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APÉNDICE UN REPASO DE ALGEBRA (OPCIONAL) a A. SISTEMA DE NÚMEROS A.4 FRACCIONES REALES A.S EXPONENTES Y RADICALES A,2 POLINOMIOS A.6 ECUACIONES A.3 FACTORIZACIÓN El álgebra es el único requisito para utilizar este libro. En este apéndice se ofrece un repaso general de álgebra. Para guiar al lector, se le recomienda rea- lizar el siguiente examen de álgebra. Su finalidad es ayudarle a diagnosticar en qué áreas necesita un repaso ulterior. Los resultados del examen le servirán de guía al estudiar las secciones A.l a A.6 IEA EXAMEN EXPLORATORIO DE ÁLGEBRA SECCIÓN CORRESPONDIENTE DEL APENDICE 1 |-10| = A.l 2 xt A2 3 [6 *yP = A.2 4 la A2 5 (dx — 2y + 2) — (—3x + dy —- 22) = A?2 6 2 (3) - 42 (29 7 Factor 2a*b% + datbe?. A3 8 Factorx?— 4. A. 9 Factorx?— 5x +4. As 10 + ¿-¿2 Ad A2 2 3 12 10? = A5 13 Ya Var = A5 14 3V2 — 2V8 = A5 2 14a 45 15 V y 7 16 Exprese x"3 en forma de radical. 17 Determine las raíces de la ecuación x= 4 = 2x— 6. 18 Determine las raices de la ecuación 3x = 3x + 10. 19. Determine las raíces de la ecuación 2 — 6x + 9 = 0. 20 Resuelva la desigualdad 5x — 21 >= 2x. >>> ORD RESPUESTAS Al EXAMEN EXPLORATORIO DE ÁLGEBRA 10101 2 : 5 7x6 +33 6 3172 7 24bdab 20: 8 (-Dir-2D 9 (Gb bo 10 11 3/2: 192 ¿04 13 ab; 14 -V2: 15 20/3: 16 Vx? Y 2 18 sin raíces; 19 3; 20 x=>=7 A.1 SISTEMA DE NÚMEROS REALES Números reales . En este libro nos ocuparemos de las matemáticas de los números reales, Como se aprecia en la figura A.1, el sistema de números reales está constituido por números racionales e irracionales. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como la razón, o cociente, de dos enteros, siendo el divisor un entero no cero, En consecuencia, un número racional es aquel que puede expresarse en la forma a/b donde a y bh son enteros y Y no es 0 (formulado ¿ 40). Los números | — y 137-750) son ejemplos de este tipo de núme- TOS. Dado que cualquier entero e puede escribirse en forma de cociente al, to- dos los enteros son además números racionales. He aquí algunos ejemplos: —5 = 3/1 y 54 = 54/1, Se considera que el cero es un entero (ni negativo ni positivo), y puede escribirsc en forma de cociente 0/5 = 0.5%0 Los números irracionales son números reales que no pueden expresarse EE como la razón de dos enteros. Números como 7 = 3.14159265... (que es la 2 . p . 2. A y razón de la circunferencia de un círculo con su diámetro), Y2 = 1.4142..., Y3 = 1.7321... y v3 - 2.2361... son ejemplos de números irracionales. El conjunto de los números reales puede representarse por medio de una recta numérica (véase la figura A.2.). La recta tiene un punto cero, denomina- do origen, que sirve para representar el número real 0. A cada punto de la recta numérica corresponde un número real. La correspondencia estriba en que el Ad A.2 POLINOMIOS Exponentes enteros positivos Cuando un número real a se multiplica por sí mismo, a ese producto lo denota- mos mediante a + a o bien az. Si el mismo número se multiplica por sí mismo 5 veces, el producto se expresa con asara. Una notación abreviada que puede utilizarse para expresar estos productos es aa = a? y anaca = a? El número escrito arriba y a la derecha de a recibe el nombre de exponente. El