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Contrastes de Bondad de Ajuste para variables discretas.
M´etodo Chi-cuadrado χ
Ejercicios Tema 3 (Resuelto)
1. Problema 4
Tras lanzar al azar 398 cuadrados de muestreo sobre el piso mediolitoral de la plataforma rocosa de la Isla de Tabarca y contar el n´umero de lapas (Patella caerulea) se han obtenido los siguientes datos:
Lapas/cuadrado 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Oi 56 105 81 60 42 24 10 9 5 3 2 0 1
Comprobar la hip´otesis de que los datos obtenidos se adaptan a una distribuci´on de Poisson.
1.1. Resoluci´on
1.1.1. Planteamiento del contraste
Se trata de un contraste de Bondad de Ajuste en el que se pregunta si los datos se adaptan a una distribuci´on de Poisson debido a la naturaleza de los datos: una variable discreta, en este caso el n´umero de lapas en cada cuadrado (densidad de lapas).
1.1.2. Planteamiento de la hip´otesis
Sea X la variable aleatoria n´umero de lapas que se observan por cuadrado, y sabiendo seg´un el enunciado del ejercicio que se quiere conocer si las observaciones se ajustan a una distribuci´on de Poisson, las hip´otesis quedan definidas como:
H 0 : Los datos se ajustan a una distribuci´on de Poisson H 1 : La hip´otesis nula no es cierta
→ H 0 : X ≡ P (λ) → H 1 : H 0 no es cierta
→ β → α = 0. 05
1.1.3. Estad´ıstico de contraste
Para comprobar si se cumple H 0 , y sabiendo que se trata de un problema de bondad de ajuste de variables discretas, el m´etodo a utilizar ser´a χ^2 , cuyo estad´ıstico de contraste χ^2 expt y punto cr´ıtico Pc son:
χ^2 expt =
∑k i=
(Oi−Ei)^2 Ei
Pc = χ^2 teo = χ^2 K−m− 1 ,α
Oi son los valores observados en cada intervalo (frecuencia observada), Ei los valores esperados en cada intervalo con la distribuci´on analizada (frecuencia esperada), K − m − 1 los grados de libertad gl, siendo K el n´umero de intervalos y m el n´umero de par´ametros de la distribuci´on (en este caso una Poisson) estimados con la muestra.
Tema 3. Contrastes de Bondad de Ajuste para variables discretas. M´etodo χ^2
1.1.4. Desarrollo del contraste
a) C´alculos previos
Para obtener χ^2 expt es necesario conocer las observaciones para cada intervalo (Oi), dado en el enunciado, y Ei o valor esperado en cada intervalo, que se obtiene como Ei = N · Pi, siendo N el n´umero total de observaciones (tama˜no muestral) y Pi la probabilidad asociada a cada valor xi. Pi puede obtenerse aplicando la funci´on de probabilidad de Poisson para cada intervalo:
P (X = xi) = e−λ^ ·
λx x!
O simplificando el proceso mediante las tablas para el modelo de distribuci´on de Poisson. Si se utilizan las tablas es necesario conocer el n´umero de intervalo para el que obtener el valor (k), y λ o n´umero de sucesos medio que ocurren, que, como se ha visto en temas anteriores, puede estimarse a partir de la media muestral, asumiendo que λ = μ, siendo su estimador la media de la muestra x. Por tanto, los datos necesarios son:
N = 398 λ = x =
∑n i=1 XiFi N =^
(0·56)+(1·105)+...+(12·1) 398 =^
957 398 = 2.^405 Si finalmente se utilizan las tablas, habr´a que utilizar el valor de λ m´as cercano al obtenido, en este caso λ = 2.4 (se debe comprobar si los valores de la tabla de Poisson son de probabilidades acumuladas, dado que necesitamos los valores para la funci´on de probabilidad P (X = z)). En la siguiente tabla se desarrollan los c´alculos aplicando la f´ormula de la funci´on de probabilidad de Poisson:
L./cuad. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tot. Oi 56 105 81 60 42 24 10 9 5 3 2 0 1 398 Pi 0. 0903 0. 2171 0. 261 0. 2093 0. 1258 0. 0605 0. 0243 0. 0083 0. 0025 0. 0007 0. 0002 0. 00004 0. 00001 1 Ei 35. 939 86. 406 103. 878 83. 301 50. 068 24. 079 9. 671 3. 303 0. 995 0. 279 0. 080 0. 016 0. 004 398. 019
Tras su c´alculo, se debe comprobar si se cumple la condici´on de Ei > 5 y agrupar las columnas en aquellos caso en los que no se cumpa a la ´ultima columna en la que Ei > 5, quedando la tabla como:
L./cuad. 0 1 2 3 4 5 ≥ 6 Tot. Oi 56 105 81 60 42 24 30 398 Pi 0. 0903 0. 2171 0. 261 0. 2093 0. 1258 0. 0605 0. 0361 1 Ei 35. 939 86. 406 103. 878 83. 301 50. 068 24. 079 14. 348 398. 019
b) Estad´ıstico experimental
El estad´ıstico experimental se obtiene como:
χ^2 expt =
∑^ k
i=
(Oi − Ei)^2 Ei
(56 − 35 .939)^2
(30 − 14 .348)^2
El punto cr´ıtico se obtiene a partir de las tabla de la χ^2 conocidos lo grados de libertad de la funci´on (gl = K − m − 1) y el nivel de significaci´on (α). gl se obtiene sabiendo que el n´umero de clases ahora es K = 7 y el n´umero de par´ametros estimados para Poisson es m = 1, mientras que α = 0. 05 (seleccionado a priori para el contraste):
Pc = χ^2 teo = χ^2 K−m− 1 ,α = χ^27 − 1 − 1 , 0. 05 = 11. 070
Ejercicios resueltos -2-
