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Índice
- El modelo de regresión lineal
Especificación.
Hipótesis
básicas
del
modelo.
Representaciones
adicionales.
Estimación de los parámetros estructurales por el método de mínimos cuadradosordinarios (MCO). Propiedades. Estimador de la varianza de los errores.
- Bondad del ajuste: coeficiente de determinación3. Inferencia en el modelo de regresión lineal: intervalos de confianza y
contrastes de hipótesis para los parámetros individuales
- Contrastes conjuntos de restricciones lineales5. Combinación de información muestral y no muestral: el estimador de
mínimos cuadrados restringidos
- Predicciones con el modelo de regresión lineal7. Forma Funcional8. Evaluación y validación de modelos econométricos
Objetivos
1.^
Saber formular el modelo de regresión lineal y detallar las principaleshipótesis en las que se basa el mismo.
2.^
Comprender
la
lógica
de
la
estimación
por
mínimos
cuadrados
ordinarios
así
como
las
propiedades
estadísticas
básicas
de
los
estimadores MCO de los parámetros de regresión.
3.^
Realizar
contrastes
de
hipótesis
e
intervalos
de
confianza
en
el
contexto del modelo de regresión lineal.
4.^
Evaluar y juzgar los resultados estadísticos obtenidos en un modelo deregresión.
5.^
Interpretar económicamente los resultados de un modelo de regresión.
6.^
Estimar e interpretar modelos econométricos lineales utilizando elpaquete econométrico EViews.
i Ki K
i
i^
e x
x
y^
^
2 2 1
Definición:
Se llama
Modelo de Regresión Lineal General
al modelo
probabilístico: Para la
estimación de los parámetros estructurales
del modelo (objetivo
básico) se dispone de un conjunto de
n^
observaciones
(y^ i
, x
, ..., x2i^
), i = 1,...,n,Ki^
de modo que para cada una de ellas se tieneCada parámetro
mide aproximadamente el
efecto parcia
l^ sobre la variable
dependiente
de un cambio unitario en la variable explicativa
bajo la
hipótesis de que el resto de variables explicativas permanece constante(supuesto ‘
ceteris paribus
e x
x
y^
K K^
^
2 2 1
2.1. Especificación
j^
^
y^
cuando
x
j 1 y
x
i 0
i^
j
2.1. Especificación
El conjunto de igualdades puede expresarse
matricialmente
e X y
e e
x
x
x
x
y y
n
K
Kn
n
K
n
1
1
2
1
21
1
1 1
-^
y^ = (
y,…,y^1
)' n es el
vector columna de las observaciones de la variable
endógena
-^
X^
x^ ) ij
i =
n ;^
j^ = 1,…,
K^
es la matriz, de orden
n x
K ,
de las
observaciones de las variables exógenas
, considerando
x^1
= 1 i
i.
-^
La
fila i-ésima
de la matriz
X
,^ x
= (1, i^
x^2 i
x^ Ki
)^ contiene los valores de la
observación i-ésima para las K variables explicativas
del modelo.
-^
La
columna j-ésima
de
X ,
( x
,..., j^1
x^ jn
)’^
contiene los
n valores observados
para la variable x
. j -
^
^1
,^
K
)’^
es el vector que contiene los parámetros del modelo
-^
e^
=^
(e^1
,…,e
)' n
es el vector de los errores o perturbaciones aleatorias.