exponente indica el número de veces que a se repite como factor. DEFINICIÓN Si n es un entera positivo y s es un número real cualquiera, =4-2:0-""q n factores A El término a? puede expresarse con palabras como “a elevada a la n-ésima potencia”, donde se considera que a es la base y que » es el exponente o potencia. EJEMPLO 2 (Y IEC DYAD (212) = (24 0 058) = (y (e) caacbhb = ap? (d) aa/(bbb) = 029 DEFINICIÓN Sin es un entero positivo y a + 0, EJEMPLO 3 (a) 47 1/a? DIES) : VO” =: DEFINICIÓN Si a es número real y no es igual a 0, al = 4, AS EJEMPLO 4 (9 (0) =1 (0) dx =1,x%0 (O) -5y=-51)=-5,y%0 Las siguientes leyes de los exponentes son aplicables cuando a y b son números reales cualesquiera y m y n son enteros positivos. LEYES DE LOS EXPONENTES lara = gr Il (ary=ar HI (aby = ab” v Lom donde a +0 g n q v (2) =Z donde b +0 EJEMPLO 5 (ad (by = 67) = pe Mi y 2 (o aaa” dd) (ay te) [SyT (O IEDA (ay do (xy 1 5) Eras x o ra = ay = Et 12 => (9) h (m) manana Ejercicios de seguimiento de la sección A.2 En los ejercicios 1-12 exprese por medio de exponentes las operaciones indicadas. 1 5)65)(3)65) 2 CIEDEDEDEDEDED 3 902) 2)(-2) 4 DIONISO! 5 Io 6 saa/(bb) 7 aaebbbece 8 xvi / (222) 9 xxxx/yyzzzz 10 ppqggÍrrrrss 1 (9) 6) (6) 12 (ado) (ado) tado 13) 318) 613) En los ejercicios 13-32 realice las operaciones indicadas. 13 (242) 14 506) 15 4x? 16 yyy? Un polinomio es la suma de uno o más términos, con las siguientes restric- ciones: z 3 Los términos de un polinomio constan de un número o del producto de un número y las potencias enteras positivas de una o más variables. Esta defini- ción excluye términos que tengan variables bajo un signo de radical o los que contengan variables en el denominador. O Un polinomio integrado por un término se denomina monomíio. El que tenga dos términos recibe el nombre de binomio. Si consta de tres términos se llama trinomio. Se da el nombre de polinomio a la expresión algebraica que tenga más de tres términos. EJEMPLO 6 a) La expresión algebraica 25 es un polinomio que tiene un término; por tanto, se le llama monomio. 5) La expresión algebraica 542 — 2 + 1 es un polinomio compuesto de tres tér- minos; por eso se le da el nombre de trinomio. 2) Le expresión algebraica 2x%p/z no es un polinomio porque la variable z apare- ce en el denominador del término. d) La expresión algebraica Vx no es un polinomio porque la variable aparece deba- jo de un radical. e) La expresión algebraica 5 — 244 x' + 2 + x + 9 es un polinomio que consta de seis términos. El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables conte- nidas en él. En el caso de uno que incluya una variable, el grado es simplemen- te el exponente de esta última. El grado del término 513 es 3 Puesto que el ex- ponente es 3. El grado del término 5x2yz es 6 porque la suma de los exponentes de x, y y z es 6. El grado de un término constante no cero es 0, He aquí un ejernplo, el término —-20 puede escribirse en la forma equivalente 720%. Así pues, el grado del término es 0. Además de la clasificación de los términos por el grado, los polinomios - Pueden clasificarse atendiendo a su grado. El grado de un polinomio se define como el grado del término de mayor grado en él. EJEMPLO 7 a) El polinomio 2x* — 4x? + x— 