Ejercicio grupal derivadas, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga Ejercicio grupal derivadas y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!

TAREA 3 DERIVADAS

NO. GRUPO

100410_

JHON ALEXANDER OSPINO FIGUEROA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

Introducción

La Derivadas es una herramienta útil a la hora de definir comportamiento entre variables

dependiente e independiente técnica útil para resolver problemáticas de la vida diarias, en

las finanzas, economía, ingeniería, administración, y de cualquier área del conocimiento.

Siempre en la vida diaria estamos expuestos a relación de variable independiente y

dependiente, cuando relacionamos un conjuntos de objetos, productos y servicios a un

precio determinado, o cuando deseamos encontrar el precio de un servicio en función de la

oferta y demanda. Resulta indispensable conocer la aplicación de la misma para encontrar

un interés por dominar y consolidar un aprendizaje significativo.

A continuación e abordaran el concepto de derivada, derivada de monomios y

polinomios, reglas de derivación tales como: Derivadas de un producto y cociente,

Derivación implícita, cuando la variable dependiente no se encuentra despejada, derivadas

de orden superior. Los ejercicios pertinentes reconocer y aplicar tales conceptos y

relacionarlos en la vida real.

f ´

x

=lim

h → 0

x

2

• 2 xh + h

2

− 2 x − 2 h − x

2

• 2 x

h

Realizar operaciones en el numerador

f ´ ( x )=lim

h → 0

2 xh + h

2

− 2 h

h

Aplicar factor común en el numerador

f ´ ( x )=lim

h → 0

h ( 2 x + h − 2 )

h

Cancelar h de numerador y denominador.

f ´ ( x )=lim

h → 0

2 x + h − 2

Aplicar método directo:

f ´ ( x )= 2 x + 0 − 2

Resolver operaciones a conveniencia.

f ´ ( x )= 2 x − 2

En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las

reglas de la derivación.

f ( x )=( x

2

− 3 )(√ x + 2 )

Aplicar derivada de un producto

( f ( x ). g ( x ) )

'

= f

'

( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x )

Obtenemos la derivada f

'

x

f

'

( x )=( x

2

Derivar los términos dentro del paréntesis. Aplicando derivada de una constante y una potencia positiva

f

'

( x )=( 2 x − 0 )

f

'

x

= 2 x

Obtenemos la derivada g

'

x

g

'

x

=(√ x + 2 )

Sacar derivada independiente, derivada de una constante y derivada de una potencia positiva.

Convertir la raíz en una potencia.

g

'

x

=( x

1 / 2

Aplicar las derivadas constantes y potencia

g

'

x

=( x

− 1 / 2

g

'

( x ) =(

x

− 1 / 2

Convertir a positiva

g

'

( x ) =(

2 x

1 / 2

Convertir denominar a radical.

g

'

( x ) =(

x

Reemplazar las derivadas obtenidas en la fórmula del producto:

( f ( x ). g ( x ) )

'

= f

'

( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x )

( f ( x ). g ( x ) )

'

=( 2 x ). ( √ x + 2 ) +( x

2

2 √ x

Convertir radical a potencia.

f ( x ). g ( x )

'

=( 2 x ). ( x

1 / 2

+ 2 ) +( x

2

x

Aplicar propiedad distributiva.

f ( x ). g ( x )

'

= 2 x

3 / 2

+ 4 x +( x

2

2 √ x

Resolver el producto multiplicando los numeradores.

( f

x

. g

x

'

= 2 x

3 / 2

• 4 x +

x

2

2 √ x

Resolver fracción

f

'

( x )=( x

− 1

2

f

'

( x )=(

x

− 1 / 2

Convertir a positiva

f

'

( x )=(

2 x

1 / 2

Convertir denominar a radical.

f

'

( x )=(

2 √ x

Derivar g

'

x

= 2 x

2

g

'

( x ) = 2 x

2

Derivar los términos dentro del paréntesis. Aplicando derivada de una constante y una potencia positiva

f

'

( x )=( 4 x + 0 )

f

'

x

= 4 x

Reemplazar en la fórmula para derivar un cociente.

f ( x )

g ( x )

'

x

. ( 2 x

2

x − 2 ). 4 x

( 2 x

2

2

Resolver producto

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

x

x − 2 ). 4 x

( 2 x

2

2

Aplicar propiedad distributiva

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

x

− 4 x

x − 8 x

( 2 x

2

2

Resolver fracción del numerador:

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

x

( 4 x

x − 8 x ) 2

x

x

( 2 x

2

2

Aplicar propiedad distributiva.

