El efecto Compton: una interacción inesperada entre fotones y electrones, Exámenes de Física

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ASIGNATURA:

FÍSICA III

ESPECIALIDAD:

Bioingeniería

APUNTE DE CÁTEDRA

EFECTO COMPTON

Profesora Titular: Consuelo Escudero

FACULTAD DE INGENIERÍA – UNSJ –

Efecto Compton

Introducción

Una evidencia más directa de la propiedad corpuscular de la luz fue obtenida entre 1919 y

1923 por Arthur H. Compton – físico norteamericano (1892-1962)– observando rayos X

monocromáticos dispersados por la materia (un blanco de grafito, en este caso). Compton recibe el

premio Nobel en 1927 por dichos trabajos. Dicho resultado se volvió fundamental para los desarrollos

posteriores de la teoría cuántica. La gran síntesis de la mecánica cuántica y de la electrodinámica

cuántica, por ejemplo, fue impuesta a la física precisamente por los experimentos cruciales del efecto

Compton.

Durante algún tiempo antes de 1922, Compton y sus colaboradores habían acumulado

evidencias para mostrar que la teoría ondulatoria clásica no explicaba con éxito la dispersión de rayos

X por electrones libres. En particular, la teoría clásica predecía que cualquier radiación incidente de

frecuencia f 0

debía acelerar a un electrón en la dirección de propagación de dicha radiación

produciendo oscilaciones forzadas del electrón y una nueva radiación con frecuencia f´ , donde

f´ ≤ f 0

. También según la teoría clásica, la frecuencia (o bien, la longitud de onda de la radiación

dispersada) debía depender del lapso en que el electrón permanece expuesto a la radiación incidente,

así como de la intensidad de ésta.

En los últimos años, el efecto Compton ha sido aplicado en varias áreas de conocimiento, a

saber, la radiología médica, los detectores de rayos cósmicos, y el esparcimiento o dispersión de otras

entidades, incluyendo neutrones y partículas subatómicas.

Experimento de Compton

En la Fig. 1 se observa el experimento que realizó Compton. R es la lámina del material

dispersor (en el caso de las experiencias de Compton se utilizó carbono (C) en el estado de grafito).

Figura N° 1: Diagrama del aparato de Compton. La longitud de onda se midió con un espectrómetro de cristal giratorio usando

grafito (carbono) como blanco. La irradiancia se determinó por medio de una cámara de ionización móvil que generaba una corriente

proporcional a la intensidad del rayo X.

Blanco de

grafito

θ = 90°

Fuente de

rayos X

λ’

λ’

Cristal giratorio

Cámara de

ionización

λ

Modelo de Compton para explicar la aparición de rayos X de longitud de onda

mayor

Por lo que hemos visto la radiación X dispersada tiene dos componentes, una de igual longitud

de onda que la radiación incidente y otra de longitud de onda ligeramente mayor (correspondiente a

una energía menor).

• La primera componente (la parte correspondiente a la λ 0

) estaba explicada por argumentos del

electromagnetismo clásico y no fue un problema para los científicos que la estudiaban.

• La segunda (correspondiente a la λ 1

) no tenía explicación hasta que Compton desarrolló una teoría

simple pero efectiva para estudiarla.

Compton consideró que la radiación incidente estaba formada por fotones que actúan como

proyectiles, y propuso explicar la radiación saliente analizando la colisión entre: los cuantos

incidentes de RX y los electrones del material dispersor (Ver Fig. 3). En el modelo un cuanto

colisiona con un electrón.

Entonces se calculará la longitud de onda λ 1

de la radiación X dispersados, aplicando (al

problema del choque del sistema: cuanto y electrón cuasilibre

1

la conservación de:

i) la cantidad de movimiento lineal total p y

ii) la energía total relativista E.

Figura N° 3: Modelo propuesto por Compton para el choque de un cuanto de RX con un electrón del material. El fotón dispersado

posee menor energía (o longitud de onda más larga) que el fotón incidente.

