¡Descarga ejercicios Algebra Telecos y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Exercicis d’ `Algebra Curs 2014-
Grau en Enginyeria de Sistemes de Telecomunicaci´o
Grau en Enginyeria Electr`onica de Telecomunicaci´o
I. Matrius.
1. Resoleu el seg¨uent sistema d’equacions amb inc`ognites A, B ∈ M 2 × 3 (Q).
4 A − 3 B =
5 A + 2B =
2. Considerem les matrius:
A =
, B =
Expresseu cada columna de la matriu AB com a combinaci´o lineal de les columnes de A.
Expresseu cada fila de la matriu AB com a combinaci´o lineal de les files de B.
3. Sigui A =
∈ M 2 (K). Trobeu totes les matrius B ∈ M 2 (K) que commuten amb
A, i.e. les matrius que satisfan AB = BA.
Comproveu amb exemples que si AB 6 = BA les seg¨uents identitats poden ser falses:
(AB)^2 = A^2 B^2 , (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 , (A + B)(A − B) = A^2 − B^2.
4. Siguin A, B ∈ Mn(K) invertibles. Trobeu totes les X ∈ Mn(K) que satisfan:
AB−^1 AXA−^1 B + 5AB = 0.
5. Comproveu que les seg¨uents matrius de M 2 (C) s´on inverses l’una de l’altra:
i 1 + i 1 2 − i
− 1 − 2 i −1 + i i 1
Resoleu aquests sistemes d’equacions lineals utilitzant el producte de matrius:
(a)
i 1 + i 1 2 − i
x y
, (b)
x y
i 1 + i 1 2 − i
6. Proveu (amb raonaments) les seg¨uents afirmacions.
(a) Una matriu A ∈ Mn(K) amb una fila id`enticament nul.la no pot ser invertible.
(b) Una matriu A ∈ M 3 (Q) que satisf`a la seg¨uent identitat no pot ser invertible.
A =
(c) Si A ∈ Mn(K) ´es invertible, aleshores At^ ´es invertible i (At)−^1 = (A−^1 )t.
7. Considerem la matriu A =
∈ M 3 × 6 (Q).
(a) Calculeu la forma normal de Gauss-Jordan G de la matriu A, i calculeu tamb´e una
matriu invertible P tal, que G = P A.
(b) Expresseu les files de la matriu G com a combinaci´o lineal de les files de A.
(c) Expresseu les files de la matriu A com a combinaci´o lineal de les files de G.
8. Repetiu l’exercici anterior amb les matrius:
(a) A =
0 2 i − 1 3 i 2 0 − 6 i 3 − 9 i − 6 0 2 i 3 − 2 i 0 − 4 i 2 0 − 4
∈^ M^4 ×^5 (C),^ (b)^ B^ =
∈^ M^4 ×^5 (Z^2 ).
9. Doneu una descripci´o param`etrica de la varietat lineal V que formen les solucions dels
seg¨uents sistemes d’equacions lineals. Especifiqueu una fam´ılia de vectors directors.
(a)
2 x − 4 y − t = − 5 2 z + t = 5 −x + 2y + 3z + 2t = 9
, (b)
2 x − 4 y − u − 5 v = 2 2 z + u + 5v = 0 −x + 2y + 3z + 2u + 10v = − 1
10. Resoleu els seg¨uents sistemes d’equacions lineals, treballant respectivament als cossos
K = C i K = Z 2. Podeu utilitzar els c`alculs de l’exercici 8.
(a)
0 x + 2iy − z + 3it = 2 0 x − 6 iy + 3z − 9 it = − 6 0 x + 2y + iz + 3t = − 2 i 0 x − 4 iy + 2z + 0t = − 4
, (b)
x + y + z + t = 0 x + y + t = 1 x + y + z = 1 x + y = 0
11. Resoleu simult`aniament els sistemes d’equacions lineals seg¨uents, mitjan¸cant un ´unic
proc´es d’esglaonament:
(a)
4 x − 2 y − z + 2u = 16 2 x − y + z + u = 8 6 x − 3 y + 3u = 24
, (b)
4 x − 2 y − z + 2u = 1 2 x − y + z + u = 5 6 x − 3 y + 3u = 9
Per a quins valors de s ´es compatible el seg¨uent sistema d’equacions lineals?
