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Álgebra SOL EF
Semestre Mar19-Jul 19 pág. 1
ÁLGEBRA
SOLUCIÓN EXAMEN
19 de junio 2019
- Responded a los siguientes apartados:
a) Hallad el inverso del número complejo siguiente: 2 + 3 𝑖. Expresad dicho inverso en
forma binómica.
b) Calculad todas las raíces quintas del siguiente número complejo:
1
32
. Proporcionad las
soluciones en forma polar.
Resolución:
a) El inverso de 2 3 i es
2 3 i
pero hay que expresarlo en forma binómica.
Primero de todo debemos saber cuál es el número complejo que obtenemos de la
fracción dada. Para ello multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador (tal como se explica en el apartado 3.3.4, página 26, del material
impreso sobre la división de números complejos en forma binómica) y
agrupamos parte real y parte imaginaria
i
i i
i i
i
i 13
Por tanto, la respuesta al ejercicio es: i
i 13
b) Miramos el ejercicio de autoevaluación 30 de la página 50 del material impreso.
De hecho lo que se pide son las raíces quintas de
Para determinar las raíces quintas de
determinamos primero el módulo y el
argumento de éste:
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2
2
arctg arctg
m
(Observemos que, al ser la parte imaginaria nula, no hay que sumar ni restar
ninguna cantidad, tal como se dice en el apartado 3.4.1 de la página 30 del
módulo impreso).
NOTA ACLARATORIA: Sabemos que la tangente de un ángulo vale 0 en 0º y
en 180º. Como el afijo del punto buscado es (1/32, 0) el ángulo está en el primer
cuadrante, es decir, en 0º.
Como se dice en el ejercicio 19 de autoevaluación, cuando queremos pasar un
número de forma binómica a forma polar, es muy importante, con vista a no
equivocarnos en el resultado, hacer un dibujo. Por lo tanto, lo primero que
hacemos es dibujar el número 1/32 en el plano complejo. Este número está
asociado al punto (1/32, 0), por lo tanto, es un número que se encuentra en el
primer cuadrante.
Tenemos, por tanto, que
0 º
Como nos piden las raíces quintas, debemos hacer:
5
0 º 360 º
5
k
para k=0, 1, 2, 3, 4
Esto es, el módulo de las raíces es:
2
1
2
1
32
1
5
5
5
r (esto es sobre los
reales)
Los argumentos de las raíces son
0 º 360 º k
k
para k=0, 1, 2, 3, 4
Si k=0, tenemos que 0 º
0
Si k=1, tenemos que 0 º 72 º 72 º
1
Si k=2, tenemos que 0 º 144 º 144 º
2
Si k=3, tenemos que 0 º 216 º 216 º
1
Si k=4, tenemos que 0 º 288 º 288 º
2
Por tanto, las tres raíces de la ecuación, en forma polar, son:
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Este sistema tiene solución: x=-2, y=-7. Por tanto, v pertenece a F, y sus
coordenadas en la base A son (-2, - 7).
b) Para calcular la matriz de cambio de base de B a A debemos expresar los
vectores de la base de B en función de los de la de A. Así es justamente como
tenemos definido el primer vector de la base B. Vamos a calcular la expresión
del segundo resolviendo el sistema:
Que tiene solución x=1, y=-1. Y por tanto las coordenadas de w 2
en la base A
son (1,-1).
De manera que la matriz de cambio de base de B a A será:
𝐵→𝐴
- Considerad el sistema de ecuaciones lineales:
a) Discutid el sistema para los diferentes valores del parámetro 𝑎 ∈ ℝ.
b) Calculad las soluciones del sistema para 𝑎 = 0.
Resolución:
a) Para discutirlo utilizaremos el Teorema de Rouché-Fröbenius. [Ver módulo 3, apartado
4, página 13]
La matriz de coeficientes, 𝐴, y la matriz ampliada, 𝑀, asociadas al sistema son:
Ya que el sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, estudiaremos el rango
de la matriz de coeficientes 𝐴, porque si este rango es tres, también lo tendrá que
ser el de la matriz ampliada y el sistema será compatible determinado.
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Si 𝑎 ≠ 1 y 𝑎 ≠
− 10
− 10
→ rang(𝐴) = 3 = rang(𝑀) = nº incógnitas →
S. Comp. Determinado.
Si 𝑎 = 1 → rang
= 2 , ya que
= 0 y
≠ 0. Calculamos, para 𝑎 = 1 , el
menor de orden 3 de la matriz ampliada que se obtiene orlando este menor de orden
dos no nulo con la columna de términos independientes:
| = 0 → rang
= 2 → S. Comp. Indeterminado.
Si 𝑎 =
− 10
3
→ rang
= 2 , ya que
= 0 y |
| ≠ 0. Por otro lado, para 𝑎 =
− 10
3
, la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo:
= − 39 ≠ 0 → rang
= 3 → S. Incompatible.
b) Consideremos la matriz ampliada del sistema para 𝑎 = 0 y aplicamos Gauss:
( 1 )
( 2 )
(1) Operaciones: F2=F2-F1 y F3=F3+F1.
(2) Operaciones: F3=3·F3-2·F2.
De donde se obtiene el sistema y la solución siguiente:
- Consideremos 𝐴 =
a) Sea 𝑓 el escalado de razón 3 desde el punto ( 1 , − 2 ). Calculad 𝑓(𝐴), 𝑓(𝐵) y 𝑓(𝐶).
b) Sea 𝑔 el giro de ángulo 𝑎 = 30° en sentido antihorario desde el origen. Calculad
𝑔(𝐴), 𝑔(𝐵) y 𝑔(𝐶).
Resolución:
a) Recordemos el Módulo 5, Sección 4. Para encontrar la matriz del escalado de razón 3
desde el punto (1,-2) hay que multiplicar por la matriz:
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NOTA: En la realización de los ejercicios puede ser que necesitéis utilizar algún/os de los
siguientes valores:
0º 30º 45º 90º
135º 180º 210º 270º
315º 330º
Sen(𝛼) 0
Cos(𝛼) 1
Tag(𝛼) 0
