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Problemas. Intervalos de Confianza y
Contrastes de Hip´otesis
Ejemplos resueltos y propuestos
Intervalos de Confianza
Variable Nomal en la poblaci´on
Se selecciona una muestra de tama˜no n de una poblaci´on
- Intervalo de confianza para la media 휇 con 휎 conocida
푋 ± 푧훼/ 2
- Intervalo de confianza para la media 휇 con 휎 desconocida
푋 ± 푡훼/ 2
- Intervalo de confianza para la varianza 휎^2
(푛 − 1)푠^2
휒^2 푠푢푝
(푛 − 1)푠^2
휒^2 푖푛푓
Variable Bernoulli en la poblaci´on
Se selecciona una muestra de tama˜no n de una poblaci´on
- Intervalo de confianza para la proporci´on
r 푢푝(1 − 푢푝) 푛
Ejemplos Resueltos de Intervalos de Confianza
Ejemplo 1. Intervalo de confianza para la media con 휎
conocida
Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una Facultad para estimar la calificaci´on media de los expedientes de los alumnos en la Facultad. Se sabe por otros cursos que la desviaci´on t´ıpica de las puntuaciones en dicha Facultad es de 2.01 puntos. La media de la muestra fue de 4.9.
- Intervalo de confianza al 90 %.
- Intervalo de confianza al 99 %.
Soluci´on ejemplo 1.
- Intervalo de confianza al 90 %. Usamos la f´ormula:
푋 ± 푧훼/ 2
Los cuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la dis- tribuci´on normal un ´area igual a 0.9 se muestran en el gr´afico siguiente:
Por ´ultimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
4 , 9 ± 1 , 64
Soluci´on ejemplo 2.
- Intervalo de confianza para la media de ventas por vendedor al 90 %. Usamos la f´ormula: 푋 ± 푡훼/ 2
Se conoce la varianza de la muestra 푉 (푋) = 2, pero necesitamos la cuasi-varianza 푠^2
푠^2 =
Y, por tanto, una cuasi-desviaci´on t´ıpica igual a 푠 =
푠^2 = 1,464.
Los cuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la distribuci´on t de Student con 14 g.l. un ´area igual a 0.9 se muestran en el gr´afico siguiente:
Por ´ultimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
5 ± 1 , 761
- Intervalo de confianza para la varianza al 90 %.
(
(푛 − 1)푠^2
휒^2 푠푢푝
(푛 − 1)푠^2
휒^2 푖푛푓
De modo similar obtenemos los cuantiles de orden 0.05 y 0.95 que describen en el modelo chi-cuadrado con 14 g.l. una confianza del 90 %
Por ´ultimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
Ejemplo 3. Intervalo de confianza para la proporci´on
Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de una Editorial para estimar la proporci´on de vendedores en la Editorial que no alcanza un l´ımite de ventas m´ınimo establecido por la direcci´on. De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al l´ımite de ventas m´ınimo establecido.
- Intervalo de confianza para la proporci´on de trabajadores en la Editorial que no alcanza el l´ımite al 80 %.
- Intervalo de confianza para la proporci´on de trabajadores en la Editorial que no alcanza el l´ımite al 99 %.
- Interprete los intervalos obtenidos.
10.000 euros. Estime la media salarial en el barrio a un nivel confianza de 90
Ejemplo 2. Estimaci´on de intervalo de confianza pa-
ra la varianza
Con los datos del ejemplo anterior estime la variaza salarial en el barrio a un nivel de confianza del 80
Ejemplo 3. Estimaci´on de intervalo de confianza pa-
ra la proporci´on
En una muestra al azar de 120 empresas inspeccionadas de entre las visitadas un a˜no determinado por los inspectores de trabajo de una provincia se ha sancionado a 90 de ellas. Estime a un nivel de confian- za del 80 % la proporci´on de empresas que sanciona la Inspecci´on de Trabajo.
Ejemplo 4. Estimaci´on de intervalo de confianza pa-
ra la media y para la varianza
Se desea estimar la demanda diaria de un producto que registra una empresa. Para ello se seleccionan 10 d´ıas al azar con los siguientes valores en miles
35 , 44 , 38 , 55 , 33 , 56 , 67 , 45 , 48 , 40
Obtenga el intervalo de confianza para la demanda media diaria a un nivel de confianza del 90 %. Obtenga el intervalo de confianza para la varianza un nivel de confianza del 90 %
Contrastes de Hip´otesis
Ejemplos resueltos de contrastes de hip´ote-
sis para la media y la proporci´on
Dada una poblaci´on sobre la que se observa una variable 푋, tal que 푋 → 푁 (휇, 휎)
Se desea contrastar a un nivel de significaci´on 훼 la hip´otesis nula:
퐻 0 : 휇 = 휇 0
frente a la alternativa 퐻 1 : 휇 ∕= 휇 0
Con los datos observados se determina la media de la muestra, 푋¯ y el estad´ıstico de contraste 푍. Se sabe que el estad´ıstico media muestral sigue un modelo normal de media 퐸(푋) = 휇 y desviaci´on t´ıpica 휎푋 = √휎푛
푋 → 푁 (휇,
por tanto, el estad´ıstico de contraste, 푧, definido como
√^ 휎 푛
que sigue un modelo 푁 (0, 1).