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

x

( 8 x

2

− 16 x √ x )

x

( 2 x

2

2

Resolver producto de signo

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

2 √ x

8 x

2

+ 16 x √ x

2 √ x

( 2 x

2

2

Resolver operaciones en el numerador.

f ( x )

g ( x )

'

2 x

2

• 3 − 8 x

2

+ 16 x √ x

x

( 2 x

2

2

f ( x )

g ( x )

'

− 6 x

2

+ 16 x √ x + 3

x

( 2 x

2

2

Aplicar multiplicación de extremos por extremos y medios por medios

f ( x )

g ( x )

'

− 6 x

2

+ 16 x √ x + 3

2 √ x ( 2 x

2

2

Ejercicio 4

f ( x )=( 2 x

2

3

. ( 3 x )

2 x

Derivada de un producto.

( f ( x ). g ( x ) )

'

= f

'

( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x )

Obtener derivadas de cada función para reemplazar en la fórmula para derivada de un

producto:

Aplicar factor común

y '

y

= 2 (ln ( 3 x )+ 1 )

Despejar y

y '

y

= y .2(ln ( 3 x ) + 1 )

Reemplazar con valores de la ecuación

y

'

=( 3 x )

2 x

.2( ln ( 3 x ) + 1 )

Simplificar

y

'

2 x

. x

2 x

.2(ln ( 3 x ) + 1 )

y

'

x

. x

2 x

.2(ln

3 x

g ' ( x )= 9

x

. x

2 x

.2(ln

3 x

Una vez obtenidas las derivadas de las funciones, procedemos a reemplazar en la fórmula

para derivar un producto.

( f ( x ). g ( x ) )

'

= f

'

( x ). g ( x ) + f ( x ). g ' ( x )

( f ( x ). g ( x ) )

'

= 12 x ( 2 x

2

2

. ( 3 x )

2 x

+( 2 x

2

3

x

. x

2 x

.2( ln ( 3 x ) + 1 )

Simplificar ( 3 x )

2 x

f ( x ). g ( x )

'

2 x

x

2 x

. 12. x ( 2 x

2

2

+( 2 x

2

3

x

. x

2 x

.2( ln ( 3 x ) + 1 )

Aplicar potencia de igual base y suma de exponentes

( f ( x ). g ( x ) )

'

2 x

x

2 x + 1

. 12 ( 2 x

2

2

+( 2 x

2

3

x

. x

2 x

.2( ln ( 3 x ) + 1 )

Se descompone el 12 en dos factores de tal manera que se obtenga nuevamente potencia de

igual base y exponentes diferentes.

f ( x ). g ( x )

'

2 x

x

2 x + 1

. 3.4 ( 2 x

2

2

+( 2 x

2

3

x

. x

2 x

.2(ln ( 3 x )+ 1 )

f ( x ). g ( x )

'

2 x + 1

x

2 x + 1

. 4 ( 2 x

2

2

+( 2 x

2

3

x

. x

2 x

.2(ln ( 3 x )+ 1 )

1. Calcule la derivada implícita de la Siguiente función.

xy + √

1 − x

2

Aplicar derivada a ambos lados de la igualdad: aplicamos ley de la cadena, derivada de

una constante, donde este y de escribe y’

Sacar derivada a cada término

x y

'

• y +

( 1 − x

2

1

2

− 1

. − 2 x = 0

Resolver potencia

x y

'

• y +

( 1 − x

2

1

2

− 1

. − 2 x = 0

x y

'

• y +

( 1 − x

2

− 1

2

. − 2 x = 0

Convertir a positivo

x y

'

• y +

( 1 − x

2

1

2

. − 2 x = 0

Convetir denominador a radical

x y

'