10 tiene términos de grados 3, 2, 1 y 0, respec- tivamente. Por tanto, el grado del polinomio es 3. $) El polinomio 4x2? — 6xy% + 2xp tiene términos de grados 5, 6 y 2, respectiva- mente. En consecuencia, el grado del polinomio es 6. Adición y sustracción de polinomios Al sumar y restar polinomios, combinamos términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que contienen las mismas variables elevadas a una mis- Ima potencia. Se considera que los términos 3x y — 4x son semejantes por conte- ner ambos la variable x elevada (implícitamente) a su primera potencia. El he- A7 A8 cho de que sus coeficientes (3 y —4) sean diferentes no influye en la semejanza de los términos. Todas las constantes reales son consideradas como términos semejantes. Las constantes —5 y 18 pueden considerarse que tienen la forma 50 y 18 que las califica como términos semejantes. Cuando se suman o restan polinomios, pueden combinarse términos y obte- nerse una forma más simple. Así, los términos semejantes 4x y 3x se sumarán del siguiente modo: 4x + 3x = (4 + 3)x = 7x De manera análoga, Bxy* 2xy? + Gay? = [5 + (2 + 6jy? = 9xy* Los términos no semejantes no pueden combinarse en una forma más simple (el conocido problezma de sumar **perros y gatos””). La suma 5x y 2y no puede escribirse en una forma más simple. Cuando se suman o restan polinomios, se identificarán y combinarán los - términos semejantes. Los términos no semejantes se suman O restan como se ha indicado. Con los siguientes ejemplos se explican este proceso. EJEMPLO 8 (Oy? — 5x + 10) — (4x7 + 3x — 5) = 20% - 3x +10 + dx 7 3x5 = 2 + dx — 3 + dx + 105 = Gx — 2x +3 EJEMPLO 9 h 5xly + 2x3 — dy + 3x%y 45 + 10 5xly + 3xy + ay ay y +10 8xy + 2%? - 3y* +10 (5x%y + 2xy* — 4y%) — (-3x%y + y — 10) a Multiplicación de polinomios Todas las reglas y propiedades de la multiplicación para números reales se apli- can cuando se multiplican polinomios. Se expondrán dos casos de multiplicación: 1) multiplicación de dos monomios 2) multiplicación de dos polinomios. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS a Para multiplicar dos monomios, se multiplican sus coeficientes y luego los términos variables usando las reglas de los exponentes. EJEMPLO 40 (1) (23) (3) = (2)(3)x: = 6x? O) (6) (2) = (5) (27) = 10% (0) Bab") (Ga?b) = (3) (Gaadodh = 180%* (d) (mn?) (min?) (-3m%n) = —12m%n* 410 NOTA Puede comprobarse la respuesta en una división con sólo multiplicar la respuesta por el divisor. Sila respuesta es correcta, esta prueba de- berá ser igual al dividendo (numerador). Ejercicios de seguimiento de la sección A.2 (continúa) En los ejercicios 1-34 realice las operaciones indicadas. 1 10x + 3% 2 5x 4x4 9 3 y - 2 + y) + (4y* — 5y) 4 (2m* — 3m) + (dm = 2m) — (ui + 6) E (4013? =- 251% - (154) 5 abc — cab — bas Ti 2) (Ox 3) + (y 8 (30 (41%) 9 (15) (8x3) 10 84%) (20 (41?) 