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Nombre de la
Asignatura
CÁLCULO DIFERENCIAL
Unidad N° 1 Función
Tema N°
1
2
Función de variable real,
Composición de Funciones
En los ejercicios del 1 al 5 encuentre el dominio de las funciones propuestas, aplicando los
métodos expuestos en el compendio del tema 1.
Resolución del ejercicio
RESPUESTA
X + 3 ≠ 0
X ≠ − 3
Dom f = x ϵ R - { 3 }
Dom f = (-∞ , −3)U(−3,∞)
Resolución del ejercicio RESPUESTA
X+1 ≥ 0
X ≥ − 1
Dominio f = [−1, ∞ )
Resolución del ejercicio
X+4 ≥ 0 ^ X - 3 > 0
X ≥ − 4 X > 3
Dom f (3; ∞)
X+4 ≤ 0 ^ X - 3 ˂ 0
X ≤ − 4 X ˂ 3
Dom f (-∞,-4]
RESPUESTA
Dom f = (-∞ ,4] U (3,∞)
= log( 3 𝑥 + 6 )
Resolución del ejercicio RESPUESTA
3 X + 6 > 0
x > - 6/
X > − 2
Dom f = ( - 2,∞)
Resolución del ejercicio RESPUESTA
3 - X > 0
- X > - 3
(-1) - X > - 3 (-1)
"Al multiplicar por - 1 se cambia el signo “
X ˂ 3
Dom f = (-∞ ,3)
En los ejercicios del 6 al 10 encuentre el rango de las siguientes funciones propuestas,
aplicando los métodos expuestos en el compendio del tema 1.
2
Resolución del ejercicio
RESPUESTA
Rangp f = (-∞, ½)U(½,∞)
Resolución del ejercicio
2 - X ≥ 0
- X ≥ - 2
X ≤ 2
RESPUESTA
Rango f = ( - ∞, 0 ]
Dominio f = ( - ∞, 2 ]
2
Resolución del ejercicio
𝑦 =
1
𝑥
2
𝑦(𝑥
2
𝑦𝑥
2
𝑥
2
=
1 − 𝑦
𝑦
2
1 −𝑦
𝑦
x= √
1 −𝑦
𝑦
1 − y ≥ 0 ^ y > 0
(-1) - y ≥ - 1 (-1) y > 0
y ≤ 1
si es valido
1 − y ≤ 0 ^ y ˂ 0
(-1)-y ≤ - 1 (-1) y ˂ 0
y ≥ 1
no es valido
RESPUESTA
Rango f =(0, 1] , { 0 ˂ 𝑦 ≤ 1}
En los ejercicios del 11 al 15 grafique las funciones propuestas, aplicando los métodos
expuestos en el compendio del tema 1
𝑦 =
1
2
𝑥 − 1
𝑥+ 1
𝑥+ 1 1
= 2 cos ( 4 𝑥 −
a=2 T=
2 𝜋
𝑏
2 𝜋
4
1
2
𝜋
2
𝜋
2
b=4 df=
−𝑐
𝑏
−(−
𝜋
2
)
4
𝜋
8
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
c=−
𝜋
2
amplitud = a = 2
𝜋
2 ( 4 )
𝜋
4
𝜋
8
𝜋
4
𝑦 = 2 cos ( 4 𝑥 −
En los ejercicios del 16 al 20, para cada una de las funciones propuestas, determinar:
𝒇
( 𝒙
)
( 𝒙
) , 𝒇
( 𝒙
) − 𝒈
( 𝒙
) , 𝒇
( 𝒙
) ∙ 𝒈
( 𝒙
) 𝒚
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
Aplicando el método correspondiente para realizar operaciones con funciones expuesto en el
compendio del tema 2.
𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
𝒇
( 𝒙
) ∙ 𝒈
( 𝒙
) 𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
2
2
𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)
𝑥
2
𝑥
2
2
2
𝑥
2
𝑥
2
2
2
𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
×
2
÷
2
Domf= R - {- 2 }
2
2
Se resuelve con identidades trigonométrica
𝒇
( 𝒙
)
( 𝒙
) 𝒇
( 𝒙
) − 𝒈
( 𝒙
)
2
2
2
2
𝑥= - cos(2x)
𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
2
2
2
2
2
En los ejercicios del 21 al 23 determinar:
( 𝒇 𝒐 𝒈
)( 𝒙
) ,
( 𝒈 𝒐 𝒇
)( 𝒙
) , (𝒇 𝒐 𝒇)(𝒙)
Aplicando el método correspondiente para realizar la composición de funciones expuesto en
el compendio del tema 2.
2
Dom f(x)= 𝑥
2
Dom f(x)= ℝ
Dom g(x)= √
x- 1 ≥ 0
x ≥ 1
(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙)
Dom f(x)= ℝ ∩[1,∞)
(𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙)
Dom f(x)= ℝ ∩[1,∞)
𝒇(𝒈
𝒙
2
= (√𝑥 − 1 )
2
= × − 1 + 2 √𝑥 − 1 + 1
= x+ 2 √
𝑥 − 1
2
2
( 𝒇 𝒐 𝒇
)( 𝒙
)
𝒇(𝒈
𝒙
2
2
2
2
4
3
2
+4x+1+ 2 (𝑥
2
4
3
2
2
4
3
2
=) log(𝑥 − 2 ) 𝑔
(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙)
𝒇(𝒈
( 𝒙
) ) = log(
( 𝑥 − 2
) − 2 )
= log(𝑥 − 2 − 2 )
= log(𝑥 − 4 )
𝒈(𝒇(𝒙)) = (log(𝑥 − 2 ) ) − 2
(𝒇 𝒐 𝒇 )(𝒙)
𝒇(𝒇
( 𝒙
) ) = 𝑙𝑜𝑔((log(𝑥 − 2 )) − 2 )
3
3
(𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙)
𝒇(𝒈
( 𝒙
) ) = 𝑥
3
3
3
3
3
3
2
3
2
3
3
9
2
6
3
2
3
𝒇(𝒈(𝒉(𝒙)) = Sin (x)
En los ejercicios del 27 al 30 encontrar la función inversa (si es posible) aplicando el método
correspondiente expuesto en el compendio del tema 2.
Debe ser inyectiva m=2 p (0,-5) Verificación
y= 2x- 5
0=2x- 5
5=2x
5
2
= x
𝟓
𝟐
y= 2 𝑥 − 5
− 5 −𝑦
− 2
− 5 −𝑦
− 2
5 +𝑦
2
5 +𝑥
2
f(𝑓
− 1
(𝑋)) = ×
𝑥+ 5
2
) − 5 = ×
𝑥 + 5 − 5 = ×
Las líneas horizontales cortan en un solo punto, si es una función inyectiva
Respuesta
2
− 9 , 𝑥 ∈ [ 0 , ∞)
Verificación
y = 𝑥
2
y = 𝑥
2
y+9 = 𝑥
2
2
√𝑦 + 9 = x
(𝑓
− 1
( 𝑋
) ) = ×
2
2
𝑥 = 𝑥
Compruebo
f(1)= 𝑥
2
2
f(1) = 1− 9
f(1) = − 8
√𝑦 + 9 = x
×=
×= √ 1
×= 1
Las líneas horizontales cortan en un solo punto, a pesar de ser una función cuadrática
se vuelve inyectiva al indicar que solo tomamos los valores x desde [ 0 , ∞)
Respuesta y =√𝑥 + 9
5
X - 1 - 1/ 2 - 1/4 0 1/4 ½ 1
𝟓
- 1 1/32 - 1/1024 0 1/1024 1/32 1
5
5
5
5
5
5
