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Efecto Compton
Bazterra, Victor (Te.:433-1627) y Camjayi, Alberto (Te.:292-7350) Laboratorio 5 - Dpto. de Física - FCEyN-UBA - 1997
Resumen: Analizamos los espectros de rayos gama de varias fuentes radiactivas
utilizando un centellador sólido de NaI(Tl). Con los datos recogidos, y utilizando solo principios generales de conservación, se impuso ante los resultados experimentales, la necesidad de un tratamiento relativista del problema. Como resultado del análisis medimos la masa en reposo del electrón, así como las relaciones entre su momento lineal y energía con los parámetros γ y β. Para la ubicación de los bordes Compton manejamos dos criterios, uno despojado de hipótesis acerca del instrumento de medición, y otro en el cual incluimos un modelo simple de su funcionamiento. Éste último, si bien aumento los errores experimentales, produjo resultados en completo acuerdo con mediciones mas precisas.
Introducción
Utilizando un detector del tipo centellador inorgánico, obtuvimos varios espectros de rayos gama para distintas fuentes. Estos detectores se construyen con un material absorbente (en este caso Ioduro de Sodio dopado con Talio) que, en forma general, se conocen como centelladores; los mismos aprovechan las distintas interacciones que suceden entre los rayos gama y los electrones dentro del material, obteniendo como producto final una cierta cantidad de fotones visibles que son contados por celdas fotomultiplicadoras.
Las posible interacciones fotón - electrón son:
1. Efecto fotoeléctrico: en este caso, los fotones incidentes son totalmente absorbidos por los electrones que están ligados a los núcleos atómicos del material, siendo éstos electrones expulsados a grandes velocidades a través de éste. Los electrones portan la energía del rayo gama absorbido menos la energía característica de sus ligaduras con el núcleos, que son del orden de unos cuantos cientos de electronvolt. Pero considerando que los rayos gama portan una energía de unas centenas a miles de kiloelectronvolts, podemos despreciar la energía de ligadura y decir que el electrón lleva en realidad toda la energía del fotón incidente. 2. Efecto Compton :^ este efecto es consecuencia de una colisión entre el fotón gama incidente y un electrón que se encuentre libre en el material. Este electrón porta una energía que depende del ángulo con que fue dispersado finalmente el fotón. 3. Creación de pares electrón - positrón: el proceso ocurre en el campo de un núcleo del material absorbente y corresponde a la creación de un par electrón - positrón a expensas de un fotón gama incidente que desaparece en el mismo punto. Esto sucede cuando la energía del gama es mayor a, por lo menos, dos veces la masa del electrón y tiene como consecuencia nuevamente que un electrón se mueva a través del material. El positrón, se aniquila muy rápidamente con otro electrón produciendo nuevamente un fotón gama de casi la misma energía que el incidente.
Todos estos procesos tiene como punto en común que liberan electrones muy energéticos a través del material, éstos serán frenados transfiriendo la energía que transportaban al medio circundante. Los átomos del material absorbente quedan excitados y cuando decaen producen un número de fotones proporcional a la energía del electrón. Por lo tanto, midiendo dichos fotones, nosotros podemos conocer en forma indirecta la energía del fotón incidente cuando éste es absorbido totalmente por efecto fotoeléctrico, así como observar las características cinemáticas de los electrones que son dispersados por efecto Compton. El espectro esperado según las anteriores consideraciones puede verse esquemáticamente en la Fig. 1.
Figura 1: espectro esperado para un detector del tipo centellador.