11 (0%) (4a%) (-2a*) 12 5x(x — 10) 13 (2% (? — y) 14 ?ala” — 2a + 3) 15 xy - 2xy + y) 16 (x — 5)(x + 6) 17 (a + ba +0) 18 (2: — 3)(2x — 3) 19 (a — bla — b) : 20 «-D06-4 21 (x — 2)(x% — de + 4) 22 21x%/(3x) 23 16x%*/(4xy>) 24 102% */(50b%) 25 -—9xy*/(3xy?) 26 250 *bc*/(3ab**) 27 (15%? - 24x)/(3x) 28 (4, dy — 8x3)/(2x) ¿ 29 (124* — 9a? + 6a)/(—-Sa) 30 (2 i 31 (4% + 6% — 8x/(2%) 32 . i 33 (48x%y? — 161%? + 24xy9)/-dxy? 34 (12 47 2er 2) y) : A.3 FACTORIZACIÓN En la presente sección se trarará de la factorización de polinomios, Factorizar un polinomio significa expresarlo como el producto de dos o más polinomios. He aquí la ley distributiva de la multiplicación. db+id=asb+asc El binomio de la derecha del signo de igualdad puede expresarse como el pro- ducto de los polinomios a y > + c. Estas dos polinomios se consideran los facto- res de la expresión a+ 5 + ac. En la multiplicación de polinomios, se nos dan los factores y hay que encontrar el produeta. En la factorización se conoce cl pro- ducto y debemos obtener los polinomios que, al ser multiplicados, darán cl producto. Factores de menomios La ley distributiva constituye un ejemplo de factores monomiales. es decir, ab+ac=ab+0) indica que los dos términos del miembro izquierdo del signo de igualdad con- tienen un factor común a, Este puede representar a cualquier monomio. Por ejemplo, el polinomio 2x + 2y puede reescribirse en la forma factorizada Ux + 3), puesto que cada término posee un factor común de 2. 4 cil Ati EJEMPLO 14 a) Los términos del polinomio 3% + x tienen un factor común x. Puede rees- cribirse así: *oxrr=ad—x +1) 4) Los términos del polinomio 6x?y? — 10xy* tienen un factor común 2x2. Al fac- torizarlo en cada términos se obtiene 6x* — ly? = 2 3 — 5) Generalmente nos interesa factorizar polinomios íntegramente, Ello significa que los factores no puedan factorizarse más. El miembro derecho de la evua- ción ot dy +0) no está factorizada por completo. El término 4% puede factorizarse en todos los términos dentro del paréntesis. El polinomio estará totalmente factorizado cuando se describa x4y(2 + xp). La meta en la factorización de un monomio suele ser identificar el mayor factor común monomial. Y ese factor es el que contiene el máximo factor nu- mérico común y las potencias más altas de las variables comunes a todos los términos. Polinomios cuadráticos A un polinomio de segundo grado se le llama a menudo polinomio cuadrático. Veremos con frecuencia este tipo de polinomios y su factorización será muy importante. En concreto, queremos expresar los polinomios cuadráticos, de ser posible, como el producto de dos polinomios de primer grado. El proceso de factorización incluye a menudo el tanteo. Algunas veces resulta fácil, otras es desalentador en extremo. Los siguientes casos le ayudarán al lector a enten- der mejor esto. CASO 4 a+ la + best a=(x + ax +0) Considérese el producto (x + a) (x + 5). La multiplicación de los dos binomios nos da ato ax + dx + ab isla + bx — ab (x + adíx + b) Ú tl El resultado de la multiplicación es un trinomio con un término 2, un término x y un término constante. Nótense los coeficientes de los términos del trinomio. El término x? tiene un coeficiente igual a 1; el término x tiene un coeficiente a + b, que es igual a la suma de las constantes contenidas en los factores bino- A13 EJEMPLO 17 Para encontrar los factores 6x2 — 25x + 25, se buscan los valores de a, b, e y d tales que 6x7 — Lx + 25= lax + b)lex + d) Las condiciones que han de cumplirse son ac=6 ad — be= -25 y bd = 25 Verifique que los valores a = 3,6 = 3,0 = 2 y d = —5 satisfacen las condiciones. Y, (Bx — 