• y +

√

1 − x

2

. − 2 x = 0

Resolver producto

x y

'

• y +

√

1 − x

2

. − 2 x = 0

Resolver producto

x y

'

• y −

2 x

2 √ 1 − x

2

Simplificar 2 en numerador y denominador

x y

'

• y −

x

√

1 − x

2

Simplificar la raíz multiplicando por el conjugado.

x y

'

• y −

x

√ 1 − x

2

√ 1 − x

2

√ 1 − x

2

Realice el cálculo de la primera derivada de la función, compruebe en GeoGebra que

graficando las pendientes de las rectas tangentes en cada punto de la función original,

obtendrá la función derivada (ver contenido derivadas en GeoGebra).

f

x

= x

2

• 3 x

Aplicando las leyes de derivada obtenemos:

f ' ( x )= 2 x + 3

Comprobación en Geogebra:

f ( x )=

x

Derivar, convertimos el radical en una potencia:

f ( x )= x

1

2

Derivar aplicando regla de derivación para potencias:

f ' ( x )=

x

1

2

− 1

Resolver operaciones del exponente

f ' ( x )=

x

− 1

2

Invertir la base para cambiar el signo del exponente

f ' ( x )=

x

1

2

Resolver el producto numerado con numerador y denominador por denominador

f ' ( x )=

2 x

1

2

Convertir potencia a radical

f ' ( x )=

2 √ x

Comprobación en Geogebra:

PROBLEMAS APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

a) Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

f ( x )=

x

3

− 3 x + 2

Derivar función

f ( x )=

x

3

− 3 x + 2

Aplicar reglas de derivación, simplificar, y derivada de una constante = 0

f (

f ( √ 6 )=

f (

Resolver aplicando resta de radicales.

f (

f (

Resolver operación

f (

89

Primer punto crítico está en la coordenada

6 , −2,89) También puede ser: (2.44 , −2.89)

Reemplazar x 2

f (−

3

Aplicar propiedades de la potencia de manera estratégica.

f (−√ 6 )=

(−√ 6

3

f (−

√

2

Simplificar y resolver producto

f (−

f (−√ 6 )=

f (−

Resolver aplicando operación de radicales.

f

f

Resolver operación

f

f

Primer punto crítico está en la coordenada

6 , 6,89) También puede ser: (−2.44,6 .89)

Para determinar el punto máximo y mínimo se debe sacar segunda derivada a la función:

f

' '

( x )=

x

2

Aplicando reglas de derivación se obtiene:

f

' '

( x )=

x

2 − 1

Resolviendo y teniendo en cuenta que la derivada de una constante es igual a 0 tenemos:

f

' '

x

= 1 x

f

' '

x

= x

Reemplazar los valores de x 1

x

2

Dentro la función obtenida:

f

' '

=√ 6 =2,44> 0 por lo tanto es el punto minimo

Tenemos que el punto mínimo se encuentra en la coordenada:

f

' '

6 =−2,44 < 0 por lo tanto es el punto máximo

Tenemos que el punto máximo se encuentra en la coordenada:

El costo de producción de x cantidad de producto en una fábrica está determinado por

la expresión:

C

x

=0.05 x

3

+0.03 x

2

a. Encuentre la función de costo marginal C ´ ( x )

Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.

Para el hallar el costo marginal de la función basta con aplicar reglas de derivación a la

función dada:

C

x

=0.05 x

3

+0.03 x

2

C '

x

=0.05 x

3

+0.03 x

2

Considerando las reglas derivación obtenemos la función de costo marginal

C '

x

=0.15 x

2

+0.06 x

Encuentre el costo marginal cuando 2000 unidades son producidas.

Para la cual reemplazamos x por 2000 en la función obtenida

C ' ( 2000 )=0.15 ( 2000 )

2

Resolver operaciones

C ' ( 2000 )=0.15 ( 2000 )

2

C ' ( 2000 )=0.15( 4000000 )+0.06( 2000 )

Resolver productos

C ' ( 2000 )= 600000 + 120

C ' ( 2000 )= 600120

Enlace de video de sustentación

https://www.youtube.com/watch?v=5F15nPyu2UE&feature=youtu.be

CONCLUSIONES