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UOC Estudios de Inform´atica, Multimedia y Telecomunicaciones
Algebra / Matem´^ ´ aticas I
EXAMEN 1 - 11 enero 2020
1. Responded razonadamente a los siguientes apartados:
a) Pasad a forma bin´omica el siguiente complejo:
34 π b) Calculad todas las ra´ıces cuadradas del siguiente n´umero complejo: 5 − 6 i. Propor- cionad las soluciones en forma polar.
Soluci´on a) Utilizamos la relaci´on que dice que un n´umero complejo, en forma binaria, a + bi , para pasarlo a forma polar tenemos que saber que a = r cos α, b = r sin α. ( 2
34 π^ →^2
cos
( 3 π 4
= cos (135◦) = −
√ 2 2 sin
( 3 π 4
= sin (135◦) =
√ 2 2 Por tanto,
34 π^ = 2
2 (cos (135◦) + i sin (135◦)) = 2
√ 2 2 +^
√ 2 2 i
= −2 + 2i
b) Escribimos el complejo 5 − 6 i en forma polar tal como se explica en el apartado 3.4, p´agina 27 del material, sobre la forma polar de los n´umeros complejos: m =
α = arctan
5
NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un ´angulo vale − 56 en 130o^ y en 310o. Como que el afijo del punto buscado es (5, −6), el ´angulo est´a en el cuarto cuadrante, es decir, en 310o. Como se dice en el ejercicio 19 de autoevaluaci´on, cuando queremos pasar un n´umero de forma bin´omica a forma polar, es muy importante, para no equivocarnos en el resultado, hacer un dibujo. Por lo cual, lo primero que hacemos es dibujar el n´umero (5, −6) en el plano complejo. Este n´umero est´a asociado al punto (5, −6), por lo tanto, es un n´umero que se encuentra en el cuarto cuadrante. Tenemos, por lo tanto, que 5 − 6 i =
Como que se nos piden las ra´ıces cuadradas tenemos que hacer (observamos que en el apartado 3.6.1. de la p´agina 43 del material se hace lo mismo pero con las ra´ıces c´ubicas de la unidad): √ 5 − 6 i =
61310 ◦^ = 4
61310 ◦+360 2 ◦k para k = 0, 1
Esto es, el m´odulo de las ra´ıces es: r = 4
Los argumentos de las ra´ıces cuadradas son β = 310 ◦+360◦k 2 para^ k^ = 0,^1 Si k = 0, tenemos que β 0 = 155◦ Si k = 1, tenemos que β 1 = 155◦^ + 180◦^ = 335◦
Por lo tanto, las dos ra´ıces cuadradas del complejo 5 − 6 i son: √ (^461) 155 ◦^ ,^
335 ◦
2. Sea F el subespacio vectorial de R^3 definido por:
F =< (3, λ^2 , 1), (−λ^2 , 0 , 0), (1, 0 , −λ) >, λ∈ R
a) Calculad la dimensi´on de F seg´un λ y una base en cada caso. b) Sea v = (0, 0 , −6). En el caso λ = 0, ¿v ∈ F? En caso afirmativo, calculad sus coordenadas en la base que hab´eis encontrado en el apartado anterior. c) Sea B = {(0, 0 , −6), (− 6 , 0 , −2)}. En el caso λ = 0, calculad la matriz de cambio de base de la base B a la base que hab´eis encontrado para λ = 0 en el primer apartado.
Soluci´on a) Calculamos el rango de los vectores con los que est´a definido F. ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 −λ^2 λ^2 0 1 0 −λ
= −λ^5
As´ı, si λ 6 = 0 la dimensi´on de F es 3. Es decir, F es R^3. En este caso una base puede ser la formada por los vectores con los que est´a definido F o la formada por cualesquiera 3 vectores de R^3 linealmente independientes. Si λ = 0 calculamos el rango:
rang
Ya que podemos encontrar el menor
∣ 6 = 0. As´ı, si^ λ^ = 0 la dimensi´on de^ F^ es 2 y una base puede ser A = {(3, 0 , 1), (1, 0 , 0)}.
b) Para ver si v ∈ F y a la vez calcular sus coordenadas en caso afirmativo, resolvemos el sistema:
x y
Que tiene soluci´on x = −6 y y = 18. Por tanto v ∈ F y sus coordenadas en la base A son (− 6 , 18).
