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CAP´ıTULO 1
Introducci´on
1.1. ¿Qu´e es la econometr´ıa? La relaci´on de la econometr´ıa con la econom´ıa es, en sentido amplio, similar a la de la biometr´ıa con la biolog´ıa, la psicometr´ıa con la psicolog´ıa o la sociometr´ıa con la sociolog´ıa. Todas estas disciplinas tratan de la medici´on de determinados fen´omenos o procesos mediante m´etodos estad´ısticos. El diccionario de la lengua espa˜nola define econometr´ıa (de econom´ıa y metr´ıa) como parte de la ciencia econ´omica que aplica las t´ecnicas matem´aticas y estad´ısticas a las teor´ıas econ´omicas para su verificaci´on y para la soluci´on de los problemas econ´omicos mediante modelos, y econ´ometra como persona que profesa la econometr´ıa o tiene en ella especiales conocimientos. El origen de la econometr´ıa puede fijarse en diciembre de 1930, cuando un grupo de economistas, matem´aticos y estad´ısticos crean la Sociedad Econom´etrica para el avance de la teor´ıa econ´omica en su relaci´on con las matem´aticas y la estad´ıstica (Economet- rica vol. 1, 1933). Los objetivos de esta sociedad indican claramente el prop´osito de la econometr´ıa: confrontar teor´ıa econ´omica y realidad. Tintner (The definition of Econometrics, Econometrica 1953) abord´o el problema de definir la econometr´ıa recopilando las definiciones propuestas y concluyendo que el t´ermino econometr´ıa deber´ıa restringirse a las investigaciones que usan econom´ıa, matem´aticas y estad´ıstica, siendo una disciplina diferente de la econom´ıa matem´atica (que no es emp´ırica y no usa las matem´aticas) y de la estad´ıstica econ´omica (que no usa las matem´aticas). Esta definici´on de econometr´ıa, que enfatiza la relevancia de las matem´aticas, estad´ıstica y econom´ıa, es posiblemente la m´as repetida en los libros de texto de introducci´on a la econometr´ıa, pero no es una definici´on generalmente aceptada. Los importantes desarrollos de esta disciplina desde 1960, impulsados por el aumento de la potencia de c´alculo computacional y las mejoras en las fuentes estad´ısticas, han dado lugar a diferentes ramificaciones que han incrementado el disenso en la definici´on de econometr´ıa. Esto ha llevado a algunos autores a adoptar la definici´on simplista econometr´ıa es lo que hacen los econ´ometras, posiblemente adaptada de ciencia es lo que hacen los cient´ıficos. ¿Y qu´e hacen los econ´ometras? La respuesta a esta pregunta constituye el principal prop´osito de la metodolog´ıa de la econometr´ıa, que es la parte de la filosof´ıa de la ciencia que se ocupa de la descripci´on de las contribuciones de la econometr´ıa a la ciencia econ´omica. Simplificando podemos decir que algunos econ´ometras se dedican al desarrollo de m´etodos econom´etricos (econometr´ıa te´orica) y otros al arte de construir y usar modelos econom´etricos (econometr´ıa aplicada). Los m´etodos econom´etricos son la caja de herramientas del econ´ometra que contiene modelos econom´etricos, m´etodos de estimaci´on, contrastes de hip´otesis y t´ecnicas de predicci´on y simulaci´on. La descripci´on de este herramental constituye el objetivo principal de este curso.
