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UOC Estudios de Inform´atica, Multimedia y Telecomunicaciones
Algebra / Matem´^ ´ aticas I
EXAMEN 2 - 18 enero 2020
1. Responded razonadamente a los siguientes apartados:
a) Realizad la siguiente operaci´on: (− 2 − i) +
b) Calculad todas las ra´ıces terceras del siguiente n´umero complejo: 1+i. Proporcionad
las soluciones en forma polar.
Soluci´on
a) Aqu´ı tenemos que sumar dos n´umeros complejos, uno en forma polar y otro en
forma bin´omica. Para lo cual operamos con n´umeros complejos tal como se dice en la
p´agina 20 del material:
(− 2 − i) +
245 ◦ = − 2 − i + 1 + i = − 1
Para pasar
245 ◦ a forma bin´omica utilizamos la relaci´on que dice que un n´umero
complejo, en forma polar, rα, para pasarlo a forma binaria, tenemos que saber que:
a = r cos α, b = r sin α.
r =
cos 45
◦
√ 2 2
sin 45
◦
√ 2 2
Por lo tanto,
2 (cos 45
◦
◦ ) =
2 2
√ 2 2
i
= 1 + i
b) Escribimos el complejo 1 + i en forma polar tal como se explica en el apartado
3.4, p´agina 27 del material, sobre la forma polar de los n´umeros complejos:
m =
α = arctan
− 1 1
◦
NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un ´angulo vale 1 en 45
o y en 225
o .
Como que el afijo del punto buscado es (1, 1) el ´angulo est´a en el cuarto cuadrante, es
decir, en 45
o
. C´omo se dice en el ejercicio 19 de autoevaluaci´on, cuando queremos pasar
un n´umero de forma bin´omica a forma polar, es muy importante, para no equivocarnos
en el resultado, hacer un dibujo. Por lo cual, lo primero que hacemos es dibujar el
n´umero 1 + i en el plano complejo. Este n´umero est´a asociado a su punto (1, 1), por
lo tanto, es un n´umero que se encuentra en el cuarto cuadrante.
Tenemos, por lo tanto, que 1 + i =
Como se nos piden las ra´ıces terceras tenemos que hacer (observamos que en el apartado
3.6.1. de la p´agina 43 del material se hace el mismo pero con las ra´ıces c´ubicas de la
unidad):
3
1 + i =
3
245 ◦^ =
6
245 ◦+360◦k 3
para k = 0, 1 , 2
Esto es, el m´odulo de las ra´ıces es: r =
6
Los argumentos de las ra´ıces c´ubicas son β =
45 ◦+360◦k 3
para k = 0, 1 , 2
Si k = 0, tenemos que β 0 = 15
◦
Si k = 1, tenemos que β 1 = 15
◦
◦ = 135
◦
Si k = 2, tenemos que β 2 = 15
◦
◦ = 255
◦
Por lo tanto, las tres ra´ıces c´ubicas del complejo 1 + i son:
6
6
6
2. Sean e 1 = (1, 1 , 1 , 3), e 2 = (1, 0 , − 1 , 0) y e 3 = (0, − 2 , − 4 , −6) vectores de R
4
. Sea
E =< e 1 , e 2 , e 3 >. Sea v = (− 1 , 1 , 3 , 3).
a) Calculad la dimensi´on de E y una base A. ¿v ∈ E? En cas afirmativo, calculad sus
coordenadas en la base A.
b) Sea w = e 1 + e 2. B = {v, w} es una base de E. Calculad la matriz de cambio de
base de la base A a la base B y de la base B a la base A.
Soluci´on
a) Calculamos el rango de la matriz de vectores:
rang
As´ı la dimensi´on de E es 2 y una base puede estar formada por los dos primeros
vectores ya que son linealmente independientes: contienen el menor
= 0. As´ı
pues A = {e 1 , e 2 }.
Para ver si v ∈ E resolvemos el sistema:
x
y
Que tiene soluci´on x = 1 y y = −2. Pot tanto, v ∈ E y sus coordenadas en la base A
son (1, −2).
b) Comenzamos por calcular la matriz de cambio de base de la base B a la base A, ya
que para calcularla debemos expresar los vectores de la base de B en funci´on de los de
la de A y esto ya lo tenemos (para v lo hemos calculado en el apartado anterior y w
est´a definido directamente com combinaci´on lineal de e 1 y e 2 ). As´ı pues la matriz de
cambio de base de B a A es:
CB→A =
Para calcular la matriz de cambio de base de A a B calculemos la inversa:
CA→B =
Operaciones: (1) F 2 + F 1 → F 2 y F 3 + 2·F 1 → F 3
(2) 5·F 3 − 3 ·F 2 → F 3
El sistema equivalente que se obtiene por Gauss es:
−x + 2y = − 4
5 y = − 5
=⇒ Soluci´on: (x = 2, y = −1)
4. Sea f : R
3 → R
4 la aplicaci´on lineal definida por
f (x, y, z) = (3x − 4 y, 2 x + z, x − 4 y − z, 4 x − 8 y − z).
a) Calculad la matriz de f en las bases can´onicas de R
3 y de R
4 .
b) Encontrad una base de ker(f ), el subespacio n´ucleo de f. ¿Es f inyectiva?
c) Encontrad una base de (f ), el subespacio imagen de f. ¿Es f exhaustiva?
d) ¿Es posible encontrar una aplicaci´on lineal g : R
4 → R
3 tal que la composici´on
f◦g : R
4 g → R
3 f → R
4 , definida por (f◦g)(v) = f (g(v)) , v∈ R
4 ,
sea la identidad? O sea, (f ◦ g)(v) = v, para todo v ∈
4 ?