En general, se desconoce la desviaci´on t´ıpica, 휎, de la poblaci´on, por lo que suele usarse un estimador usando los datos de la mues- tra. La cuasi-varianza de la muestra, 푠^2 , es un estimador insesga- do de la varianza, 휎^2 ,de la poblaci´on. Para tama˜nos de muestra 푛 ≥ 30 se puede tomar la cuasi-desviaci´on t´ıpica de la muestra, 푠 =
푠^2 ,en sustituci´on del par´ametro 휎 del estad´ıstico de contras- te 푧, que se aproxima a una 푁 (0, 1)
√^ 푠 푛
Nota: Recuerde que
P
푠^2 =
P
(푥푖 − 푋)^2 푛푖
Ejemplo 1. Contraste de hip´otesis para la media
Un auditor desea contrastar a un nivel de significaci´on de 0.05 la hip´otesis nula de que la media de las deudas por cobrar de una empresa es de 150.000 euros. Para ello se selecciona una muestra al azar de 50 de dichas deudas con un valor medio y cuasi-desviaci´on t´ıpica muestrales 189.000 y de 80.000, respectivamente. Comprue- be si se rechaza o acepta dicha hip´otesis
Soluci´on ejemplo 1. Contraste de hip´otesis para
la media
Para 훼 = 0,05 los l´ımites de confianza en la normal estandarizada son ± 1 , 96
Se determina el estad´ıstico de contraste 푍 con el estad´ıstico mues- tral transform´andolo en un valor 푍, usando media de la muestra y desviaci´on t´ıpica muestral), y se observa si cae en la zona de rechazo
El estad´ıstico muestral 푍
√^ 푠 푛
sigue un modelo 푁 (0, 1), dado que el tama˜no de muestra es mayor que 30.
Estad´ıstico de contraste 푧 es igual a
(^80000) √ 50
푍 = 3,447 cae en zona de rechazo, fuera de los l´ımites (− 1 , 96 , 1 ,96), por lo que se rechaza 퐻 0.
Otra forma equivalente de decisi´on es viendo si el 푝 − 푣푎푙표푟 es inferior al nivel de significaci´on 0, 05
푝 − 푣푎푙표푟 < 훼 =⇒ 푅퐸퐶퐻퐴푍푂
푝 − 푣푎푙표푟 ≥ 훼 =⇒ 퐴퐶퐸푃 푇 푂 푝 − 푣푎푙표푟 = 푃 (∣푍∣ > 3 ,45) = 0, 00056 < 0 , 05
Por tanto, se rechaza H 0.
푍 = − 2 ,31 cae en zona de rechazo (fuera de los l´ımites (− 1 , 645 , ∝))
La regi´on de rechazo ahora es
Otra forma de decidir es viendo si el 푝 − 푣푎푙표푟 es inferior al nivel de signifi- caci´on 0, 05
Por tanto se rechaza H 0.
Ejemplo 3. Contraste de hip´otesis para la media
Se piensa que el tiempo medio que est´a en paro un tipo de profesional de un determinado sector es de 13.5 meses. Para contrastar esta hip´otesis al nivel 훼 = 5 % frente a la alternativa (que no es cierto) se tom´o una muestra de 45 profesionales que estuvieron en paro en ese sector y se obtuvo una media de 17 ,2 meses y una cuasi-desviaci´on t´ıpica de 15,3 meses.
Compruebe si se rechaza o acepta dicha hip´otesis.
Soluci´on ejemplo 3. Contraste de hip´otesis para la media
훼 = 0,05. La hip´otesis alternativa define dos zonas de rechazo.
Para 훼/2 = 0, 05 /2 = 0,025 los l´ımites de confianza en la normal estandari- zada son ± 1 ,96.
Se determina el estad´ıstico de contraste 푍 con los datos de la muestra y se observa si cae o no en la zona de rechazo.
El estad´ıstico muestral
푍 =
√^ 푠 푛
sigue un modelo 푁 (0, 1), dado que el tama˜no de muestra (45) es mayor que
Estad´ıstico de contraste 푧 = (17, 2 − 13 ,5)/(15, 3 /
푍 = 1,62 cae en zona de aceptaci´on, dentro de los l´ımites (− 1 , 96 , 1 ,96), por tanto no se puede rechazar H 0.
por tanto, se RECHAZA la hip´otesis nula. La tasa de paro no es la misma del a˜no anterior.
Ejemplos propuestos
Ejemplo 1. Contraste de hip´otesis para media
Los resultados de una muestra seleccionada al azar de las calificaciones obtenidas por los 120 estudiantes de una academia de opositores en un examen ha sido media=35 puntos varianza=25 puntos El director de la academia establece que la media alcanzada por sus alumnos supera lo 40 puntos. Contraste la hip´otesis a un nivel de sig- nificaci´on del 1 %.
Ejemplo 2. Contraste de hip´otesis para la propor-
ci´on
Un partido pol´ıtico realiza un sondeo para conocer la intenci´on de voto. En una muestra de 300 votantes se encuentra que solo 105 son favo- rables al partido. Contraste la hip´otesis a un nivel de significaci´on del 10 % de que al menos el 40 % de la poblaci´on lo votar´a.