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2 1.3. Tipos de datos
1.2. Relaciones entre variables La ley m´as famosa en econom´ıa es la ley de la demanda, que postula una relaci´on entre dos variables: la demanda de un bien aumenta (disminuye) cuando su precio dis- minuye (aumenta). Se trata de una proposici´on causa-efecto: si aumenta el precio, en- tonces la cantidad demandada disminuye. Su expresi´on matem´atica es Q = f (P ) con dQ/dP < 0, donde Q es la cantidad, P es el precio y dQ/dP es la derivada de Q re- specto de P. Hay infinitas expresiones anal´ıticas para representar la relaci´on entre dos variables. Por desgracia, la teor´ıa econ´omica no especifica la forma funcional de la ley de demanda. Algunos ejemplos son:
- Q = β 1 + β 2 P, β 2 < 0
- Q = β 1 P β^2 , β 2 < 0
- Q = eβ^1 +β^2 P^ , β 2 < 0
- Q = β 1 + β 2 logP, β 2 < 0 La primera expresi´on es la ecuaci´on lineal de primer grado o ecuaci´on de la recta, en donde β 1 es la ordenada o t´ermino independiente y β 2 es la pendiente. La ecuaci´on de la recta es la forma general de relaci´on lineal entre dos variables (ecuaci´on lineal de primer grado). La relaci´on se dice lineal porque la derivada dQ/dP no depende de P. En una una recta, la ordenada β 1 indica el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente se fija en cero, mientras que la pendiente mide la inclinaci´on de la recta, en otras palabras, el cambio de la variable dependiente ante un cambio unitario de la variable independiente. La segunda ecuaci´on es un ejemplo particular de relaci´on no lineal: la derivada dQ/dP = β 1 β 2 P β^2 −^1 depende de P. Para interpretar los coeficientes β 1 y β 2 es con- veniente aplicar logaritmos. De este modo obtenemos la relaci´on logar´ıtmica log Q = log β 1 + β 2 log P. Ahora, la ordenada mide la cantidad demandada cuando el precio es unitario (β 1 = Q cuando P = 1), mientras que la pendiente es la elasticidad punto de la demanda o cambio porcentual en la cantidad demandada ante un cambio porcentual del precio β 2 = dQ/dP × P/Q. Definiendo Q�^ = β� 1 + β 2 P �, en donde Q�^ = logQ, P �^ = logP y β 1 � = logβ 1 , tenemos una relaci´on lineal entre Q�^ y P �, dQ�/dP �^ = β 2. La tercera ecuaci´on puede escribirse como logQ = β 1 +β 2 P , que es una ecuaci´on semi- logar´ıtmica. Aqu´ı, eβ^1 es la cantidad demandada cuando el precio es cero, y β = dQ/dP × 1 /Q mide el cambio porcentual en Q ante un cambio unitario en P. An´alogamente, en la cuarta ecuaci´on, β 2 = dQ/dP × P es la respuesta de Q ante un cambio porcentual en P (Nota: la derivada de log(f (x)) respecto de x es f �(x)/x). La figura 1 muestra la representaci´on gr´afica de estas cuatro relaciones.
1.3. Tipos de datos Los datos que observamos en econom´ıa son de tres tipos: datos de secci´on cruzada, datos de series temporales y datos de panel. Las observaciones sobre distintas unidades (alumnos, consumidores, empresas, re- giones, pa´ıses, etc) en un instante del tiempo se denominan datos de secci´on cruza- da. Algunos ejemplos son la lista de calificaciones de la asignatura de econometr´ıa en la convocatoria de junio o las acciones del IBEX-35 el 2 de octubre de 2007 a las 12:49. El
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4 1.4. Modelos econom´etricos
1990 1995 2000 2005
I(t)
t (1990.1 - 2007.4)
Figura 2: Ingresos por turismo en Espa˜na (millones de euros )
Los datos de panel o datos longitudinales combinan datos de secci´on cruzada y series temporales, recogiendo, por tanto, observaciones sobre distintas unidades en dos o m´as instantes del tiempo. El panel se dice equilibrado si para cada unidad sectorial se dispone del mismo n´umero de observaciones temporales. En caso contrario, el panel es desequilibrado. Ejemplos relevantes son el Panel de Hogares de la Uni´on Europea (PHOGUE), que permite seguir en el tiempo los mismos hogares (700.000), estudiar lo que cambia en sus vidas cuando las condiciones y las pol´ıticas socioecon´omicas se modifican, y c´omo reaccionan a estos cambios; as´ı como la Central de Balances del Banco de Espa˜na, que recopila y mantiene informaci´on econ´omico-financiera sobre la actividad de las empresas no financieras espa˜nolas. La peculiaridad de estos tres tipos de datos ha estimulado el desarrollo de m´etodos econom´etricos espec´ıficos para su an´alisis, entre los que cabe destacar los modelos de elecci´on discreta, modelos de series temporales y modelos de datos de panel. Estos tres tipos de datos se conocen como datos observacionales para distinguirlos de los datos experimentales procedentes de experimentos dise˜nados en laboratorios bajo condiciones controladas. Por ejemplo, los f´ısicos pueden medir con precisi´on la relaci´on entre el tiempo y la distancia de ca´ıda de un cuerpo, repitiendo repetidas veces el mismo experimento. Por desgracia, en econom´ıa no es posible analizar un fen´omeno econ´omico real de esta forma.
