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Francisco José Oliver Márquez. Grado en Economía. 3ºA.
LADE-2006.3 (Jun-2006)
Se desea analizar el gasto en teléfono en función de la renta familiar y del tamaño de la familia. Para ello, se propone el siguiente modelo:
Yi = β 1 + β 2 Ri + β 3 Ti + ui i = 1,…, 15 ui ~ NID (0,
donde:
Yi : gasto anual realizado por la unidad familiar en telefonía fija, medido en euros. Ri : renta familiar anual, medida en miles de euros. Ti : número de miembros que componen la unidad familiar.
Con los datos recogidos para 15 familias se dispone de la siguiente información:
(X’X)-1^ = ( )
1. Estima el modelo propuesto por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Interpreta los coeficientes estimados. ¿Tienen los signos esperados?
La matriz nos la aporta el propio enunciado. No obstante, la matriz ̅ hemos de construirla:
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Desarrollando la expresión (1) tenemos que:
Por tanto:
Así pues, el modelo estimado quedaría de la siguiente manera:
̅̂ = 119,3559 + 3,9828Ri + 55,3429Ti
̅̂ euros es el valor estimado esperado del gasto anual realizado por la unidad familiar en telefonía fija cuando tanto la renta familiar anual como el número de miembros que componen la unidad familiar adoptan el valor cero. ̅̂ euros es el aumento que se estima en el valor esperado del gasto anual realizado por la unidad familiar en telefonía fija cuando la renta familiar anual se incrementa en 1.000 euros (permaneciendo constante el número de miembros que componen la unidad familiar). Presenta signo positivo, como se esperaba, pues desde la perspectiva de la teoría económica es lógico que conforme aumente la renta se incremente el gasto. ̅̂ euros es el incremento que se estima en el valor esperado del gasto anual realizado por la unidad familiar en telefonía fija cuando el número de miembros que compone la unidad familiar aumenta en una unidad (permaneciendo constante la renta familiar anual). Presenta signo positivo, como se esperaba, pues desde el punto de vista de la teoría económica resulta lógico que conforme aumenta el número de miembros que componen la familia se incremente el gasto realizado.
2. Calcula e interpreta una medida de la bondad del ajuste realizado.
El coeficiente de determinación, R^2 , mide la bondad o fiabilidad del ajuste de los datos al modelo, por lo que lo emplearemos para medir la bondad del ajuste. Se calcula mediante la siguiente expresión:
donde:
̅̂ ̅ ∑^ ̅ ̅ ∑^ ∑ ∑
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La matriz de varianzas y covarianzas del estimador de mínimos cuadrados ordinarios se define de la siguiente manera:
( ̅̂ ) [( ̅̂ [ ̅̂ ]) ( ̅̂ [ ̅̂ ]) ] [( ̅̂̅ ) ( ̅̂̅ ) ]
[ ̅ ̅ ] [ ̅̅ ]
[ (^) ̅ ̅ ] [ ̅ ̅ ]
̂ ̂ ̂ ̂
Así pues, la matriz de varianzas-covarianzas, en la diagonal principal, contiene las varianzas de cada parámetro de posición, mientras que fuera de esta se recoge la covarianza entre una perturbación y otra diferente. En este caso concreto, aprovechando que la varianza estimada, ̂ , está calculada en el apartado 4, la matriz de varianzas- covarianzas quedaría de la siguiente manera:
4. Estima la varianza de las perturbaciones.
Para calcular la varianza estimada nos serviremos de la siguiente expresión:
donde:
̅ ̅̅̂ ̅ ∑^ ̅̂ ̅ ; aunque también podemos deducir SCR de la siguiente manera:
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Así pues, calcularemos primero SCR para después obtener̅̂
- Aplicando la expresión (6):
( )
- Vemos cómo aplicando la expresión (7), el resultado es el mismo:
Por último, sustituimos el valor de SCR en la expresión (5) y obtendremos ̅̂.
5. ¿Son las variables explicativas individualmente significativas? ¿y conjuntamente? Realiza los contrastes oportunos.
Contraste de significación individual para la variable “renta familiar anual, medida en miles de euros” ( Ri ).
Consiste en contrastar si la variable Ri , acompañada por el parámetro β 2 , es significativa (el parámetro es distinto de cero) o no significativa (el parámetro es igual a cero).
Para ello, utilizaremos el siguiente estadístico:
̅̂ ̅ √ ̅̂
Así pues, adaptando la expresión (8) a este caso particular y sustituyendo los valores obtenemos lo siguiente:
̅̂ ̅ √ ̅̂ √
Una vez que hemos obtenido la t experimental ( , para finalizar el contraste, es
necesario saber cuál es la t teórica ), la cual averiguamos buscando su valor en la tabla estadística “Distribución t de Student” para unos grados de libertad 15 – 3 = 12 y una probabilidad de 0,025 (ya que el contraste lo estamos realizando con un nivel de
confianza del 95%). Así pues,.
Como , rechazamos , por lo que la variable
explicativa “renta familiar anual” es, con un nivel de confianza del 95% (o nivel de
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Para ello, nos apoyaremos en la siguiente expresión (que no es estrictamente un estadístico pues no contiene parámetros del modelo, si bien es cierto que proviene de otro estadístico):
Si adaptamos la expresión (9) a este caso concreto e introducimos los valores, obtenemos el siguiente resultado:
Una vez que hemos hallado la F experimental ( es necesario, para finalizar el
contraste, saber el valor de la F teórica ( ), el cual averiguamos buscando su valor
en la tabla estadística “Distribución F de Snedecor” para un nivel de significación del 0,05 y unos grados de libertad 2 y 12 para el numerador y denominador respectivamente. Así,.
