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ECUACIONES DIFERENCIALES Y ÁLGEBRA LINEAL (MA264)
CLASE INTEGRADORA PC
Tema: EDO de primer orden, espacio y subespacio vectorial, combinación lineal (C.L.), conjuntos
linealmente independientes (L.I.) y linealmente dependientes (L.D.)
Logro de la sesión: Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y problemas sobre temas
descritos en la matriz de indicadores de logro de la PC1 y comunica sus resultados usando un
lenguaje oral adecuado.
1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a. La ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
4
= 3 𝑥 − 2 es una EDO lineal de primer orden.
b. La ecuación diferencial ( 2 𝑥𝑦 + cos(𝑦
2
) + 1 )𝑑𝑥 − ( 2 𝑥𝑦sen(𝑦
2
2
− 3 )𝑑𝑦 = 0 es
una EDO exacta
c. En la EDOL de primer orden (𝑥
2
′
2
− 8 el factor integrante es la
función 𝑢(𝑥) = (𝑥
2
2
d. La ecuación diferencial
𝑑
4
𝑦
𝑑𝑥
4
2
𝑑
2
𝑦
𝑑𝑥
2
3
- 4 𝑦 = 3 𝑥 + 5 es de orden tres.
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta.
a. El conjunto 𝑆 = {[
] ∈ 𝑅
3
: 𝑎 − 4 𝑏𝑐 = 0 } con las operaciones de suma y
multiplicación por escalar usuales, es un subespacio vectorial de 𝑅
3
b. El vector 𝒘 = 〈 19 , 6 , − 15 〉 no puede ser expresado como una combinación lineal de los
vectores 𝒂 = 〈 1 , − 2 , 3 〉 y 𝒃 = 〈 5 , 1 , − 3 〉.
c. 𝑃
6
es el espacio vectorial formado por los polinomios de grado igual a seis.
3. Determine el valor de 𝑚, si el conjunto 𝐵 = {[
] ; [
] ; [
]} es L.D.
4. Determine la solución del PVI: {
2
3
2
3
, según los
métodos de solución para EDO de primer orden desarrollados en clase.
5. Determine la solución del PVI: {
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
𝑥
, según los métodos de
solución para EDO de primer orden desarrollados en clase.
6. Determine la solución del PVI: {
2
2
, según los métodos de
solución para EDO de primer orden desarrollados en clase.
7. Se va a elaborar un jarabe casero con base en zumo de limón mezclado
con miel de abejas. El proceso consiste en agregarle a un recipiente
que contiene 2 400 litros de zumo de limón (sin miel) una solución con
una concentración de 20 0 gramos de miel por litro, la cual entra a una
velocidad de tres litros por minuto. La mezcla, que permanece
homogénea, se bombea hacia afuera del recipiente a la misma
velocidad para luego pasar a otro proceso. ¿Cuándo tendrá el
recipiente una concentración de 12 gramos de miel por litro de
solución?
8. Una botella de jugo de naranja se encuentra inicialmente a 21°C. Se
coloca la botella en un frigobar, donde la temperatura es de 5 °C.
Suponiendo que la temperatura del jugo de naranja contenido en la
botella desciende a 16°C después de 34 minutos. ¿En cuánto tiempo la
temperatura será de 9°C?
9. Un depósito contiene 45 0 litros de agua en el que se disuelven 6 0 gramos de sal. La salmuera
que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de 3 l/min;
la solución bien mezclada se bombea hacia afuera a la misma rapidez. ¿Cuándo tendrá el
depósito una cantidad de 1 18 gramos de sal?
10. En un laboratorio clínico, los especialistas determinan que una colonia
de bacterias tiene una tasa de crecimiento igual a la ochentava parte
de la cantidad de bacterias presentes P ( t ) en el instante t , en horas. Si
después de 21 0 horas la colonia es de 64 000 bacterias. ¿En cuánto
tiempo la cantidad de bacterias presentes será de 578 962?
11. Un reactor de cría convierte uranio 238, relativamente estable, en el isótopo plutonio 239.
Después de 30 años, se ha determinado que 0,0 94 % de la cantidad inicial 𝐴
0
de plutonio se
ha desintegrado. Se sabe que la rapidez de desintegración del plutonio es proporcional a la
cantidad que queda en cada instante. Siendo 𝐴(𝑡) la cantidad de plutonio que queda luego
de t años. ¿Cuándo alcanzará este isótopo su vida media?
12. Un tanque contiene 400 litros de agua pura. Una salmuera cuya
concentración es de 0,125 gramos de sal por litro fluye al tanque
a una velocidad de 8 l/min. La mezcla sale del tanque a razón de
4 l/min. ¿Qué cantidad de sal se encuentra en el tanque en el
momento en que su volumen es de 500 litros?