Indicaci´on: Pensad en el vector v=(0,0,1,0)∈ R
4 .
e) ¿Es possible encontrar una aplicaci´on h : R
4 → R
3 tal que la composici´on
h◦f : R
3 f → R
4 h → R
3 , definida por (h◦f )(u) = h(f (u)) , u∈ R
3 ,
sea la identidad? O sea, (h ◦ f )(u) = u, para todo u∈ R
3 ?
Indicaci´on: Pensad en el vector u = (4, 3 , −8)∈ R
3 .
Soluci´on
a) Para encontrar A, la matriz de f en las bases can´onicas de R
3 y de R
4 , calculamos
las im´agenes de los tres vectores de la base can´onica y los ponemos por columnas.
A =
b) Para encontrar una base del ker(f ) resolvemos el sistema:
x
y
z
Hacemos Gauss, o transformaciones por filas. En la primera transformaci´on permuta-
mos filas 1 y 3. En la segunda hacemos f
′ 2 =^ f^2 −^2 f^1 ,^ f^
′ 3 =^ f^3 −^3 f^1 ,^ f^
′ 4 =^ f^4 −^4 f^1.
En la tercera hacemos f
′ 3 =^ f^3 −^ f^2 y^ f^
′ 4 =^ f^4 −^ f^2. Obtenemos:
Nos quedan las ecuaciones: x − 4 y − z = 0 e 8y + 3z = 0. O sea, y = −
3 8
z y
x = 4y + z = − 4 ·
3 8
z + z = (−
12 8
8 8
)z = −
4 8
z. O sea, (x, y, z) = (−
4 8
z, −
3 8
z, z).
Sacando factor com´un: (x, y, z) = (−
1 8
z)(4, 3 , −8). Por lo tanto, una base del n´ucleo
es {(4, 3 , −8)}.
Alternativamente: la primera ecuaci´on nos dice 3x − 4 y = 0. La segunda equaci´on nos
dice 2x + z = 0. Por lo tanto, z = − 2 x. As´ı, pues, el vector (4, 3 , −8) verifica las dos
primeras ecuaciones. Pero vemos que tambi´en verifica la tercera, x − 4 y − z = 0 y la
quarta 4x − 8 y − z = 0. Eso nos dice que por lo menos hay un vector no nulo del
n´ucleo. Por lo tanto, el rango de A es 2 como mucho. Pero ya vemos que es 2, puesto
que el menor 2 × 2 formado por las dos primeras columnas y las dos primeras filas tiene
determinante no nulo. As´ı, ker(f ) = [(4, 3 , −8)] y {(4, 3 , −8)} es una base del ker(f ).
La aplicaci´on f no es inyectiva puesto que el n´ucleo es no nulo.
c) Sabemos que dim(E) = dim ker(f ) + dim(f ). Como dim(E) = 3 y dim ker(f ) = 1,
entonces dim(f ) = 2. Adem´as la imagen de f se encuentra calculando las im´agenes de
una base, por ejemplo, la can´onica. Antes hemos visto:
(f ) = [f (e 1 ), f (e 2 ), f (e 3 )] = [(3, 2 , 1 , 4), (− 4 , 0 , − 4 , −8), (0, 1 , − 1 , −1)].
El primer y segundo vectores son linealmente independientes. As´ı {(3, 2 , 1 , 4), (− 4 , 0 , − 4 , −8)}
forman una base de (f ).
La aplicaci´on f no es exhaustiva porque la dimensi´on de la imagen es 2 y en cambio
la dimensi´on del espacio de llegada es 4.
d) No, no existe una aplicaci´on lineal g : R
4 → R
3 tal que la composici´on f ◦g : R
4 → R
4
verifique (f ◦g)(v) = v, para todo v ∈ R
4
. Si existiera, tomando el vector v = (0, 0 , 1 , 0),
que no es de la imagen de f , tendr´ıamos v = (f ◦ g)(v) = f (g(v)) y entonces v ser´ıa
de la imagen de f , una contradicci´on.
e) No, no existe una aplicaci´on lineal h : R
4 → R
3 tal que la composici´on h◦f : R
3 → R
3
verifique (h◦f )(u) = u, para todo u ∈ R
3
. Si existiera, tomando el vector u = (4, 3 , −8),
tendr´ıamos h(f (u)) = h(0) = 0, ya que f (u) = 0 y h(f (u)) = h(0) = 0.
NOTA: En la realizaci´on de los ejercicios puede ser que necesit´eis utilizar alg´un/os
de los siguientes valores:
α 0
o 30
o 45
o 90
o 135
o 180
o 210
o 315
o 330
o
sin α 0
1 2
√ 2 2
√ 2 2
1 2
√ 2 2
1 2
cos α 1
√ 2 3
√ 2 2
√ 2 2
√ 2 3
√ 2 2
√ 2 3
tan α 0
√ 3 3
√ 3 3
√ 3 3
