Se estudia la influencia en el nivel de contaminaci´on por nitratos (Y) del % de poblaci´on
conectada a sistemas de tratamiento de residuos (X) en 20 ´areas de la UE. Los datos
obtenidos son los siguientes
Xxi= 692 Xlog xi= 67.34 Xyi= 82.7Xxiyi= 2332.9
Xx2
i= 30430 X(log xi)2= 235.01 Xy2
i= 432.49 Xyilog xi= 262.37
Ajustar un modelo de regresi´on logar´ıtmico Y=β0+β1log X. ¿Es bueno este ajuste?
Soluci´on: Denotamos W= log(X). Entonces queremos ajustar el modelo Y=β0+β1Wsabiendo
que n= 20, P20
i=1 wi= 67,34, P20
i=1 w2
i= 235,01, P20
i=1 yi= 82,7, P20
i=1 y2
i= 432,49 y P20
i=1 yiwi=
262,37. Por tanto
¯w=67,34
20 = 3,367
¯y=82,7
20 = 4,135
covy,w =262,37
20 −3,367 ·4,135 = −0,804
vw=235,01
20 −3,3672= 0,414
vy=432,49
20 −4,1352= 4,526.
Con esta informaci´on construimos los estimadores de β0yβ1:
ˆ
β1=−
0,804
0,414 =−1,9ˆ
β0= 4,135 −(−1,9) ·3,367 = 10,5.
Por tanto, la recta de regresi´on estimada es ˆy= 10,5−1,9w= ˆy= 10,5−1,9 log x.
Como no tenemos los datos originales tenemos poca informaci´on para saber si el ajuste es bueno
o no. Por ejemplo, podemos calcular el coeficiente de correlaci´on entre yyw:
ry,w =−
0,804
√0,414 ·4,526 =−0,587,
que es bajo. El ajuste no parece bueno.