Para 

o

= 0,7 Å = 7 · 10

• 10

m , es 𝑓

0

3

7

18

− 1

, es y E γo

(energía de los rayos X

incidentes) ≅

3

7

3

𝑒𝑉 (usando ℎ = 4 , 136 ∙ 10

− 15

𝑒𝑉. 𝑠), lo que da E γo

≈ 18 keV.

1

En este caso se utiliza la dualidad onda partícula de la radiación electromagnética, buscando la longitud de la onda de

los RX a partir de su comportamiento como partículas.

ȗ 0

θ

(E γ

, p γ

) > (E γ

, p γ

)

e

φ

(E γ

, p γ

)

(m 0

c

2

, O)

(E e

, p e

)

Fotón

Incidente

Fotón

Dispersado

Electrón en

retroceso

ȗ 0

(E γ

, p γ

)

(m 0

c

2

, O)

e

θ

φ

(E γ

, p γ

)

(E, p )

Inicialmente el cuanto con energía 𝐸

𝑜

(o longitud de onda 𝜆

𝑜

) y cantidad de movimiento 𝑝

𝑜

se

propaga con velocidad 𝑐 y choca contra un electrón de masa en reposo 𝑚

𝑜

(que puede considerarse

inicialmente en reposo para el análisis del choque).

En el choque el “cuanto” le entrega la suficiente energía al electrón como para que sea necesario

analizarlo de manera relativista.

Luego del choque el cuanto es dispersado en un ángulo 𝜃 saldrá con una energía 𝐸 1

(o de longitud

de onda 𝜆 1

) y cantidad de movimiento 𝑝

1

, mientras que el electrón dispersado, sale con un ángulo 𝜙

y con energía cinética T y cantidad de movimiento p.

Repaso : Veamos como son la energía total relativista y la cantidad de movimiento lineal

(relativista) para los cuantos (incluidos los electrones).

Cuantos de RX : no tienen masa en reposo y se mueven con velocidad c

La energía total relativista será E = hf (Ec.1)

Suponemos que su energía será totalmente cinética (no hay masa en reposo).

La cantidad de movimiento puede calcularse a partir de la energía con la ecuación que relaciona E

y p:

E

2

= p

2

c

2

• (m 0

c

2

2

(Ec.2)

Como m 0

es cero entonces para el cuanto será:

E = pc (Ec.3)

La cantidad de movimiento del cuanto será:

𝐸

𝑐

ℎ𝑓

𝑐

ℎ𝑐

𝑐λ

ℎ

λ

(Ec.4)

donde λ es la longitud de onda asociada al cuanto.

El electrón: Por su parte tiene masa en reposo m 0

y energía cinética E e

La energía relativista del electrón será:

2

𝑚 0

𝑐

2

√ 1 −

𝑣

2

𝑐

2

0

2

(Ec.5)

E

2

= ( T + m 0

c

2

2

= p

2

c

2

• ( m 0

c

2

2

(Ec.6)

La cantidad de movimiento relativista del electrón será: p =

𝑇

2

𝑐

2

𝑜

(Ec.7)

El proceso puede analizarse siguiendo las dos etapas anunciadas:

i) Analizando la conservación de la cantidad de movimiento lineal p:

Analizando la conservación de la cantidad de movimiento lineal p :

𝑠𝑖𝑠𝑡

𝑖

𝑓

(Ec.8)

En 𝑥̂ : 𝑝

0

1

𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑝 𝑐𝑜𝑠𝜙 (Ec.9)

Donde

LONGITUD DE ONDA DE COMPTON

𝑐

ℎ

𝑚

𝑜

𝑐

− 10

𝑚 (Ec.31)

La ecuación de Compton predice el aumento de la longitud de onda de la radiación

electromagnética dispersada, dependiendo solamente de una constante universal y del ángulo de

dispersión. Este aumento no depende con la longitud de onda de la radiación incidente.

Compton verificó experimentalmente tanto el valor absoluto del desplazamiento como su

dependencia angular. Conforme a lo mencionado, la radiación esparcida también contiene una

componente de longitud de onda λ 0

. Su aparición puede ser explicada no como resultado debido a la

dispersión por un electrón cuasilibre, pero si como la dispersión del átomo como un todo. Como la

masa del átomo de carbono es de cuatro órdenes mayor a la masa del electrón, el desplazamiento

correspondiente es despreciable.