c) Para calcular la matriz de cambio de base de B a A debemos expresar los vectores de B en funci´on de los de A. Para el primer vector de B hemos calculado sus coordenadas en A en el apartado anterior. El segundo vector de B vemos que es −2 veces el primero de A (tambi´en podr´ıamos resolver un sistema lineal an´alogo al apartado anterior). As´ı la matriz de cambio de base de B a A es:
C =
As´ı pues, podemos afirmar que:
Si k = 1 o k = 2, entonces la recta r no tiene ning´un punto en com´un con el plano π
b) Para k = 0 el plano π y la recta r tienen por ecuaciones:
π : 2x − 2 z = 6 r : x + y − z = 0 2 y − z = 0
Sabemos, por el apartado anterior, que para k = 0 la recta r corta al plano π en un ´unico punto, es decir, recta y plano tienen un ´unico punto en com´un, que es el que se obtiene al resolver el sistema compatible determinado formado por las tres ecuaciones:
2 x − 2 z = 6 x + y − z = 0 2 y − z = 0
Utilizaremos el m´etodo de Gauss [Ver apuntes m´odulo 3, apartado 6, p´aginas de la 19 a la 22] para determinar la soluci´on de este sistema a partir de su matriz ampliada.
2 ·F 2 −F 1 →F 2
F 3 −F 2 →F 3
El sistema equivalente que se obtiene por Gauss es:
2 x − 2 z = 6 2 y = − 6 −z = 6
=⇒ Soluci´on: (x = − 3 , y = − 3 , z = −6)
As´ı pues, para k = 0 la recta r corta al plano π en el punto (− 3 , − 3 , −6).
4. Sean A = (0, 0), B = (2, 1) y C = (1, 2). Sean D = (3, 2) y E = (1, 4).
a) Sea g un giro de ´angulo α ∈ (0, π/2) desde el origen en sentido antihorario. Dad la matriz de g. b) Encontrad α de manera que el tri´angulo g(A), g(B), g(C) tenga un lado paralelo al eje x. c) Sea h un escalage de raz´on λ y desde el punto P = (a, b). Dad la matriz de h. d) Encontrad la matriz del escalage f tal que f (B) = D y f (C) = E. e) Calculad f (A), donde f es el escalage que se ha encontrado en el apartado anterior.
Soluci´on a) Para simplificar la notaci´on escribimos c = cos(α) y s = sin(α). La matriz del giro g es:
c −s 0 s c 0 0 0 1
b) Las im´agenes de A, B, C por g son:
c −s 0 s c 0 0 0 1
0 2 c − s c − 2 s 0 2 s + c s + 2c 1 1 1
Calculamos el vector g(B) − g(C) = (c + s, s − c). Imponiendo que sea paralelo al eje x, obtenemos s − c = 0. O sea, s = c. Por lo tanto, la tangente de α es 1. Es decir α = 45o. c) La matriz del escalage desde el punto P = (a, b) y de raz´on λ se obtiene multiplicando las tres matrices siguientes:
1 0 a 0 1 b 0 0 1
λ 0 0 0 λ 0 0 0 1
1 0 −a 0 1 −b 0 0 1
λ 0 a(1 − λ) 0 λ b(1 − λ) 0 0 1
d) El punto de intersecci´on de las rectas BD y CE es el (1, 0). Por lo tanto, el escalage tiene que ser desde el punto P = (1, 0). Por otra parte, observamos que P D = D − P = (3, 2) − (1, 0) = (2, 2) y que P B = B − P = (2, 1) − (1, 0) = (1, 1). O sea, P D = 2P B. An´alogamente, P E = E − P = (1, 4) − (1, 0) = (0, 4) y P C = C − P = (1, 2) − (1, 0) = (0, 2). O sea, P E = 2P C. As´ı, el escalage tiene que ser de raz´on 2. Concluimos que f es el escalage de raz´on 2 desde el punto P = (1, 0). La matriz de este escalage es:
e) La imagen de A por este escalage f se obtiene al multiplicar el vector columna (0, 0 , 1) por dicha matriz. Obtenemos f (A) = (− 1 , 0).
NOTA: En la realizaci´on de los ejercicios puede ser que necesit´eis utilizar alg´un/os de los siguientes valores:
α 0 o^30 o^45 o^90 o^135 o^180 o^210 o^315 o^330 o sin α (^0 )
√ 2 2 1
√ 2 2 0 −
1 2 −
√ 2 2 −
1 2 cos α 1
√ 2 3
√ 2 2 0 −
√ 2 2 −^1 −
√ 2 3
√ 2 2
√ 2 3 tan α 0
√ 3 3 1 ∞^ −^1
√ 3 3 −^1 −
√ 3 3