(c)
4 x − 2 y − z + 2u = 1 2 x − y + z + u = 5 6 x − 3 y + 3u = s
12. Estudieu, segons els valors del par`ametre s ∈ R, la varietat lineal de R^3 determinada pel
seg¨uent sistema.
sx + 3y + 3z = x + y + z = 3 x + 3y − sz =
13. Apliqueu la t`ecnica de les transformacions elementals per comprovar si aquestes matrius
quadrades s´on invertibles. En cas afirmatiu, calculeu la seva inversa.
(a)
(^) , (b)
(^) , (c)
i 0 i 1 + i 1 − i 2 0 1 1
14. Calculeu la inversa de les seg¨uents matrius amb entrades de K = Z 2 :
(a)
(^) , (b)
, (c)
(b) G =
G 1 = A 4 , G 2 = A 3 + A 4 , G 3 = A 2 + A 4 , G 4 = A 1 + A 2 + A 3 + A 4.
A 1 = G 1 + G 2 + G 3 , A 2 = G 1 + G 3 , A 3 = G 1 + G 2 , A 4 = G 1.
- (a) V = ∅; (b) V = (1, 0 , 0 , 0 , 0) +
- (a) V = (0, −i, 0 , 0) +
(1, 0 , 0 , 0), (0, − 2 i , 1 , 0)
; (b) V = (0, 0 , 1 , 1) +
- La matriu del sistema ´es la mateixa per als tres sistemes (a), (b) i (c). Els podem resoldre simult`aniament calculant la matriu de Gauss-Jordan de la matriu del sistema, acompanyada de les tres columnes de termes independents:
(a)^ (b) (c)
6 − 3 0 3 24 9 s
^ (a)^ (b)^ (c)
0 0 0 0 0 3 s − 6
Obtenim les seg¨uents varietats lineals: (a) V = (4, 0 , 0 , 0) +
(b) V = ∅; (c) El sistema ´es compatible nom´es per a s = 6 i aleshores V = (1, 0 , 3 , 0)+
- Per a s = −3, tenim V = ∅. Per a s = 3, la varietat V ´es la recta ( 12 , 0 , 12 ) +
Per a s 6 = ±3, obtenim el punt V = {(0, (^) s+3s , (^) s+3^3 )}.
- (a) no invertible; (b)
; (c) no invertible.
- (a)
; (b)
; (c)
;^ X^ =
15. A−^1 = QP.
- Sim`etriques: 1, 2, 9. Toeplitz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Circulants: 1, 2, 7. Hermitianes: 1, 2, 6, 9, 10. Ortogonals: 4, 5, 11.
II. Espais Vectorials.
1. Determineu quins dels seg¨uents subconjunts s´on subespais vectorials.
En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai.
(a) F = {(x, y) ∈ R^2 | x = y}, (b) F = {(x, y, z) ∈ C^3 | xy + iz = x}, (c) F = {(x, y) ∈ (Z 2 )^2 | x = y + 1}, (d) F = {(x, y) ∈ Q^2 | x ∈ Z}, (e) F = {(x, y) ∈ Q^2 | y = x^2 }, (f) F = {(x, y) ∈ C^2 | y = eiπ/^3 x},
2. Determineu quins dels seg¨uents subconjunts de R[x] s´on subespais vectorials.
En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai.
(a) F = {p(x) ∈ R[x] de grau ≤ 4 }, (b) F = {p(x) ∈ R[x] de grau parell}.