1.4. Modelos econom´etricos Un modelo y, en particular, un modelo econ´omico es una representaci´on simplificada de un fen´omeno del mundo real, que nos permite comprender situaciones complejas y hacer predicciones. Por ejemplo, la ley de la demanda es una simplificaci´on de la realidad econ´omica porque supone que la demanda depende s´olo del precio. Podr´ıamos argumentar que es posible aumentar el modelo considerando la renta del consumidor y los precios de los bienes sustitutivos, pero a´un as´ı seguiremos haciendo una simplificaci´on porque la lista de variables que pueden influir en la demanda es interminable. La cuesti´on que se plantea es si debemos utilizar modelos simples que incluyen pocas variables o modelos complejos que contengan todas las variables posibles. Algunos cient´ıficos son partidarios de comenzar con un modelo simple y progresivamente construir modelos m´as complejos; otros, en cambio, prefieren seguir el camino inverso: partir de un modelo general y simplificarlo progresivamente hasta alcanzar un modelo simple.
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Los modelos econ´omicos, simples o complejos, pueden expresarse como modelos ver- bales, gr´aficos o matem´aticos. En econometr´ıa, nos interesan los modelos matem´aticos con una expresi´on anal´ıtica espec´ıfica, por ejemplo,
Q = β 1 + β 2 P
Esta ecuaci´on establece una relaci´on exacta entre las variables Q y P. As´ı, si usamos este modelo econ´omico para explicar la demanda de tomates en una muestra de 100 consum- idores, este modelo predice que todos los consumidores demandan la misma cantidad de tomates cuando se enfrentan al mismo precio. Sin embargo, parece razonable pensar que algunos consumidores compraran m´as tomates que otros. Esta fuente de variaci´on se introduce en el modelo a˜nadiendo un t´ermino de error aleatorio o perturbaci´on es- toc´astica
(1.1) Qi = β 1 + β 2 Pi + ei, i = 1,... , 100
Ahora dos consumidores que se enfrentan al mismo precio, pueden demandar una canti- dad diferente de tomates. La ecuaci´on (1.1) es un ejemplo de un modelo econom´etrico, en concreto, se trata de un modelo de regresi´on lineal simple. La representaci´on gr´afica de la muestra de 100 observaciones, junto con la l´ınea recta m´as pr´oxima a la nube de puntos, se presenta en la figura (3).
3
1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.
Q
P Figura 3: Diagrama de dispersi´on entre la demanda y el precio de los tomates
La inclusi´on del t´ermino de error en el modelo econom´etrico se justifica por varias razones:
- recoge el efecto neto de una larga lista de variables omitidas que influyen en la variable dependiente, la mayor´ıa de las cuales no son observables,
- captura los errores en la especificaci´on de la forma funcional,
- incluye errores en la medici´on de las variables del modelo,
- contiene otros efectos aleatorios impredecibles.
1.5. La construcci´on de un modelo econom´etrico El m´etodo cient´ıfico se compone de preguntas, teor´ıas, observaciones, datos, hip´otesis y contrastes que se combian usando tres principios b´asicos:
- empirismo o uso de la evidencia emp´ırica,
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La situaci´on cambi´o en los decenios siguientes, cuando se reconoci´o la necesidad de desarrollar contrastes de especificaci´on.
1.6. El modelo lineal general Definici´on 1. El modelo de regresi´on lineal general es una relaci´on estad´ıstica uniecua- cional en la que una variable dependiente se expresa como una funci´on lineal de una o varias variables independientes m´as un t´ermino de error aleatorio.
El modelo de regresi´on lineal general o, simplemente, modelo lineal general puede escribirse como
(1.2) Yi = β 1 + β 2 X 2 i + · · · + βkXki + ui, i = 1,... , n
en donde
Yi: es la observaci´on i-´esima de la variable dependiente Y , tambi´en llamada re- gresando, X 2 i,... , Xki: son las observaciones i-´esimas de las variables explicativas X 2 ,... , Xk , denominadas frecuentemente variables independientes o regresores, β 1 : es el t´ermino constante, β 2 ,... , βk : son los par´ametros asociados a las variables explicativas, que se de- nominan coeficientes de regresi´on, ui: es el t´ermino de error aleatorio, tambi´en llamado perturbaci´on estoc´astica, asociado a la observaci´on i-´esima, n: es el n´umero de observaciones, y k es el n´umero de par´ametros. Observaci´on 1. El t´ermino constante β 1 puede escribirse como β 1 X 1 i, en donde X 1 i = 1 para i = 1,... , n.
