)^
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟ =⎟ ⎟ ⎠
⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠
⎛ ⎜ −⎜ ⎜−⎝
−
−
⎞⎟⎟ ⎠
⎛⎜=⎜ ⎝ −
14 7
7 6 (^110) 1 0
0 1
0 0 14 7
36
7
6
23
36
23
104 (^110) 1 0 0
0 1 0 '
'^
1 R X X R (^
)
(^
)^
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜−⎝
−
= − −
6 7
7
14 10 35 '
'^
1 1 R X X R
(^
)
(^9714) , 0
214325 , 1 , 1
(^25) , 1
2 (^5) , 1 0 6 7
7
14 10 35 (^5) , 0 1
exp
=
=
⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠
⎛ ⎜⎜−⎝
−
= F^
(^94) , 6 (^95) , (^0) ; (^4) , 2
=
F
F exp menor que F tabla, No se puede rechazar la Hipótesis nula
Econometría. Tema 6
16
0
; ; 0
:^
2 0
=
=^
k
H
β
β^
L
−
) 1 (
xk k R
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales.Casos particulares: 2) Verificación de la significación conjunta
−
(^1) ) 1 (^
r^
x rk 2
2
1 2
r
r r
k
k
r
R
' 2 '
ˆ
r
r r
r
R
Econometría. Tema 6
17
Verificación de la significación conjunta
(^
)^
'
'^
1 R X X R^
−
Realizando la siguiente partición de X:
es una matriz cuadrada formada por las k-1últimas filas y las k-1 últimas columnas de
(
(^1) ) '^
− X X
(^
) 2 ,^ Xi
X^
r =^
entonces
⎞⎟ ⎟ ⎠
2 ' 2
' 2
2 '
'^
X X i X
X i n
X X^
r
r
⎞ ⎟ ⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
−
⎞ ⎟→⎟⎠
⎛ ⎜⎜⎝
nI
X ii X X nX
X i n I X X i X
X i n
0 1 '
0
'
0
0 1 '
2 ' 2 2 ' 2
2
2 ' 2
' 2
2
rr
r
r
r
Para calcular la inversa
por 1ª Fila. i X^
r' 2
n por 2ª Fila menos
(*) No es trascendente
Ahora se premultiplica la segunda fila por
(^
(^1) ) (^2)
' 2 2 ' 2
'
1
−
−^
X ii X X nX n
rr
Econometría. Tema 6
19
Verificación de la significación conjunta
SCE SCT R^ 2 =
SCT R
SCE
) (), 1 (
) (
) 1 (^
kn k F k n SCR
k SCE
− − → − − u
SCR SCT
R^
− 2 =^1
(^
) SCT R
SCR
2 1 − =
(^
)^
) (), 1 (
2 2
) (
1
) 1 (^
kn k F k n SCT R
k SCT R
− − → −
−
− (^
)^
) (), 1 (
2 2
) (
1
) 1 (^
kn
Fk
k n R
k R
− − → −
−
−
Econometría. Tema 6
20
Contraste de un conjunto de hipótesis lineales. Casos particula-res: 3) Verificación de un subconjunto de s parámetros
1
r rsx
(^
) k s r^
=
0
; 0
; 0
:^
2
1 0
=
=
=^
+^
k
r
r
H
β
β
β^
L
(^
) s
sxk
Se particionan la matriz X y el vector de estimadores
(^
) s Xr X
X^
β r β^ s
β^
r r
r
entonces
(^
)^
s s s
r s s^
r
R
β β
β β
β
r r
r r r
r r^
' '
ˆ^
s
r
R
r
r r
(^
)^
s s
r s
s r r r s r
r s
'
'
'
'
' '