3. Determineu quins dels seg¨uents subconjunts d’aquests espais de matrius s´on subespais
vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai.
(a) F = {A ∈ M 2 , 3 (R) | la suma dels elements de la 2a fila ´es 3}, (b) F = {A ∈ M 2 , 3 (Z 2 ) | la suma dels elements de la 2a fila ´es 0}, (c) F = {A ∈ M 2 , 3 (C) | (i 5)A = (0 0 0)}, (d) F = {A ∈ M 3 (Q) | det(A) = 0} (e) F = {A ∈ M 2 (R) | a 21 = 0}.
4. Determineu quins dels seg¨uents subconjunts de l’espai F(R, R) = {f : R → R}, que formen
les aplicacions de R en R, s´on subespais vectorials.
(a) {f : R −→ R | f (
3 }, (b) {f : R −→ R | f (
(c) {f : R −→ R | f (
- = f (
3)}, (d) {f : R −→ R | f (x) 6 = 1, ∀x ∈ R}, (e) {f : R −→ R | f cont´ınua}, (f) {f : R −→ R | f derivable i f ′(−5) = 0}.
5. Determineu en cada cas si el vector u pertany al subespai F.
(a) u = (0, 3 , 5 , 1), F = 〈 (1, 0 , − 1 , 0), (1, 1 , 1 , 0), (0, 1 , 1 , 1), (0, 1 , 2 , 0) 〉Q ⊆ Q^4 , (b) u = x^2 − 2 x + 4, F =
x + 7, x^2 + x + 4, x^2 − x − 10 , 2 x^2 + x + 1
R ⊆^ R[x],
(c) u =
, F =
R
⊆ M 2 (R),
(d) u = (3, 0 , −i, 5 + i), F =
(x, y, z, t) ∈ C^4 | ix + 3z = 0
⊆ C^4.
6. Proveu que els seg¨uents subespais F, G de R^4 satisfan F ( G. Es a dir,´ F ⊆ G i F 6 = G.
F = 〈 (2, − 4 , − 3 , 4), (0, 1 , 1 , −1), (2, − 1 , 0 , 1) 〉R, G = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | 3 x + 5y − 6 z = t}.
7. Determineu quines de les seg¨uents fam´ılies de vectors s´on LD, i per a les que ho siguin
trobeu un vector que sigui combinaci´o lineal de la fam´ılia de dues maneres diferents.
(a) (0, − 2 , 3 , 6), (0, 13 , − 12 , −1), (0, 3 , − 2 , −4), (0, 0 , 1 , 2) ∈ R^4 (b) x^3 − 1 , x^2 − 1 , x − 1 , 5 x^3 + 4x^2 − 7 x − 2 ∈ R[x]
(c)
∈ M 2 × 3 (Q)
8. Considerem la matriu A =
Formen les files de A una fam´ılia linealment independent? I les columnes?
Trobeu una matriu B ∈ M 4 × 3 (Q) tal, que AB = I 3.
Proveu que no existeix cap matriu B ∈ M 4 × 3 (Q) tal, que BA = I 4.
9. Siguin v, e 1 , e 2 , e 3 vectors d’un K-espai vectorial E. Demostreu o doneu un contraexemple
de les afirmacions seg¨uents segons siguin certes o falses:
(b) Podem eliminar la tercera equaci´o sense canviar el conjunt de solucions del sistema?
I la quarta?
(c) Trobeu una base d’aquest subespai 2-dimensional de R^5.
15. Considerem el subespai vectorial
F = 〈 (1, 2 , 3 , 4), (2, 3 , 4 , 5), (3, 4 , 5 , 6), (4, 5 , 6 , 7) 〉Q ⊆ Q^4.
(a) Trobeu la base de Gauss-Jordan de F.
(b) Amplieu aquesta base de F en una base de Q^4.
(c) Comproveu que el vector u = (3, 2 , 1 , 0) pertany a F i calculeu les coordenades de u
respecte de la base de Gauss-Jordan.