5)(2x — 5) = 6x" — 25x + 25 EJEMPLO 48 El primer paso en la factorización es buscar factores monomiales comunes. En el tri- nomio 12 — 27x + 6, puede factorizarse 3 én cada término, o sea 121? — 27% - 6 = S4x — Qx +2) El siguiente paso será determinar si el factor trinomial puede factorizarse. De ser así, ac= ad + bc = y bd =2 Los valores que cumplen las condiciones señaladas sona = 1, b=-=2c=4yd= —1. Por consiguiente, 193% - 27% +6 = 3x — Dix — 1) CASO 3 Ras (x+ ax a) Este caso requiere factorizar la diferencia entre cuadrados perfectos, El binomio por factorizar es la diferencia entre los cuadrados de las dos cantidades, x y a. Este binomio puede factorizarse como el producto de la suma y diferencia de xy. EJEMPLO 49 xi 9= (9 (39 = lx + 3x3) Atá EJEMPLO 20 l6x?— 81 = (41? — (9) = bl + 9)(407 — 9) Sin embargo, el binomio 4x* — 9 es la diferencia entre dos cuadrados. En consecuen- cia, 16x! - 81 = (4 + 9)(2x + 8) (2x — 3) Otras formas especiales Las siguientes reglas de factorización se aplican con menor frecuencia en el li- bro. CASO 4 abla bla + abr Este caso requiere factorizar la diferencia entre dos cubos. EJEMPLO 21 o *-1=090-(D=kfk-Datd+x+1) (by 8x — 64 = (21 — (4) = (2% — 4) (4x7 + 8x + 16) lO) min =(m- am +oma + n%) CASO 5 ad+h3= (a + bla? — ab + b?) Este caso incluye la factorización de la suma de dos cubos. EJEMPLO 22 la) *-B= OPS Ar o (0) 27-64 = (IP + (4 = Br 2y + 16) Ejercicios de seguimiento de la sección A.3 Factorice por completo (de ser posible) los polinomios en los siguientes ejercicios. No olvide verificar sus respuestas. 1 2ax — Ba? 2 210 - Tam 3 ty — bxy" y 4 650% — 130700 5 Ya iba? — 27a 6-8 +12 At6 identificar el mínimo común múltiplo (mem) o el mínimo común denominador (med). El procedimienro con que se obtiene el mínimo común denominador se ex- plica en seguida: 1 Escriba cada denominador en una forma completamente factorizada. 2 El mínimo común denominador es un producto de los factores. Para ob- tenerlo, cada factor distinto se incluye el mayor número de veces que aparece en cualquiera de los denominadores. EJEMPLO 24 Para calcular el mínimo común denominador de las fracciones A y 3 , se factoriza por completo cada denominador: 8=8-1=4:2-1=2-2-2:1 20=20-1=10-2-1=5:2-2-1 1] Estos denominadores se factorizan enteramente puesto que los factores pueden expre- sarse sólo como el producto de sí mismos y de 1 (suponiendo que estemos buscando factores de valores enteros). A ese tipo de factores se les llama factores primos. Al formar el mínimo común denominador, cada factor primo diferente se incluye el mayor número de veces que aparece en cualquiera de los denominadores. Esos factores son 2, 5 y 1. Por tanto, . mod =2-2-2-5-1=40 EJEMPLO 25 3 Determine la suma ¿+ $ SOLUCIÓN Una vez identificado el mínimo común denominador en el último ejemplo, hay que reformular cada fracción con el común denominador 40. Al expresar de nuevo las fracciones y al aplicar la regla 1, se obtiene 3225, 6_2%+6_31 20-240 40 40 40 EJEMPLO 26 Determine la diferencia 3/(4x) — 5/(6x%). SOLUCIÓN Factorizando cada denominador, se obtiene dx =4 + x-1=2-2-x-1 6 = box 1 -1=3:2-x0x +1 A17 Los factores distintos de estos denominadores son 2, 3, x (2, 3, x y 1) med =2:2:3 xx 1 = 12? Las