Teniendo en cuenta que la energía que medimos es en realidad la de los electrones, observamos que hay algunos muy energéticos que forman el pico predominante en la Fig. 1 (“Fotopico”), estos son los que absorbieron totalmente la energía del fotón incidente por efecto fotoeléctrico. También encontramos una variación continua en el espectro de energía (“Continuo Compton”) debido a los distintos ángulos posibles de dispersión en las colisiones entre electrones y fotones. Como vemos, estos electrones tienen un máximo de energía que corresponde a los fotones que chocan y salen hacia atrás, formando un ángulo de 180 grados con la línea de colisión. En esta región está el llamado “Canto Compton”, y su posición nos indica la máxima energía que puede ser transferida a los electrones por efecto Compton. Por lo tanto, utilizando este espectro, podemos conocer la energía del fotón incidente y la energía que los electrones adquieren al ser dispersados por estos, pudiéndose averiguar el comportamiento cinemático de los mismos. Postulando los principios de conservación del momento y energía, podemos encontrar las siguientes relaciones:
Relaciones por conservación
p p p
p c p c T
γ γ γ γ
/ / (1)
Por ultimo, existe el problema de la determinación de canto Compton en un espectro real. Diferentes circunstancias hacen que el canto no sea abrupto, sino suave. En primer lugar muchas veces sucede que en vez de existir un solo efecto Compton, se suceden varios para un mismo fotón gama incidente, produciendo un llenado de la zona entre el pico y el continuo Compton. Otro fenómeno de importancia es que las colisiones no se realizan con electrones libres, sino ligados a los núcleos del material. Esto hace que el quiebre del continuo, es decir el comienzo del canto, se desplace hacia atrás en energía en los espectros reales. Desarrollo Experimental
Como se indico en la Introducción obtuvimos, utilizando el dispositivo mostrado en la Fig. 2 los espectros de rayos gama de varios elementos, a saber: 22 Na, 60 Co, 133 Ba, 137 Cs y 207 Bi. Una vez conseguidos los espectros comenzamos con la obtención de las magnitudes típicas del fenómeno: el fotopico y el canto Compton. La localización de los primeros no ofrece dudas y se realizó ajustando una curva Gaussiana a los mismos. Para la determinación de los canto Compton, en cambio, nos encontramos con dificultades debido a que, como puede observarse en cualquier espectro real (en la Fig. 3 se muestra el de 207 Bi), la pendiente del canto Compton es suave y no abrupta. En primera instancia es tentadora la idea de localizarlo en el punto de quiebre del continuo a la pendiente, pero ésto es incorrecto dado que, la existencia de la ligadura con el núcleo hace que dicho quiebre se encuentre desplazado a la izquierda del canto Compton. Necesitamos pues establecer algún criterio de ubicación. Ésto se debe fundamentalmente a nuestro desconocimiento del funcionamiento concreto del detector y de la corrección introducida al considerar ligado al electrón. Sin éstos conocimientos no podemos contar con un modelo realista del experimento del cuál se desprenda un criterio único de ubicación.
Figura 3: espectro de energía del 133 Ba.
El primer criterio que utilizamos fue el de tomar como localización del canto la posición del centroide de una curva sigmoidea (función de Boltzman) que ajustase a los datos.
Criterio del Centroide
Aceptando este criterio estamos suponiendo que el canto se encuentra aproximadamente el centro de la pendiente. Para empezar realizamos una calibración lineal directa del espectro con los picos del 207 Bi. Elegimos este elemento debido a que posee tres picos con un espaciado, en sus valores de energía, conveniente a nuestro fines. Una vez calibrados los espectros, obtuvimos los valores de interés volcados en la Tabla 1.
Resultado Calibración directa (KeV) Elemento Fotopico Error Borde Compton Error 356.2 7.3 184.9 9.0 133 Ba 506.9 7.5 328.3 9.7 22 Na 1271 11 1045 14 568.0 7.6 385 8 207 Bi 1066.5 9.6 847 10 1769 13 1518 16 675.8 8.0 481.6 7.7 135 Cs 1193 11 981 14 60 Co 1353 12 s/dato s/dato Tabla1: datos experimentales utilizando el criterio del centroide y calibración lineal directa.
Además realizamos una segunda calibración lineal sujeta a la restricción de que el canal cero correspondiera a energía cero (en la calibración anterior se tienen valores de energía negativos); designaremos a esta calibración como “ forzada” en contraposición a la primera que llamamos “directa”. Los resultados se muestran en la Tabla 2.
Resultado Calibración forzada (KeV) Elemento Fotopico Error Borde Compton Error 360.23 1.00 190.4 3.2 133 Ba 509.58 0.66 332.6 3.4 22 Na 1267.1 1.8 1042.7 5. 570.08 0.58 388.6 1.2 207 Bi 1064.0 1.0 846.5 2. 1760.0 2.3 1511.3 5. 676.93 0.67 484.5 1.0 135 Cs 1189.6 1.7 979.0 6.0 60 Co 1348.3 2.1 s/dato s/dato Tabla 2: datos experimentales utilizando el criterio del centroide y calibración lineal forzada.
m c
E E T
0 T
(^2) = 2 γ^ γ− (5)
En la Figura 5 se grafican los valores de m 0 c^2 en función de T, y en la Fig. 6 los de T vs. Eγ. En la primera la línea continua es un promedio ponderado de los valores de m 0 c^2 , y en la
segunda un ajuste de T = 2 E 2 γ ( 2 E γ +m c 0 2 ) (5´)
(despejada de ec. (5)).
Figura 5: gráficos de m 0 c 2 en función de T para ambas calibraciones(forzada a la izquierda, directa a la derecha). La línea continua corresponde a un promedio ponderado de los valores de m 0 c 2 : (540.8 ± 3.9)KeV para la forzada y (554 ± 25)KeV para la directa.
Figura 6: gráficos de T vs. Eγ para ambas calibraciones(forzada a la izquierda, directa a la derecha). La línea continua corresponde al ajuste de (5´). Los valores de m 0 c 2 obtenidos fueron (540.6 ± 6.0)KeV para la forzada y (555 ± 11)KeV para la directa.
