Ejercicios voluntarios (MÓDULO II)
1. Lanzar virtualmente (con el ordenador) una moneda 1000 veces, ilustrando en un gráfico la
estabilidad de las frecuencias relativas.
2. Cada motor de un avión funciona correctamente en un vuelo con una probabilidad p = 0.99 y cada
motor falla con independencia del resto. Un avión puede seguir volando, y el vuelo es seguro, si
funcionan, al menos, la mitad de sus motores. Dibujar la gráfica donde se represente la probabilidad
de continuar volando con dos y cuatro motores en función de la probabilidad de fallo del motor.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 60 personas haya al menos dos personas que cumplan
los años el mismo día? Contestar a la pregunta para grupos de 23 personas y de 41 personas.
4. Demostrar que si A y B son sucesos independientes, también lo son
A
y
B
.
5. Demostrar la siguiente propiedad de la varianza de una variable aleatoria X:
Var[aX+b] = a2Var[X] a, bR.
6. En una máquina tragaperras la jugada cuesta un euro. La máquina paga dos euros con una
probabilidad p = 0.45. Sea Xi = “cantidad de dinero ganada por la casa en la jugada i-ésima”.
Suponiendo que las jugadas son independientes, calcular el valor esperado y la varianza de la
ganancia del cliente después de n jugadas en la máquina.
7. Una empresa que construye autómatas ha vendido diez a un cliente. La probabilidad de fallo de cada
autómata es 0.01. Si cada uno ha sido vendido a 15000 euros, pero con el compromiso de devolverle
10000x2 euros si aparecen x autómatas con fallo. ¿Cuál es el beneficio que la empresa espera
obtener?
8. Demostrar mediante el método de mínimos cuadrados que en el modelo de Regresión Lineal Simple
Y* = a + b X, con a, b R, el valor de la pendiente de la recta de regresión, coeficiente b, es:
donde Cov(X,Y) es la covarianza entre X e Y;
S2
X
es la varianza de X. Sus expresiones son:
Y X
n
YX
)Y,X(Cov
n
1i ii
X
n
X2
n
1i
2
i
2
X
S
siendo
X
e
Y
las medias de las variables X e Y.
Nota: Utilizar que el coeficiente a (ordenada en el origen) es: a
Y
b
X
9. Demostrar que si X es una variable aleatoria geométrica de parámetro p, entonces E[X]
.
10. Demostrar que si X es una variable aleatoria exponencial de parámetro , entonces E[X] = 1/.