La interpretación de Compton recibe una confirmación adicional cuando se observa:

• En 1923 Bothe y Wilson observaron experimentalmente los electrones de retroceso.
• En 1925 Bothe y Geiger mostraron que en la dispersión de un cuanto por un electrón el cuanto

dispersado y el electrón retrodispersado aparecían simultáneamente.

• En 1927 Bless midió la energía de los electrones de retroceso y verifico que concordaba con la teoría.

Eso fue hecho (electrón en retroceso) por G. N. Cross y N. F. Ramsey en 1950, usando rayos

de 2,6 MeV. El ángulo

de retroceso del electrón (figura 3) fue verificado, concordando con su

valor teórico. También fue verificado experimentalmente, por Z. Bay et. Al. (1955), en que el electrón

de retroceso y el fotón dispersado emergen en coincidencia (al mismo tiempo), con precisión del

orden de 10

• 11

s. Inmediatamente, el tratamiento del efecto Compton como una colisión entre dos

partículas (fotón y electrón) quedó plenamente justificado.

Desde una reflexión histórica y epistemológica, los trabajos de Compton y su equipo allanaron

la controversia sobre la naturaleza corpuscular de los fotones evidenciando que la cuantización de la

energía de la radiación es una característica propia de la radiación, no exclusiva de los procesos de

emisión y absorción (Compton, 1927; Pais, 1984).

La ecuación ∆𝜆 ≡ 𝜆 − 𝜆

0

ℎ

𝑚

𝑜

𝑐

predice los corrimientos Compton de la

Figura Nº 2 observados experimentalmente.

Queda por explicar la presencia del pico de intensidad en la Figura Nº 2, donde la longitud

de onda no cambia en la dispersión. El pico se produce cuando el fotón de entrada interactúa no con

el electrón casi libre del blanco, sino con el que está ligado estrechamente al átomo del blanco. Como

el átomo blanco retrocede durante una interacción, hay que reemplazar la masa de electrones m en la

ecuación (Ec.29) por M , la masa de un átomo de carbono. Con un carbono M = 12,0 u, que es de unos

22000 m. Si sustituimos m por M vemos que en concordancia con el experimento es insignificante el

corrimiento Compton en las interacciones con electrones estrechamente ligados.

Debemos explicar la presencia de un pico en la Figura Nº 2 para el cual la longitud de onda

del fotón no cambia en la dispersión. Esto ocurre cuando el electrón está fuertemente ligado a un

átomo del blanco, o bien, cuando la energía del fotón incidente es muy pequeña. Si esto sucede existe

alguna posibilidad de que el electrón no sea expulsado del átomo, en tal caso se puede considerar que

la colisión tiene lugar entre el fotón y el átomo completo, entonces la masa M del átomo es la que

retrocede como un todo durante la colisión, por lo tanto, deberemos sustituirla por la masa del electrón

en las ecuaciones de corrimiento de Compton.

La masa del átomo es mucho mayor que la del electrón, por lo tanto el corrimiento de

Compton para electrones fuertemente ligados es muy pequeño de tal manera que el fotón dispersado

no modifica su longitud de onda.

En resumen, algunos fotones son dispersados por los electrones que a su vez son liberados

en la colisión. Estos fotones modifican su longitud de onda. Por otra parte, hay otros fotones que son

dispersados por electrones que permanecen ligados durante la colisión; por tanto, en estos fotones no

se modifica la longitud de onda.

En la Figura N° 4 se grafica Δλ en función de θ. Mediante experimentos subsecuentes (de

Compton, Simon, Wilson, Bothe, Geiger, Blass) se detectó el electrón que rebota en el proceso; se

demostró que éste aparecía simultáneamente con el rayo X difuso y se confirmó cuantitativamente la

energía del electrón y dirección de dispersión, predichas (como decíamos más arriba). Δλ varía desde

cero (para θ = 0 que corresponde a una colisión rasante en la que el fotón incidente apenas se deflecta)

hasta 2h/m o

c = 0 , 049 Å (para θ = 180° que corresponde a una colisión de frente en la que el fotón

incidente regresa por la misma dirección por donde vino).