(d) Trobeu una base de F que contingui u entre els seus membres.
16. Considerem el subespai vectorial V ⊆ R^4 format pels vectors (x, y, z, t) ∈ R^4 que satisfan:
x y z t
(a) Trobeu una base de V i amplieu-la fins obtenir una base de R^4.
(b) Comproveu que el vector u = (4, 7 , 0 , 4) pertany a V i calculeu les coordenades de u
respecte de la base de V que heu trobat.
(c) Trobeu una base de V de la qual u en formi part.
17. Considerem el subespai vectorial V = {(x, y, z, t) ∈ R^4 | x + y + z + t = 0} ⊆ R^4. Trobeu
una base de V que contingui el vector u = (2, 3 , − 1 , −4). Amplieu la base de V que heu
trobat en una base de R^4.
18. Seleccioneu una base de l’espai R 3 [x] format pels polinomis de grau menor o igual que 3.
Resoleu els seg¨uents exercicis treballant en coordenades respecte de la base escollida.
(a) Trobeu una base del subespai F = 〈 x^3 − 1 , x^2 − 1 , x − 1 , 5 x^3 + x^2 − 4 x − 2 〉R.
Comproveu que el vector (x − 1)^2 pertany a F i trobeu les seves coordenades respecte
de la base trobada.
Proveu que el subespai F coincideix amb el subespai de R 3 [x] format per tots els
polinomis que s’anul.len per a x = 1.
(b) Trobeu una base del subespai V = {p(x) ∈ R 3 [x] | p(1) = 0 = p′(1)} ⊆ R 3 [x]. Amplieu la
base de V en una base de R 3 [x].
19. Seleccioneu una base de l’espai M 2 (Q) i resoleu les seg¨uents q¨uestions treballant en coor-
denades respecte de la base escollida.
(a) Trobeu la dimensi´o i una base del subespai V format per les matrius que satisfan:
suma elements de la primera fila = 0, i simult`aniament:
suma elements de la primera columna = suma elements de la segona columna.
(b) Clarament, la matriu u =
pertany al subespai V. Calculeu les coordenades
de u respecte de la base de V que heu trobat.
20. Seleccioneu una base de l’espai M 2 × 3 (Z 2 ). Treballant en coordenades respecte d’aquesta
base, trobeu la dimensi´o i una base del subespai
F =
Z 2
Comproveu que el vector U =
pertany a F i trobeu les seves coordenades respecte
de la base trobada.
21. Seleccioneu una base del subespai F = 〈 1 , sin x, cos x 〉R de F(R, R) i trobeu la dimensi´o i
una base dels subespais vectorials de F seg¨uents:
V = {f (x) ∈ F | f (0) = 0}, W = {f (x) ∈ F |f ′(0) = 0}.
22. Trobeu la dimensi´o i una base de C^2 com a R-espai vectorial. Considerem
F := {( x, y) ∈ C^2 | x + y ∈ R}.
Proveu que F ´es un R-subespai vectorial de C^2 , i trobeu-li la dimensi´o i una base.
23. Volem veure que el nombre complex z =
3 −i ´es un nombre algebraic. En altres paraules,
volem veure que z ´es l’arrel d’algun polinomi amb coeficients racionals.
Pensem C com a Q-espai vectorial (de dimensi´o superinfinita) i considerem el subespai:
F :=
3 , i,
3 i
Q
⊂ C.
(a) Comproveu que aquests generadors u 1 = 1, u 2 =
3 , u 3 = i, u 4 =
3 i s´on LI, i per
tant formen una base de F com a Q-espai vectorial.
(b) Comproveu que els cinc vectors 1, z, z^2 , z^3 , z^4 pertanyen a F i trobeu les seves coor-
denades respecte de la base u 1 , u 2 , u 3 , u 4.
