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Álgebra SOL EF
Semestre Mar19-Jul 19 pág. 1
ÁLGEBRA
SOLUCIÓN EXAMEN
15 de junio 2019
- Responded a los siguientes apartados:
a) Expresad en forma polar el siguiente número complejo: − 1 + 𝑖
b) Calculad todas las raíces terceras del siguiente número complejo:
− 27
𝑖
. Proporcionad
las soluciones en forma polar.
Resolución:
a) Para resolver este apartado aplicamos las explicaciones del punto 3.4.1. del
módulo impreso, “De la forma binómica a polar”. Primero hallamos el módulo:
2 2
r
A continuación hallamos el argumento:
Como
a 1 0
y
b 1
tenemos
arctg arctg
NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un ángulo vale - 1 en 135º
y en 315º. Como el afijo del punto buscado es (-1, 1) el ángulo está en el
segundo cuadrante, es decir, en 135º.
Como se dice en el ejercicio 19 de autoevaluación, cuando queremos pasar un
número de forma binómica a forma polar, es muy importante, con vista a no
equivocarnos en el resultado, hacer un dibujo. Por lo tanto, lo primero que
hacemos es dibujar el número 1 i en el plano complejo. Este número está
asociado al punto (-1, 1), por lo tanto, es un número que se encuentra en el
segundo cuadrante.
Por tanto, la respuesta es: 135 º
1 i 2
b) Miramos el ejercicio de autoevaluación 30 de la página 50 del material impreso.
Se pide determinar las raíces terceras de
i
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Primero de todo debemos saber cuál es el número complejo que obtenemos de la
fracción dada. Para ello multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador (tal como se explica en el apartado 3.3.4, página 26, del material
impreso sobre la división de números complejos en forma binómica) y
agrupamos parte real y parte imaginaria
i
i
i i
i
i
Para determinar las raíces terceras de 27 i determinamos primero el módulo y el
argumento de éste:
2 2
arctg arctg
m
(Observemos que, al ser la parte real nula, no hay que sumar ni restar ninguna
cantidad, tal como se dice en el apartado 3.4.1 de la página 30 del módulo
impreso).
Tenemos, por tanto, que
90 º
27 i 27
Como nos piden las raíces terceras, debemos hacer:
3
90 º 360 º
3
k para k=0, 1,
Esto es, el módulo de las raíces es: 27 3
3
r (esto es sobre los reales)
Los argumentos de las raíces son
90 º 360 º k
k
para k=0, 1,
Si k=0, tenemos que 30 º
0
Si k=1, tenemos que 30 º 120 º 150 º
1
Si k=2, tenemos que 30 º 240 º 270 º
2
Por tanto, las tres raíces terceras, en forma polar, son:
30 º
150 º
270 º
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- Considerad el sistema de ecuaciones lineales:
a) Discutid el sistema para los diferentes valores del parámetro 𝑎 ∈ ℝ.
b) Calculad las soluciones del sistema para 𝑎 = 0.
Resolución:
a) Para discutirlo utilizaremos el Teorema de Rouché-Fröbenius. [Ver módulo 3,
apartado 4, página 13].
La matriz de coeficientes, 𝐴, y la matriz ampliada, 𝑀, asociadas al sistema son:
Ya que el sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, estudiaremos el rango
de la matriz de coeficientes 𝐴, porque si este rango es tres, también lo tendrá que
ser el de la matriz ampliada y el sistema será compatible determinado.
2
Si 𝑎 ≠ 1 y 𝑎 ≠ − 4 → rang
= 3 = rang
= nº incógnitas
→ S. Comp. Determinado.
Si 𝑎 = 1 → rang
= 2 , ya que
= 0 y
≠ 0. Calculamos, para 𝑎 = 1 , el
menor de orden 3 de la matriz ampliada que se obtiene orlando este menor de orden
dos no nulo con la columna de términos independientes:
| = 0 → rang(𝑀) = 2 → S. Comp. Indeterminado.
Si 𝑎 = − 4 → rang(𝐴) = 2 , ya que |𝐴| = 0 y |
| ≠ 0. Por otro lado, para 𝑎 =
− 4 , la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo:
| = − 20 ≠ 0 → rang(𝑀) = 3 → S. Incompatible.
b) Consideremos la matriz ampliada del sistema para 𝑎 = 0 y aplicamos Gauss:
( 1 )
( 2 )
(1) Operaciones: F2=F2-3·F1 y F3=F3-2·F1.
(2) Operaciones: F3=F3-F2.
De donde se obtiene el sistema y la solución siguiente:
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- Sea 𝑓 la aplicación lineal de ℝ
4
en ℝ
4
definida por:
a) Hallad la matriz 𝐴 de 𝑓 en las bases canónicas.
b) Calculad una base del subespacio ker(𝑓) (el núcleo de 𝑓).
c) Decid si el vector 𝑢 =
( 1 , 1 , 1 , 1
) es vector propio de 𝑓.
d) Encontrad vectores propios de 𝑓 de valor propio − 2.
e) Estudiad si 𝑓 diagonaliza y hallad una base de ℝ
4
con el número máximo de vectores
propios de 𝑓.
Resolución:
a) f(1,0,0,0)=(0,0,1,1), f(0,1,0,0)=(0,0,1,1), f(0,0,1,0)=(1,1,0,0) y f(0,0,0,1)=(1,1,0,0).
Estos vectores imagen están expresados en la base canónica. Por lo tanto,
escribiéndolos por columnas, obtenemos la matriz de f en las bases canónicas (ver
Módulo 4, Sección 3).
A=
b) Para encontrar una base del ker(f) hemos de resolver el sistema A·X=0:
X= 0 0 1 1
t
z
y
A x
Nos quedan las ecuaciones z+t=0, z+t=0, x+y=0, x+y=0. Es decir, t=-z, y=-x.
Las soluciones de este sistema son los vectores de la forma: (x,y,z,t)=(x,-x,z,-
z)=x(1,-1,0,0)+z(0,0,1,-1). En particular, una base del ker(f) es la dada por los
vectores a=(1,-1,0,0),b=(0,0,1,-1).
Una base del Ker(f) viene dada por a=(1,-1,0,0) y b=(0,0,1,-1).
c) Para comprobar si el vector u es vector propio de f es suficiente multiplicar la matriz A
por u y ver si da un múltiplo de u:
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NOTA: En la realización de los ejercicios puede ser que necesitéis utilizar algún/os de los
siguientes valores:
0º 30º 45º 90º
135º 180º 210º 270º
315º 330º
Sen(𝛼) 0
Cos(𝛼) 1
Tag(𝛼) 0