Figura N° 4: Gráfica del corrimiento de Compton Δλ vs. el ángulo de dispersión θ , ilustrando los resultados teóricos de Compton,

Δλ = ( h/m 0

c ) (1 – cos θ ).

En la discusión de la radiación de cavidad, y también en la de efecto fotoeléctrico, vimos que

la constante h de Planck es una medida de la granularidad o discreción de la energía. La física clásica

se corresponde con h = 0, ya que de esa forma todo el espectro de la energía sería continuo. Observe

que aquí, en el efecto Compton, la constante de Planck tiene nuevamente importancia fundamental.

Si h fuera igual a cero no habría ningún efecto Compton, ya que entonces Δλ = 0 y la teoría clásica

sería válida. La cantidad h es la constante central de la física cuántica.

El hecho de que h no sea cero significa que la física clásica no es válida en general; pero el

hecho de que h sea muy pequeña hace que con frecuencia resulten difíciles de detectar los espectros

cuánticos. Por ejemplo, en la fórmula de Compton la cantidad h/m o

c tiene el valor de 0,0243 Å,

cuando el dispersor es un electrón libre. Pero si m o

es la masa de un átomo, por no hablar de materia

en gran cantidad, h/m o

c es ya por los menos dos mil veces más pequeña y virtualmente indetectable.

De aquí que cuando m → ∞ el resultado cuántico de dispersión se funde con el resultado clásico,

teniendo entonces la radiación dispersada la misma frecuencia que la radiación incidente. Es en el

dominio atómico y subatómico, en donde m o

es pequeña, cuando fallan los resultados clásicos.

No fue accidental que el efecto Compton se descubriera en la región de los rayos X, pues la

naturaleza cuántica de la radiación se manifiesta a longitudes de onda cortas. Cuando λ→ ∞ los

resultados cuánticos se funden con los clásicos. Es en la región de onda corta, donde λ es pequeña,

donde fallan los resultados clásicos. Recuerde la “catástrofe ultravioleta” de la física clásica, en donde

las predicciones clásicas de la radiación de cuerpo negro concordaron con los experimentos para

longitudes de ondas largas, sin embargo, discreparon para longitudes de onda cortas. Desde el punto

2 ℎ

𝑚 0

. 𝑐

π

0

Δλ

θ

π/

7.- (a) ¿Por qué en el experimento de Compton se usan fotones de rayos X, en vez de fotones de luz

visible? Para contestar esta pregunta, primero calcula el desplazamiento Compton para dispersión a

90° desde grafito para los siguientes casos:

(1) rayos γ de muy alta energía emitidos por cobalto, λ = 0,0106 Å ,

(2) rayos X de molibdeno, λ = 0, 712 Å y

(3) luz verde de una lámpara de mercurio, λ = 5461 Å.

(b) Los denominados electrones libres en el carbono son en realidad electrones cuya energía de enlace

es aproximadamente igual a 4 eV. ¿Por qué es posible ignorar esta energía de enlace para rayos X

con λ 0

= 0,712 Å?

8.- Explicar el efecto Compton y su relación con el número atómico de los átomos del medio.

9.- Establecer la relación del efecto Compton con la energía de los fotones.

10.- Discutir cómo se relaciona la dispersión Compton con el contraste de la imagen y la absorción

de energía en el paciente, así como con la radiación dispersa de la sala.

ANEXO 1

Aplicación en radiología: interacción de la radiación con la materia

El mecanismo de absorción de la radiación (fotones) por la materia es complejo ya que resulta de la

superposición de varios procesos independientes. Cuando un haz de fotones interacciona con el tejido

del paciente, pueden ocurrir tres situaciones diferentes:

1.- Que atraviese al paciente sin interaccionar con ningún átomo de éste: no depositará en él ninguna

energía, y no producirá en él ningún efecto; aunque alcanzará la película radiográfica.