Los resultados obtenidos fueron:
- Calibración forzada: m 0 c^2 = (540.8 ± 3.9)KeV (Promedio Ponderado). m 0 c^2 = (540.6 ± 6)KeV (Ajuste de (5´)).
- Calibración directa: m 0 c^2 = (554 ± 25)KeV (Promedio Ponderado). m 0 c^2 = (555 ± 11)KeV (Ajuste de (5´)).
Es posible extraer aún mayor información de los datos experimentales. En efecto el parámetro relativista β = v/c es, en función de los datos experimentales:
β
γ γ γ
v c
T E T
T E T E
Por otra parte, de (4): pc = 2Eγ - T (7)
Y, por último, el factor γ puede ser calculado de:
γ γ γ = =
E −^ +
m c
T E T E
0 2 m c T
2 2
0
2
el valor de m 0 c^2 utilizado en (8) es un promedio de los obtenidos en los pasos anteriores. Si bien esta última relación puede ser calculada directamente con los datos de Eγ y T usando la ec. (5), éste proceder nos llevaría a un resultado equívoco dado que la relación γ = 1/(1-β^2 )1/2^ esta implícita en (5).
Figura 7: gráficos del momento del electrón como función de β para ambas calibraciones (forzada a izquierda, directa a derecha). La línea continua corresponde a pc = γβm0c 2 , con m0c 2 =(542.4 ± 7.1)KeV para la forzada y (554 ± 11)KeV para la directa.
568.0 7.6 396 14 207 Bi 1066.5 9.6 864 20 1769 13 1536 28 675.8 8.0 493 14 135 Cs 1193 11 1000 28 60 Co 1353 12 s/dato s/dato Tabla 3: datos para calibración directa utilizando el criterio de la fracción.
Resultado Calibración forzada (KeV) Elemento Fotopico Error Borde Compton Error 360.2 1.0 199 12 133 Ba 509.58 0.66 346 17 22 Na 1267.1 1.8 1059 22 570.08 0.58 399 10 207 Bi 1064.0 1.0 863 16 1760.0 2.3 1529 22 676.93 0.67 496 11 135 Cs 1189.6 1.7 998 25 60 Co 1348.3 2.1 s/dato s/dato Tabla 3: datos para calibración directa utilizando el criterio de la fracción.
Como hicimos en el caso anterior, graficamos la energía total del electrón en función de su energía cinética para ambas calibraciones. Haciendo un ajuste lineal pesado por las incertezas de los datos logramos los siguientes resultados:
- Calibración forzada: m 0 c^2 = (492 ± 22)KeV (ordenada al origen). Pendiente = (0.507 ± 0.028)
- Calibración directa: m 0 c^2 = (503 ± 26)KeV Pendiente = (0.501 ± 0.030) Nuevamente resulta necesario adoptar el punto de vista relativista.
Figura 9: gráficos de la energía del electrón en función de su energía cinética, para ambas calibraciones(forzada a la izquierda, directa a la derecha). Los valores ajustados son m 0 c 2 = (492 ± 22)KeV y pendiente (0.507 ± 0.028) para la forzada, y m0c 2 = (503 ± 26)KeV y pendiente (0.501 ± 0.030) para la directa.
Estos resultados nos llevan entonces a la ecuación (5) y a graficar m 0 c^2 en función de T, y T vs. Eγ. Los resultados obtenidos fueron:
- Calibración forzada: m 0 c^2 = (498 ± 20)KeV (Promedio Ponderado). m 0 c^2 = (500 ± 11)KeV (Ajuste de (5´)).
- Calibración directa: m 0 c^2 = (504 ± 35)KeV (Promedio Ponderado). m 0 c^2 = (506 ± 11)KeV (Ajuste de (5´)).
Figura 10: gráficos de m0c 2 en función de T para ambas calibraciones(forzada a la izquierda, directa a la derecha). La línea continua corresponde a un promedio ponderado de los valores de m0c 2 : (498 ± 20)KeV para la forzada y (504 ± 35)KeV para la directa.
Figura 13: gráficos de γ vs. β para ambas calibraciones (forzada a izquierda, directa a derecha). La línea continua corresponde a γ = 1/(a-bβ^2 ) 1/2^ y los valores ajustados son, para la forzada a = (0. ± 0.094), b = (-0.97 ± 0.10); para la directa a = (0.976 ± 0.097) y b = (-0.97 ± 0.11).
Conclusión
Del análisis de datos resulta evidente la necesidad de la teoría de Relatividad Especial para explicar de manera satisfactoria los hechos experimentales. Es sumamente ilustrativo que tal necesidad se imponga por sí sola, sin mas que utilizar principios generales para encarar el problema. Con respecto a la localización del borde Compton, la introducción de un modelo simple de respuesta del instrumento, produce resultados que concuerdan, en todos los casos, con el valor aceptado de la masa en reposo del electrón, dentro de las incertesas experimentales.