La ecuaci´on (1.2) puede tambi´en escribirse como
(1.3) Yi = x� iβ + ui, i = 1,... , n
en donde xi = (1 X 2 i... Xki)�^ es un vector columna de dimensi´on k × 1 que contiene la observaci´on i-´esima de las variables explicativas (i = 1,... , n), y β = (β 1 β 2... βk)� es un vector columna de dimensi´on k × 1 que contiene los par´ametros del modelo. De modo que, el producto escalar de los vectores xi y β es
x� iβ =
1 X 2 i... Xki
β 1 β 2 .. . βk
= β 1 + X 2 iβ 2 + · · · + Xkiβk =
k
j=
Xjiβj
La notaci´on i = 1,... , n en (1.2) y (1.3) es una forma abreviada de escribir el conjunto de ecuaciones
Y 1 =β 1 + β 2 X 21 + · · · + βkXk 1 + u 1 Y 2 =β 1 + β 2 X 22 + · · · + βkXk 2 + u 2 .. . Yn =β 1 + β 2 X 2 n + · · · + βkXkn + un
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8 1.6. El modelo lineal general
que puede escribirse en forma matricial como
Y 1
Y 2
Yn
1 X 21... Xk 1 1 X 22... Xk 2 .. .
1 X 2 n... Xkn
β 1 β 2 .. . βk
u 1 u 2 .. . un
o bien
(1.4) y = Xβ + u
en donde
y =
Y 1
Y 2
Yn
, X =
1 X 21... Xk 1 1 X 22... Xk 2 .. .
....^
1 X 2 n... Xkn
, β =
β 1 β 2 .. . βk
, u =
u 1 u 2 .. . un
En resumen, el modelo lineal general puede escribirse de tres formas equivalentes:
- Yi = β 1 + β 2 X 2 i + · · · + βkXki + ui, i = 1,... , n
- Yi = x� iβ + ui, i = 1,... , n
- y = Xβ + u Los t´erminos de la expresi´on “regresi´on lineal general”tienen el siguiente significado: Regresi´on: Este t´ermino fue introducido por Francis Galton en su trabajo Re- gression towards Mediocrity in Hereditary Stature (1886). Encontr´o que padres m´as altos que la media tend´ıan a tener hijos que eran m´as bajos que ellos; mientras que padres m´as bajos que la media tend´ıan a tener hijos m´as altos que ellos. Regresi´on o reversi´on era el proceso de volver a la media. El t´ermino regresi´on se usa ahora con otro sentido, que por el momento asociaremos con la relaci´on entre dos o m´as variables. Lineal: La ecuaci´on (1.2) es lineal en los par´ametros y el t´ermino de error. As´ı, el modelo de regresi´on Yi = β 1 + β 2
X 2 i^ +^ ui es lineal en los par´ametros, mientras que Yi = β 1 +^1 β 2 X 2 i + ui e Yi = β 1 X 2 βi^2 ui
son ejemplos de modelos no lineales. General: Este t´ermino indica que la ecuaci´on (1.2) contiene como casos especiales al modelo de regresi´on lineal simple k = 2, Yi = β 1 + β 2 X 2 i + ui y al modelo de regresi´on lineal m´ultiple k > 2. En cuanto a los t´erminos de la expresi´on “relaci´on estad´ıstica uniecuacional”, Relaci´on uniecuacional: indica que una ´unica variable dependiente viene de- terminada por una o m´as variables explicativas.
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10 1.7. Ejercicios propuestos
b) log Yi = β 1 + β 2 Xi + Ui c) Yi = β 1 + β 2 log Xi + Ui d) log Yi = β 1 + β 2 log Xi + Ui e) Yi = β 1 + β 2 X i^2 + Ui f ) Yi = β 1 + β 2
Xi^ +^ Ui Por ejemplo, en la ecuaci´on (1), β 2 mide el cambio unitario en Yi ante un cambio unitario en Xi.
- En su opini´on, ¿qu´e mala pr´actica en la investigaci´on econom´etrica ridiculiza el siguiente chascarrillo? Un matem´atico, un estad´ıstico y un econ´ometra hacen la misma entrevista de trabajo. El entrevistador llama al matem´atico y le pregunta: ¿cu´anto es dos m´as dos? El matem´atico responde: cuatro. El entrevistador le pregunta: ¿exactamente cuatro? El matem´atico lo mira incr´edulamente y dice: s´ı, exactamente cuatro. Despu´es llama al estad´ıstico y le hace la misma pregunta: ¿cu´anto es dos m´as dos mas dos? El estad´ıstico dice que en media son cuatro, m´as menos el cinco por ciento de error, pero en media son cuatro. Finalmente llama al econ´ometra y le plantea la misma pregunta: ¿cu´anto es dos m´as dos? El econ´ometra se levanta, cierra la puerta, baja las persianas, se sienta al lado del entrevistador y le dice: ¿qu´e resultado te interesa?
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