2.- Que colisione con alguno de los electrones corticales de los átomos del paciente, cediéndole toda

la energía que transporta, y desaparezca porque ha sido completamente absorbido: Efecto

fotoeléctrico

3.- Que colisione con alguno de los electrones corticales de los átomos del paciente, cediéndole sólo

una parte de la energía que transporta, continuando su camino aunque cambiando de trayectoria e

interaccionando con todo lo que se interponga en su camino: Efecto Compton.

Efecto Fotoeléctrico

Recordemos que el efecto fotoeléctrico se produce cuando tiene lugar una colisión entre un fotón de

la radiación incidente y un electrón cortical de un átomo del material absorbente. En este impacto, o

interacción, el fotón incidente de radiación cede toda su energía, por lo que es completamente

absorbido y desaparece. A este efecto se le denomina efecto fotoeléctrico , y es el efecto deseado

para obtener una buena imagen radiológica; aunque implica la absorción de esa energía del fotón de

radiación, y por ello, un posible efecto biológico sobre el paciente.

En el átomo del material absorbente (el paciente en nuestro caso), que ha recibido este impacto del

fotón de radiación incidente pueden ocurrir varias cosas:

1.- Que el fotón incidente ceda toda su energía en el impacto contra el electrón cortical del átomo del

paciente, pero que la energía que le transmite es menor a la energía de ligadura que lo mantiene en

su orbital: en este caso el fotón de radiación es completamente absorbido y desaparecerá (efecto

fotoeléctrico). En el paciente prácticamente no ocurrirá nada ya que el electrón contra el que se

colisionó volverá a su situación inicial tras perder ese exceso de energía que le cedió el fotón en su

impacto (fenómeno de excitación).

2.- Un caso particular del apartado anterior, es aquella situación en la que tras el impacto del fotón

de radiación, éste le cede toda su energía al electrón cortical del paciente, pero ésta resulta ser

exactamente igual a la energía de ligadura que lo mantiene en su orbital. En este caso, el fotón de

radiación también es completamente absorbido (efecto fotoeléctrico), aunque en el paciente el

1.- Aumenta al aumentar la energía de los fotones. Por ello, aumenta al disminuir la longitud de onda

(1/λ).

2.- Es prácticamente independiente del número atómico del material, ya que éste tiene escasa

incidencia en el proceso.

3.- Es proporcional a la densidad del medio: aumenta al aumentar la densidad del medio absorbente.

La interacción Compton es la interacción dominante en tejidos biológicos a energías intermedias

(entre 100 y 1000 keV ). Por ello, las energías utilizadas en el diagnóstico radiológico tienen como

límite superior energías de 150 keV , en donde el efecto fotoeléctrico en los tejidos orgánicos sería

máximo, mientras que el efecto Compton se encuentra, en términos proporcionales, dentro de unos

márgenes adecuados para obtener una buena calidad en la imagen radiológica.

Formación de la imagen radiológica

La energía de los fotones utilizados en radiodiagnóstico (de 20 a 150 keV ) provoca procesos de

interacción con los materiales biológicos que se han estudiado anteriormente: interacción

fotoeléctrica e interacción Compton. La primera de ellas representa la absorción total de la energía

del fotón, mientras que la interacción Compton supone la aparición de un fotón esparcido de menor

o igual energía que la del fotón incidente y un depósito parcial de la energía del mismo en el paciente.

La imagen radiológica convencional se forma por la interacción de los fotones de rayos X con la

película radiográfica y representa, por tanto, la distribución de los fotones que han interaccionado

con el paciente y han alcanzado el chasis con la película radiográfica. Esos fotones pueden ser bien

los fotones que han pasado a través del paciente sin interacción con ningún átomo del paciente; o

bien, los fotones originados en los procesos de interacción con el mismo paciente.

Esquemáticamente, el haz de radiación podría reducirse a tres únicos fotones en su interacción con

el paciente: uno, que no colisiona con ningún átomo del tejido irradiado; y, otros dos, que al colisionar

con el paciente producirán un efecto fotoeléctrico y un efecto Compton, respectivamente.

• El primero , atravesará sin colisionar en ningún sentido con los átomos del paciente y llegará a la

película estimulando su emulsión fotográfica. Será el responsable del ennegrecimiento generalizado

de la película radiológica (fondo radiotransparente) de toda la película radiográfica. Este fotón

representaría al 99% de todos los fotones que salen del tubo de rayos X durante la exposición.

