¡Descarga econometria II y más Apuntes en PDF de Econometría solo en Docsity!
Bloque I
MODELOS DE ECUACIONES
SIMULTÁNEAS
Tema 1. Forma Estructural
1.1 Presentación del Modelo
1.2 Especificación del Modelo
1.3 Estructura y Modelo
1.4 Hipótesis de Comportamiento
1.5 Algunos Modelos
1.5.1 Modelo de Oferta y Demanda
1.5.2 Modelo Macroeconómico
Keynesiano de Consumo
1.5.3 Modelo de determinación de
Precios y Salarios
1.5.4 Modelo Macroeconómico de la
Economía de un País
1.6 Problemas
Facultad de Ciencias Sociales y Jurídicas Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected]
13/02/
Prof. Khader F. Abu-Helaiel Dto. De Estadística e I. O.
1 Econometría - Bloque I - MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
Tema 1
Forma Estructural de los Modelos de
Ecuaciones Simultáneas
1.1. Presentación del Modelo de Ecuaciones Simultáneas
Los modelos económicos están basados generalmente en supuestos simplificadores de la realidad y están formados generalmente por ecuaciones matemáticas que relacionan distintas variables. Dichas variables pueden dividirse en variables explicativas, independientes o exógenas , que son aquellas cuyos valores deben ser tomados de la realidad; y variables dependientes o endógenas , que son aquellas cuyo valor es deducido al operar con las ecuaciones del modelo. Ambos tipos de variables se relacionan mediante un conjunto de parámetros, los cuales deben ser estimados.
Según el objeto de análisis, podemos distinguir diversos tipos de modelos económicos:
Modelos Macroeconómicos, cuando los modelos representan la economía en su totalidad; son modelos donde generalmente existe poco detalle sectorial con los que se pretende cuantificar los resultados, como puede ser un aumento del gasto público.
Modelos microeconómicos, los cuales analizan la situación de una cierta industria, mercado o institución.
Asimismo, atendiendo al tipo de relaciones que se establecen entre las variables del modelo podemos distinguir entre:
Modelos deterministas, en los que las relaciones entre las variables del modelo son exactas. Se trata generalmente de modelos en los que una o varias variables, denominadas inputs , a partir de las cuales se intenta conocer el comportamiento de otras variables, denominadas output.
Modelos Estocásticos, en los que las relaciones entre las variables no son exactas, ya que existe un componente de carácter aleatorio, denominado término de error o perturbación aleatoria, que forma parte de las ecuaciones del modelo. Dicho componente aleatorio recoge todos aquellos aspectos que no quedan especificados en la relación causal establecida en el modelo tales como determinadas circunstancias acontecidas de carácter impredecible. En economía, la mayor parte de los modelos son de este tipo estocástico.
Según el tipo de datos de las variables utilizadas en el modelo, podemos distinguir entre:
Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected] | Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén
En definitiva, para la especificación de un modelo completo habrá que especificar claramente lo siguiente:
Variables endógenas teóricas y sus respectivos valores observados.
Variables exógenas teóricas y sus respectivos valores observados.
Perturbaciones aleatorias no observables.
Errores de observación en las variables endógenas.
Errores de observación en las variables exógenas
1.3. Estructura y Modelo
Uniecuacional: Partimos de la existencia de una relación lineal entre la variable endógena y variables exógenas para cualquier instante
. Dicho modelo se puede formular de la siguiente manera:
O matricialmente
Siendo El vector formado por todas las variables exógenas o independientes
El vector columna formado por los
parámetros del modelo
El vector de términos de error
El vector de observaciones de la variable endógena
Al conjunto de todas las observaciones le corresponde la siguiente expresión matricial:
Donde,
El modelo anterior, es Uniecuacional y se trata de la regresión lineal múltiple.
Observación: Si en las expresiones anteriores se considera que no existe término independiente, , la matriz quedaría como:
Y el modelo quedaría así:
Multiecuacional: Los modelos de ecuaciones simultáneas (MES) relacionan en cada ecuación a una variable dependiente endógena, con variables exógenas que actúan como endógenas en otras ecuaciones además de con otras variables exógenas o independientes.
La representación analítica de un modelo genérico con M variables dependientes o endógenas y k independientes o exógenas es la siguiente:
Esta forma de expresar el modelo es lo que se conoce como forma estructural , y en ella se relacionan las variables de la forma que establece la teoría económica.
En la expresión anterior puede observarse que la presencia de la simultaneidad se debe a dos características: por un lado, que todas las variables endógenas y exógenas pueden aparecer en todas las ecuaciones del modelo; y por otro, que las perturbaciones aleatorias están correlacionadas contemporáneamente entre sí, lo que implica que un cambio en una cualquiera de ellas afectará a todas las variables endógenas del modelo.
