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Contrastes de Bondad de Ajuste para variables continuas.
M´etodo de Kolmogorov-Smirnov
Area de Estad´ıstica
Departamento de ciencias del mar y biolog´ıa aplicada
Universidad de Alicante
Tema 5
1. Problema 1
Las tallas (en metros) de nueve peces espada (Xiphias gladius) capturados por un palangrero fueron: 1.628, 1.352, 1.800, 1.420, 1.594, 2.132, 1.614, 1.924 y 1.692. Comprobar si los datos siguen una distribuci´on Normal.
1.1. Resoluci´on: m´etodo K-S
En este caso estamos ante una variable continua por lo que se trata de comprobar si se parece o no a una variable Normal (es decir si su distribuci´on es sim´etrica). Para comprobar si una variable sigue una distribuci´on Normal podemos usar el m´etodo de Kolmogorov- Smirnov. Este m´etodo estudia las diferencias entre los valores observados y los valores esperados seg´un una variable Normal, usando su Funci´on de Distribuci´on, es decir, las probabilidades acumuladas a la izquierda de un valor de la variable.
1.1.1. Planteamiento del contraste
H 0 : La variable talla se ajusta a una Normal H 1 : La variable talla NO se ajusta a una Normal
→ β → α = 0. 05
Utilizaremos el m´etodo de Kolmogorov-Smirnov para resolver el contraste de bondad de ajuste. Para ello es necesario estimar la media (¯x) y desviaci´on t´ıpica (s) a partir de los datos de la muestra.
1.1.2. Pasos a seguir para construir la tabla:
1 a^ columna: los valores de xi deben estar ordenados de menor a mayor
2 a^ columna: Fc. de Distribuci´on Fi (se calcula acumulando las equi-probabilidades individuales i/n )
3 a^ columna: zi se obtiene tipificando (zi = xi−s x¯) a partir de los valores de xi
4 a^ columna: Φ(zi) se busca en la tabla de la normal est´andar (z)
5 a^ y 6a^ columnas: (|Fi − Φ(zi)| y |Fi− 1 − Φ(zi)|) son las distancias calculadas entre los valores de probabilidad acumulada y los valores te´oricos (o el valor te´orico acumulado anterior)
Finalmente, solo tenemos que buscar la distancia m´axima (Dmax) en cualquiera de las ´ultimas dos columnas
M´etodo de Kolmogorov-Smirnov
1.1.3. Tabla para buscar la distancia m´axima Dmax
Ordenaremos los valores de la variable de menor a mayor (en la primera columna). En la segunda columna calculamos la Funci´on de Distribuci´on Fi (se calcula acumulando las equi-probabilidades individua- les).
xi Fi zi Φ(zi) |Fi − Φ(zi)| |Fi− 1 − Φ(zi)| 1.352 1/ 1.420 2/ 1.594 3/ 1.614 4/ 1.628 5/ 1.692 6/ 1.800 7/ 1.924 8/ 2.132 1 En valores num´ericos tenemos:
xi Fi zi Φ(zi) |Fi − Φ(zi)| |Fi− 1 − Φ(zi)| 1.352 0. 1.420 0. 1.594 0. 1.614 0. 1.628 0. 1.692 0. 1.800 0. 1.924 0. 2.132 1
En la tercera columna, calcularemos el valor de zi que se obtiene tipificando (zi = xi−s x¯) a partir de los valores de xi. Necesitaremos calcular la media y la desviaci´on t´ıpica para los datos de la muestra.
¯x = 1. 684 s = 0. 242
Tipificar: (zi = xi−s ¯x)
xi Fi zi Φ(zi) |Fi − Φ(zi)| |Fi− 1 − Φ(zi)| 1.352 0.111 -1. 1.420 0.222 -1. 1.594 0.333 -0. 1.614 0.444 -0. 1.628 0.556 -0. 1.692 0.667 0. 1.800 0.778 0. 1.924 0.889 0. 2.132 1 1.
Para la siguiente columna Φ(zi) se buscan en la tabla de la normal est´andar (z) los valores de proba- bilidad acumulada a la izquierda, a partir de las z obtenidas en la columna anterior. Como son valores de probabilidad acumulados, y las filas van en orden de menor a mayor en la variable x, tambi´en en z, entonces tendremos valores de probabilidad acumulada cada vez mayores, hasta aproximarse a 1.
M´etodo de Kolmogorov-Smirnov
Figura 1: M´etodo gr´afico. Dibujamos el punto cr´ıtico/umbral, alfa (rojo, acumulado a la derecha hasta infinito), p-valor (gris, acumulado a la derecha hasta infinito) y las zonas de aceptaci´on y rechazo de H 0.
Buscamos en la tabla
D 9 , 0. 05 = 0. 430
- 155 < D 9 , 0. 05 = 0. 430 ⇒ N o Rechazo H 0 para α = 0. 05
De la tabla obtenemos que el p-valor es (ya lo podemos intuir observando el gr´afico):
p-valor > 0. 20
p-valor > α
Por tanto, los datos nos indican que NO debemos rechazar o no hay evidencia estad´ıstica suficiente para rechazar H 0.
1.1.4. Conclusi´on biol´ogica
La variable talla (en metros) de peces espada (Xiphias gladius) se ajusta a una distribuci´on normal (p-valor >0.20).