fracciones, cuando se reformulan en términos del mínimo común denominador, producen 325_3:3 2 5-2 xx 6x7 dx-3x 6r-2 _ 9% 10 19% 12% 9-10 ES EJEMPLO 27 Para obtener la suma algebraica 3/(x — 1) — 3(x + 1) + 1/(x — 1), primero se de- termina el mínimo común denominador, o sea med = lx + Dx Dr1=(0é-0 Las tres fracciones se reformulan empleando el mínimo común denominador y se ob- tiene 322 + xi _ S-(x+1) _ 3rlx — 1) x? TI 8 1) a DA o e o x*-1 Bx +3 By al 1 dx + 8x +3 x—-1 . Multiplicación y división REGLA 3: MULTIPLICACIÓN El producto de dos o más fracciones se encuentra dividiendo el pro- ducto de sus numeradores entre el de sus denominagores. Es decir. 2£,.% pd e EJEMPLO 28 o 22-00.£ 90.357 00 35 15x% 15? dx b === ==) O 3 3 TA z-1 15 _ IS) _ 3 O TZ ORAR TD 2D A19 A.5 EXPONENTES Y RADICALES En la sección A.2 se explicaron las primeras cinco leyes de los exponentes: Ll a.gi=gr nr HH (a =a” HI (aby + ab” ar Ñ IV =0a"” a*f0O a aa? v (+) => bXH0 Recuérdese que los exponentes se restringieron a valores enteros. Exponentes fraccionarios En ocasiones tendremos que trabajar con exponentes fraccionarios. Las leyes de los exponentes son válidas para cualesquier valores reales de m y n. En el siguiente ejemplo se explica la aplicación de las leyes de los exponentes cuando éstos son fracciones. EJEMPLO 30 (a) PEA 1er? = q01ó (O (ay 8 =p (0 ey = (2) y = l6x : 414 o A A e DE Radicales Con frecuencia se necesita determinar el valor de x que satisfaga una ecuación de la forma Por ejemplo, ¿qué valores de x satisfacen las siguientes ecuaciones? =4 x=8 x'=81l En la primera ecuación queremos determinar el valor de x que, al ser multipli- cado por sí mismo, dé un producto igual a 4. El lector debería concluir que los valores de +2 y —2 satisfacen la ecuación, esto es, hacen iguales los miern- bros izquierdo y derecho de ella. De modo similar, la segunda ecuación busca el valor de x que, cuando se eleva al cubo, genera un producto de 8. Un valor de +2 satisface esta ecuación. Verifique que +3 y —3 satisfagan la tercera ecuación. DEFINICIÓN Si o” = b, entonces a se denomina la n-éxima raíz de b. A20' La n-ésima raíz de b se expresa con Yb, donde el símbolo Y es el signo del radical, n es el índice y b es el radicando. Así pues, podernos formular E a” So xi=4 x= V4=vV1 b, emtonces a = v/h donde se dice que x es igual a la raíz cuadrada de +. Si ningún índice aparece con el signo del radical, el índice será implícitamente 2. En la segunda ecuación, puede formularse Six=8 x:=V8 donde se dice que x es la raíz cúbica de 8. Y, para la tercera ecuación. Si x!=81 x= V8l donde se dice que x es la raíz cuarta de 81. Como se ha visto en el caso de estas ecuaciones, puede haber más de una n-ésima raíz de un número real. Por lo regular querezmos determinar sólo una de ellas: la principal n-ésima raíz. En vb, 1 La principal a-ésima raíz es positiva si 6 es positiva. 2 La principal n-ésima raíz es negativa si bes negativa y n es impar. Los siguientes ejemplos contienen la principal n-ésima raíz. EJEMPLO 34 a) Yi= by V-27 () V3 (d) V-243 Las siguientes leyes son aplicables a los cálculos cuando intervienen radicales. LEYES DE RADICALES 1 (Va =0_ Ñ 1 aVx+ bvx = (a +0) Ux mM Vob= Va vo nz a a_ va Y ¿(E= 1 57 for b 0