De esta forma, en los modelos de ecuaciones simultáneas la relación de causalidad entre las variables deja de ser unidireccional, al contrario de lo que sucedía en los modelos Uniecuacionales, ya que una variable exógena puede influir en cualquier endógena, bien sea directamente por estar especificada en la ecuación, o a través de otra endógena relacionada con la anterior, que también figure especificada en la ecuación en cuestión.
El principal problema que plantea la presencia de simultaneidad en el modelo es la estimación de los parámetros.
Forma estructural explícita de un modelo de ecuaciones simultáneas: Una ecuación cualquiera del modelo de ecuaciones simultáneas adopta la siguiente expresión desarrollada en forma explícita:
o presentes: como o rezagadas o retardadas
Endógenas rezagadas
1.4. Hipótesis de Comportamiento
A la hora de estimar los parámetros del modelo, resultará de vital importancia que el término de error no ejerza ninguna influencia determinante en la explicación del comportamiento de la variable dependiente. Por ello, si el modelo está bien especificado, cabe realizar las siguientes hipótesis de comportamiento sobre el término de error y las variables incluidas en el modelo:
H.1) La esperanza matemática de es nula: , para todo y. Es decir, el comportamiento del término de error no presenta un sesgo sistemático en ninguna dirección determinada.
H.2) La covarianza entre los términos de error viene dada por:
es decir,
No existe correlación entre los errores correspondientes a observaciones diferentes. Residuos incorrelacionados
Los términos de error tienen varianza constante en cada ecuación. Esta condición es lo que se conoce como supuesto de homocedasticidad dentro de ecuaciones.
existe correlación entre los términos de error de diferentes ecuaciones en el mismo periodo (autocorrelación entre ecuaciones)
H.3) Las variables no son aleatorias, es decir, predeterminadas y sus valores no pueden ser todos iguales.
H.4) Para evitar ambigüedades, no puede existir relación lineal exacta entre las variables predeterminadas. Esto es lo que se conoce por ausencia de multicolinealidad exacta.
H.5) A efectos inferenciales, los términos de error siguen una distribución Normal de media cero y varianza constante, por lo que, dado su carácter aleatorio, hace que los errores sean impredecibles. para todo y
Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected] | Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén
H.6) Los términos de error están incorrelados con las variables endógenas rezagadas, esto es:
,
1.5. Algunos modelos
1.5.1. Modelo de oferta y demanda
El análisis clásico de la oferta y la demanda establece que las cantidades demandadas de un bien depende del precio el bien , el precio de otros bienes sustitutivos o complementarios y a renta de los consumidores , así como por diversos factores psicológicos y/o sociológicos que inciden en el comportamiento del consumidor: gastos, publicidad, etc. Y que se recogen en el término de error de la ecuación de demanda.
A su vez, la teoría económica establece que las cantidades ofertadas de un bien depende del precio del bien , el precio de otros sustitutivos o complementarios , y de los precios de los factores de producción , entre los que se incluyen los precios de las materias primas, los salarios y los intereses que cobran los bancos por el dinero que prestan. Asimismo, otros factores que afectan al proceso de producción quedan recogidos por el término de error de la ecuación de oferta.
Ambas ecuaciones determinan un M.E.S., cuya solución permite obtener la cantidad consumida y el precio del bien en equilibrio. La expresión convencional de dicho modelo es la siguiente:
Ecuación de Demanda: Ecuación de Oferta: Ecuación de equilibrio:
donde, : Cantidad demandada del bien : Cantidades ofertadas del bien : Precio del bien : Precio de otros bienes complementarios : Nivel de Renta de los consumidores : Precios de los factores de producción. : Perturbaciones estocásticas de demanda y oferta respectivamente : Parámetros estructurales Además, La tercera ecuación no es econométrica y por tanto debemos eliminarla por sustitución.
Sustituyéndola en la primera o segunda, pues son iguales, equivale a:
Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected] | Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén
: es el Consumo : es la Inversión : es la Renta : Perturbación Estocástica : Tiempo : parámetros y es la propensión marginal al consumo
Observamos las ecuaciones y vemos que hay una para cada variable endógena e y la variable a la que se refiere la ecuación no aparece en los dos miembros; sin embargo la segunda ecuación no es econométrica, es una identidad y por tanto habrá que eliminarla. Para ello, la sustituimos en la primera ecuación, obteniendo:
Así se obtiene la forma estructural del modelo en forma explícita compuesta por una única variable endógena.
Y se trata de una recta de regresión cuyos parámetros podrán estimarse por mínimos cuadrados ordinarios.