(c) Com que 1, z, z^2 , z^3 , z^4 s´on cinc vectors d’un espai F de dimensi´o quatre, formen una
fam´ılia LD. Treballant amb les coordenades dels vectors respecte de la base de F fixada,
trobeu una relaci´o de depend`encia de la forma:
a + bz + cz^2 + dz^3 + z^4 = 0, a, b, c, d ∈ Q,
que us donar`a un polinomi expl´ıcit de grau quatre que t´e z entre les seves arrels.
Solucions.
- (a) F =
; (f) F =
(1, eiπ/^3 )
- (a) F =
1 , x, x^2 , x^3 , x^4
- (b) F =
(c) F =
〈 (^1 0
− i 5 0 0
0 − 5 i 0
0 0 − i 5
(e) F =
III. Aplicacions lineals i diagonalitzaci´o de matrius
1. Determineu quines de les seg¨uents aplicacions s´on lineals:
(a) f : R^2 → R^3 , f (x, y) = (0, y + 1, x − y)
(b) f : Q^2 → Q^2 , f (x, y) = (xy, x − y)
(c) f : R^3 → R^2 , f (x, y, z) = (3x − z, 2 x + z)
(d) f : R^2 → R, f (x, y) = ex+y
(e) f : (Z 2 )^2 → Z 2 , f (x, y) = x + y
(f) f : C → C^3 , f (x) = (−x, 0 , 3 ix)
(g) d : R[x] → R[x], d(p(x)) = p′(x)
(h) f : M 2 (R) → R^2 , f (A) = (a 22 −
2 a 11 , 7 a 22 )
(i) f : Mn(Z 2 ) → Mn(Z 2 ), f (X) = Xt
(j) det : Mn(Q) → Q
2. Sigui f : Q^4 → Q^3 l’aplicaci´o lineal donada per
f (x, y, z, t) = (x + y + z + t, x − 2 y − t, x + 7y + 3z + 5t).
Calculeu f (1, 2 , 3 , 4), f −^1 (1, 1 , 0) i f −^1 (0, 0 , 0).
Trobeu una matriu A ∈ M 3 × 4 (Q) tal, que f coincideix amb l’aplicaci´o lineal:
x
y
z
t
7 → A
x
y
z
t
3. Sigui f : R^3 → R^2 l’aplicaci´o lineal determinada per:
x y z
x y z
Calculeu f (3, − 1 , 2), f −^1 (1, −1) i f −^1 (0, 0).
Trobeu formes lineals 1 (x, y, z), 2 (x, y, z) tals, que:
f (x, y, z) = (1 (x, y, z), 2 (x, y, z)), ∀(x, y, z) ∈ R^3.
4. Sabem que una aplicaci´o lineal f : R^2 −→ R^3 satisf`a:
f (1, 0) = (2, − 5 , 9), f (0, 1) = (3, −
Trobeu formes lineals 1 (x, y), 2 (x, y), ` 3 (x, y) tals, que:
f (x, y) = (1 (x, y), 2 (x, y), ` 3 (x, y)), ∀(x, y) ∈ R^2.
Trobeu una matriu A ∈ M 3 × 2 (R) tal, que f coincideix amb l’aplicaci´o lineal:
x
y
7 → A
x
y
5. Sigui α un nombre real. L’aplicaci´o lineal:
R^2 −→ R^2 ,
x
y
cos(α) − sin(α)
sin(α) cos(α)
x
y
´es un gir d’angle α, amb centre a l’origen i en el sentit contrari de les agulles del rellotge.
Denotem per A(α) aquesta matriu que la representa.
(a) Comproveu que A(α) ´es invertible amb inversa A(−α).
(b) La composici´o de dos girs d’angle α ´es un gir d’angle 2α. Per tant, la matriu que
representa el gir d’angle 2α ´es: A(2α) = A(α)^2. Dedu¨ıu d’aquest fet f´ormules per a
cos(2α) i sin(2α) en funci´o de cos(α) i sin(α).