Como , se rechaza , por lo que, como ya anunciábamos al principio del contraste, se verifica con un nivel de confianza del 95% (o nivel de significación del 0,05) que el modelo es globalmente significativo.
6. Contrasta que el efecto unitario del tamaño de la familia sobre el gasto medio anual en telefonía fija es 10 veces superior al de la renta familiar anual.
Traduciendo el enunciado a términos econométricos, lo que nos pide es contrastar la siguiente hipótesis:
Con tal finalidad, nos apoyaremos en el “superestadístico” o estadístico general, que viene determinado por la siguiente expresión:
(̅̂̅ ) [ ] ̅̂̅̅̂
Antes de operar, desglosaremos los cálculos de cada una de las partes de esta expresión para después introducirlos en ella. Lo primero que debemos hacer es construir la matriz
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R, la cual deberá tener tres columnas (una por cada parámetro) y una fila (pues sólo hay una condición); de este modo, la matriz R es:
Por su parte, q se identifica con el número de filas de la matriz R, por lo que q adopta el valor 1, es decir,.
̅̂ ( )
En consecuencia, ̅̂̅
( ) ( )
Ahora que tenemos todos estos resultados, podemos introducirlos en la expresión (10), a través de la cual pretendemos realizar el contraste (estadístico general o “superestadístico”):
Una vez que hemos hallado el valor de la F experimental ( , para finalizar el
contraste, debemos buscar el valor de la F teórica ( en la tabla estadística “Distribución F de Snedecor” para un nivel del significación del 0,05 y unos grados de libertad de 1 y 12 para el numerador y el denominador respectivamente. Este valor es
.
Como , aceptamos. En consecuencia se verifica,
con un nivel de confianza del 95% (o un nivel de significación del 0,05), que el efecto unitario del tamaño de la unidad familiar sobre el gasto medio anual en telefonía es diez veces superior al de la renta familiar.
7. ¿Crees que es posible que una familia formada por 2 miembros y con una renta anual de 30.000 euros realice un gasto anual en teléfono de 700 euros? Razona tu respuesta.
Para responder a esta cuestión hemos de realizar una predicción puntual, la cual podemos resolver mediante un intervalo de confianza o bien mediante un contraste, siendo este último más exacto que el primero. Aquí expondremos las dos vías de realizar dicha predicción. Si bien, tanto para un método como para otro, lo primero que
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Contraste de hipótesis.
Mientras que el intervalo de confianza nos dice entre qué valores rondará la variable objeto de estudio, un contraste de hipótesis de estas características directamente nos indica si dicha variable tomará o no ese valor que se nos plantea. Debido a que el intervalo de confianza nos ha indicado que el gasto anual en telefonía fija realizado por una familia de esas características no alcanzará la cifra de 700€, lo coherente es que este contraste nos indique igualmente que dicho gasto no será 700€. La hipótesis que debemos contrastar en este caso particular es la siguiente:
Con tal finalidad, nos apoyaremos en el siguiente estadístico:
̂ √ ̅̂ (^) ̅ ̅̅̅̂ √ ̅̂ ̅ ̅
Sustituyendo en la expresión (12) el valor de cada uno de los elementos que la compone (que ya han sido calculados pues se requería para el intervalo de confianza) e introduciendo , obtenemos lo siguiente:
Como , rechazamos , lo que significa que, con un nivel de confianza del 95% (o un nivel de significación del 0,05), afirmamos que el gasto anual en telefonía fija realizado por una unidad familiar compuesta por dos miembros y con una renta anual de 30.000€ no será de 700€.
8. Se piensa que la disposición de teléfono móvil puede afectar al gasto realizado en telefonía fija. Por ello, también se realiza la siguiente regresión:
̅̂
donde es el número de teléfonos móviles disponibles en la unidad familiar.
¿Es significativa la nueva variable incorporada en el modelo,? ¿Cuáles son las propiedades de los estimadores del modelo? Teniendo en cuenta tus respuestas ¿Qué modelo elegirías para explicar el gasto en telefonía fija?
Lo primero que debemos realizar es un contraste de significación sobre el parámetro , que es el que acompaña a la variable , para así saber si esta variable es relevante o no en el modelo.
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Así, la hipótesis es:
Para ello, emplearemos el siguiente estadístico – expresión (8), del cual ya tenemos el resultado pues no lo aporta el mismo enunciado:
Para finalizar el contraste es necesario comparar la t experimental ( con la t teórica
( ), la cual ya no es la que veníamos utilizando a lo largo de todo el ejercicio, pues
ahora existe una variable más. El valor de lo averiguamos buscando su valor en la tabla estadística “Distribución t de Student” para unos grados de libertad 15 – 4 = 11 y una probabilidad de 0,025 (ya que el contraste lo estamos realizando con un nivel de
confianza del 95%). Así pues,
Como , aceptamos. En consecuencia, afirmamos,
con un nivel de confianza del 95% (o un nivel de significación del 0,05), que el número de teléfonos móviles disponibles en la unidad familiar no influye en el gasto anual realizado por la unidad familiar en telefonía fija, por lo que podemos prescindir de esta variable (.
Como conclusión, el modelo inicial es lineal, insesgado y óptimo, puesto todas sus variables son relevantes, mientras que el modelo que estamos estudiando en esta pregunta pierde eficiencia, es decir, es menos óptimo, puesto que hay una variable no significativa ( , por lo que es conveniente elegir el modelo inicial.