• El segundo , será el que producirá el efecto Fotoeléctrico. Será aquel fotón que al colisionar con los

átomos del paciente será completamente absorbido (desaparecerá del medio), y no llegará a excitar

la emulsión fotográfica de la película radiográfica. Será el responsable de las imágenes blancas o

radioopacas que se observan tras el revelado de la película.

• El tercer fotón sería el que produce el efecto Compton. El efecto Compton es aquel fotón que podrá

colisionar una o varias veces con electrones corticales de los átomos del paciente, pero que no será

totalmente absorbido. A cada colisión variará su dirección (o trayectoria) incluso su tamaño,

pudiendo provocar diferentes efectos:

a.- podría chocar, al desviar su trayectoria sobre un punto de la película que ya estuviera ennegrecida

por que hubiera sido alcanzada previamente por otro fotón. Su efecto podría pasar desapercibido.

b.- podría alcanzar una zona que debería estar blanca o radioopaca por corresponderse con puntos en

los que se ha producido efecto fotoeléctrico. En este caso, podría agrisarla o ennegrecerla hasta

hacerla desaparecer completamente de la imagen ocultando las estructuras anatómicas o patológicas

que produjeron la absorción de la radiación en el paciente.

c.- podría hacer cambiar su trayectoria en cualquier dirección, e incluso llegar al retroesparcimiento,

volviendo a la sala aumentando la radiación esparcida y provocando la irradiación de las personas

que se encontrasen próximas al paciente.

La imagen radiológica se obtiene con tres tipos de fotones: los que atraviesan el paciente sin

interaccionar con el paciente (nada), los absorbidos por efecto fotoeléctrico y los esparcidos por

el efecto Compton.

Así pues, la radiación esparcida está formada por fotones esparcidos originados mayoritariamente en

la interacción Compton que aumenta con la energía del haz de radiación y cuanto mayor es el

volumen del paciente atravesado. Pueden ser emitidos en cualquier dirección dando lugar al aumento

del velo de la película radiológica que deteriora su contraste. Para evitar este deterioro se recurre a la

disminución del volumen irradiado con la disminución del campo de irradiación, y al empleo de

rejillas antidifusoras que pueden eliminar hasta el 80 % de la radiación dispersa en exploraciones con

volúmenes grandes, como en la radiografía de tórax.

ANEXO 2

La existencia del fotón

En la búsqueda de un experimento que confirme la existencia del fotón, sin que sea posible

explicarlo empleando la Teoría ondulatoria, una posibilidad sería empleando el siguiente dispositivo:

Figura 1: Aparato de autocoincidencia.

La luz emitida desde la fuente F incide sobre un divisor de haces B. Éste es un dispositivo

óptico que divide un haz de luz en dos subhaces: un haz transmitido (X) y un haz reflejado (Y), que

tienen la mitad de la irradiancia del haz incidente. Expresándolo con fotones es: un fotón que se

acerque a un divisor tiene 50 % de probabilidades de ser transmitido y 50 % de ser reflejado.

D

1

y D 2

son detectores fotoeléctricos de luz que responden, respectivamente a los haces X y Y. La

fuente de luz F se hace intencionalmente cada vez más débil para que en cualquier momento la

energía total de luz del aparato no sea en promedio mayor que la de un fotón. En esas condiciones,

la salida de los detectores será una serie de pulsos electrónicos discretos.

Si el modelo fotónico de la luz es correcto se espera que, cuando en cierto momento aparezca un

pulso en la terminal de salida de uno de los dos detectores, no haya un pulso en la terminal de salida

del otro en ese mismo momento. Se les llama ‘autocoincidencias’, y se pueden descubrir y registrar

mediante dispositivos electrónicos. Los primeros experimentos de este tipo no revelaron un patrón

convincente de autocoincidencias y por eso no confirmaron el modelo de fotón de la luz.

Uso de fotones designados

En 1986, Grangier, Roger y Aspect, modificaron el aparato representado en la Figura 1 para intentar

nuevamente demostrar la existencia de los fotones.