1. 5. 3. Modelo de determinación de Precios y Salarios
Sea el siguiente modelo de determinación de precios y salarios:
Función de Precio: Función de Salario:
donde, : es el incremento anual de Precios : la tasa de cambio de los Salarios por ocupado : la tasa de variación de la Productividad laboral : la tasa de Desempleo.
Claramente se trata de un M.E.S. en forma estructural, pues hay una ecuación para cada variable endógena y la variable endógena a la que se refiere la ecuación no aparece en el mismo instante de tiempo en los dos miembros de la misma. Además todas las ecuaciones son econométricas.
Las variables que intervienen en el modelo, pueden clasificarse como: Endógenas: Predeterminadas: o Exógenas:
o Endógenas rezagadas: o Término independiente: 1
Las restricciones en el modelo son: Ecuación 1: dos restricciones de exclusión sobre Ecuación 2: dos restricciones de exclusión sobre No hay restricciones lineales.
Observación: es un modelorecursivo y por tanto puede estimarse aplicando MCO
ecuación por ecuación.
1. 5. 4. Modelo macroeconómico de la economía de un país
Consideremos el siguiente modelo macroeconómico de la economía de un país: Función de Consumo: Función de Inversión: Identidad del Ingreso Nacional: donde, : Gasto de Consumo : Inversión : Ingreso nacional : Gasto gubernamental : Perturbaciones aleatorías
Las variables que intervienen en el modelo pueden clasificarse en:
- Endógenas: , e.
- Predeterminadas: o Exógenas: o Exógenas rezagadas: o Término independiente: 1
Disponemos de una ecuación para cada variable endógena, pero no todas ellas son econométricas. Por tanto procedemos a eliminar la ecuación identidad, por sustitución:
La ecuación para queda en la forma siguiente:
Pero los nuevos parámetros no son todos independientes, es decir, no pueden tomar cualquier valor, sino que están sometidos a la siguiente restricción lineal homogénea:
i) Establezca la forma estructural explícita del modelo. ii) Especifique cuántas y de qué tipo son las restricciones que aparecen en cada una de sus ecuaciones estructurales.
Solución:
a) i) Eliminamos la última ecuación que no es econométrica, por sustitución en la primera:
Por tanto, la forma estructuralexplícita está dada por:
con
donde, vector de variables endógenas, vector de variables predeterminadas y vector de perturbaciones estocásticas.
ii) Restricciones:
Ecuación 1: sólo hay una restricción lineal homogénea.
Ecuación 2: hay dos restricciones de exclusión, ya que faltan la predeterminada 1 y la endógena.
b) i) La primera ecuación en forma explícita queda así:
Y la forma estructuralexplícita del modelo:
con
donde, vector de variables endógenas, vector de variables predeterminadas y vector de perturbaciones estocásticas.
Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected] | Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén
ii) Restricciones:
Ecuación 1: hay dos restricciones, una de exclusión y otra lineal no homogénea. Ecuación 2: hay sólo una restricción de exclusión.
c) i) Eliminamos la última ecuación que no es econométrica sustituyéndola en la primera:
La segunda ecuación queda en la siguiente forma:
Por tanto, la forma estructuralexplícita:
con
donde, vector de variables endógenas, vector de variables predeterminadas y vector de perturbaciones estocásticas.
ii) Restricciones:
Ecuación 1: Sólo hay una restricción lineal homogénea.
Ecuación 2: Hay una restricción de exclusión y una lineal homogénea.
Prof. Khader F. Abu-Helaiel [email protected] | Dto. De Estadística e I. O. Universidad de Jaén
P1.4. Considerar el siguiente modelo:
Se pide:
i) ¿Qué variables se considerarían endógenas y cuáles exógenas? ii) Escriba la forma estructural y forma estructural explícita del M.E.S. iii) Indique qué restricciones hay sobre los parámetros estructurales de cada ecuación y de qué tipo son.
P1.5. En el modelo de gasto público de Pindyck y Rubinfeld:
Donde,
es el gasto público de cada región, las ayudas que recibe del gobierno central, los ingresos tributarios de las regiones, la población y la población en edad escolar. Considerando como variables exógenas en el modelo (debido a la posibilidad de que existiera simultaneidad entre y ). Se pide:
i) Exprese el modelo en forma estructural y en forma estructural explícita. ii) ¿Qué restricciones aparecen en la forma estructural y de qué tipo son?
P1.6. Considere el siguiente modelo recursivo de ecuaciones simultáneas:
Siendo variables endógenas y variables exógenas, ambas expresadas en desviaciones respecto a sus medias y la suma de sus productos cruzados aparece en la siguiente matriz:
50 15 10 1 0 4 3 0 0 5
En base a esta información poner en forma estructural explícita y estime el modelo recursivo ecuación por ecuación mediante MCO.