H
:^
i E[e
] = 0 (hipótesis dei^
media nula de los errores
H4:
i
Var[e
] =i
> 0 (hipótesis de
homoscedasticidad
o igualdad
de las varianzas de los errores) H
:^
i^ j
Cov[e
,e^ ij
] = 0 (hipótesis de
ausencia de correlación
en los
errores) H
: Cada perturbación e
sigue una distribución normal (hipótesis dei
normalidad de los errores
2.2. Hipótesis básicas del modelo
Representaciones adicionales
Las hipótesis H4 y H5 pueden ser agrupadas expresando la matriz decovarianzas del vector de las perturbaciones,
e , como
^
^
n
j i^
I
e e Cov
ee E e E e e E e E e
Cov
2
)) , ( ( )' (
))' (
()) ( ( ) (
n
n
n
n n
j i
I
e Var
e e Cov
e e Cov
e Var
e e Cov
e e Cov
e e Cov
e Var
e e Cov e Cov
2 2
2 2
1
2
2
2 1
1 2 1 1 0 0
0
0
0
0
) (
) , (
) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( (
)(
2.2. Hipótesis básicas del modelo
Las perturbaciones que cumplen estas hipótesis (homoscedasticidad y noautocorrelación) son conocidas como
perturbaciones esféricas
i i
i i i^
e x
e y E y^
^
(^22) 1
) (
En el caso del modelo de dos variables, se tiene:
2.1. Especificación
2.3. Estimación de los parámetros estructurales por MCO Estimación de la función de regresión poblacional
: se trata de encontrar
la^
función
más próxima a la nube o conjunto de puntos muestrales:
MCO
el plano más próximo al conjunto de puntos muestrales es
aquel para el cual se hace mínima la suma de los cuadrados de lasdistancias verticales, es decir la cantidad:
S^ (
b )
(^2) ê i n i ^1
^
(^ y
i^
ˆ y )^ i^ 2
n i ^1
S ( b
)^
(^2) ê i
( ê
1
L^
ê^ n
) ^ ê^1 ^ M^ ê^ n
ê
' ê
^
(^ y
Xb
)' (
y^
^
Xb
)^
y
'^ y
2
bX
'^ y
b '^ X
'^ Xb
La
función minimando
también se puede expresar
matricialmente
en la
forma
K
xbK
x
b
b
y^
^
2 2 1
2.3. Estimación de los parámetros estructurales por
MCO
S
( b
) b
2
X^
'^ y
2
X
'^ Xb
0
X
'^ y
X
'^ Xb
X' X
es matriz cuadrada de orden
K
y rango pleno
( X' X
Pre-multiplicando las ecuaciones normales por (
X' X
,^ se
obtienen las
estimaciones MCO del vector
^
b^
(
X
'^ X
) 1 X
'^ y
Para obtener los valores de los parámetros que minimizan la funciónderivamos respecto de
^
e igualamos a 0
(condición de primer orden) :
2.4. Propiedades del estimador de MCO
1.^
Es función
lineal
de
y.
2.^
Es un
estimador
insesgado:
E
( ˆ )
e X X X e X X X X X X X
e X X X X y X X X
' ) ' ( ' ) ' ( ) ' ( ) ' (
)
(' ) ' ( ' ) ' ( ˆ
1
1
1
1
1
^
^
^
^
) ( ' ) ' (
ˆ) (^
1
e E X X X E
y, como por hipótesis se cumple que
E(e) = 0
, se tiene
Como función de los valores de la variable
y
para distintas muestras
hablaremos del
estimador
MCO de
^
Al
tratarse
de
una
variable
aleatoria
nos
interesa
conocer
sus
propiedades:
y X X X
' ) ' ( ˆ^
(^1)
4.^
El vector de residuos
ê , es ortogonal a la matriz de variables
explicativas,
X^
5.^
La media de los residuos es 0:
6.^
T eorema de Gauss-Markov
: El estimador MCO, es óptimo dentro de la
clase de los estimadores lineales e insesgados de
^
( MELI: Mejor
Estimador Lineal Insesgado
7.^
Consistencia
: Cuando el tamaño de la muestra aumenta, crece la
probabilidad de que los estimadores se encuentren cerca de los valorespoblacionales verdaderos:
0 '^
ê X
y
ˆ^
^
ii
i^
ê
e
j
j
p
^
lim
2.4. Propiedades del estimador de MCO
Como estimador de la varianza de los errores se toma la
varianza
residual
La varianza residual es un estimador insesgado de
K n
ê ê
K n
êi
^
'
ˆ
2
2 ) ˆ (
^
E
Estimación de la varianza de los errores
,^
2
2.5. Estimador de la varianza de los errores
3.1. Bondad del ajuste. Coeficiente de determinación: R
2
Propiedades: 1.^
R
1, (cuando existe término independiente)
2. 3.^
2 R
ajuste perfecto)
( STC
=^
SEC
o^
SRC
4.^
2 R
= 0 (ajuste nulo)
( STC
=^
SRC
R^
2
ry^ , ˆ
y
^
i
i^
e y y^
Coeficiente de determinación: R
2
^
2 2
2
y
y
y
y
SECSTC
R
i i
y
y
y
y
SRCSTC
i
i
i^
% de la variación total de la variable dependiente explicada por elmodelo:
3.2. Coeficiente de determinación ajustado
Problemas que presenta el
R
2 R
se incrementa (ó no disminuye) al aumentar el número de variables Dos regresiones no son comparables mediante el
R
2 cuando
^
Tienen la misma variable dependiente y distinto nº. de variables ^
Tienen distintas variables dependientes Se introduce una nueva medida,
el
coeficiente de determinación ajustado
eliminando el efecto que el nº de variables (con la pérdida de grados delibertad) introduce en R
R^
2
^
1
^
SRC
/(
n
K
)
STC
/(
n
K n n R
^
1 )
(^1) ( 1
Puede disminuir cuando se incorporan nuevas variables si no compensa lapérdida de grados de libertad (el aumento de su valor al incluir una nuevavariable dependerá de su contribución “real” al modelo).