(c) Utilitzeu una idea an`aloga per deduir f´ormules per a cos(α + β) i sin(α + β) en funci´o
dels cosinus i sinus de α i β.
6. Calculeu la dimensi´o i una base del nucli i la imatge de les seg¨uents aplicacions lineals:
(a) f : (Z 2 )^3 −→ (Z 2 )^4 , f (x, y, z) = (x + y + z, 0 , z, x + y) (b) f : C^3 −→ C^2 , f (x, y, z) = (ix + y − iz, x − iy − z) (c) f : Q^4 −→ Q^3 , f (x, y, z, t) = (x − 2 y + t, z − y + t, x − 2 z − t) (d) f : R^5 −→ R^3 , f (x, y, z, t, u) = (4z + 8t + 2u, x + y + z + 2t + u, 3 x + 3y + z + 2t + 2u) (e) f : R^3 → R^4 , f (x, y, z) = (x + 2y, 2 x + 4y − 2 z, x + 2y − z, x + 2y).
7. Considerem l’aplicaci´o lineal:
f : C^5 −→ C^3 ,
x y z t u
1 5 − 1 9 − 9 i 1 5 2 − 3 0 i 5 i 0 5 i 6
x y z t u
Trobeu la dimensi´o i una base dels subespais Ker(f ) ⊆ C^5 i Im(f ) ⊆ C^3.
8. Considerem l’aplicaci´o lineal:
f : (Z 2 )^3 −→ (Z 2 )^4 ,
x y z
x y z
Trobeu la dimensi´o i una base dels subespais Ker(f ) ⊆ (Z 2 )^3 i Im(f ) ⊆ (Z 2 )^4.
9. Digueu quines de les seg¨uents aplicacions lineals s´on isomorfismes.
(a) f : R^3 → R^5 , f (x, y, z) = (x + y, x + y, 2 x + y + z, x + y, 3 x + y + z) (b) f : Q^4 → Q^4 , f (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y + z + t, z + t, t) (c) f : (Z 2 )^3 → (Z 2 )^3 , f (x, y, z) = (x + y + z, x, y + z).
10. Proveu que les aplicacions seg¨uents s´on isomorfismes i calculeu l’isomorfisme invers:
(a) f : (Z 2 )^3 → (Z 2 )^3 , f (x, y, z) = (x + y + z, z, y + z) (b) f : R 2 [x] → R^3 , f (p(x)) = (p(0), p(1), p(2)).
11. Determineu si existeixen aplicacions lineals de R^3 en R^2 que compleixin cadascuna de les
condicions seg¨uents:
El creixement anual de la poblaci´o ve determinat per la matriu
A =
p 0 0
on p ´es la probabilitat de superviv`encia d’un individu del primer sector d’edat. Per tant, el
vector-columna que cont´e les dades de poblaci´o al cap d’un any ser`a el producte AN t.
Estudieu el creixement d’una poblaci´o de N = (500, 600 , 400) escarabats al llarg dels
anys suposant que p = 0.18. Qu`e passaria si p = 0.5? I si p = 0.72?
18. A les darreres eleccions al Parlament de Catalunya es van obtenir els seg¨uents percentatges
de vots:
P 1 : Partits independentistes: 45%
P 2 : Partits federalistes: 30%
P 3 : Partits unionistes: 25%
El govern espanyol, preocupat per l’aven¸c del vot sobiranista, dubta entre aplicar l’estra-
t`egia del “ni parlar-ne!” o be oferir una “tercera via”, i encarrega a un equip d’experts que
facin un estudi sobre la possible evoluci´o del vot per a cadascuna d’aquestes estrat`egies.
Despr´es d’un sofisticat estudi estad´ıstic els experts dictaminen que l’evoluci´o del vot vindria
donada per les seg¨uents matrius:
Ni parlar-ne : A =
, Tercera via : B =
La interpretaci´o de la matriu A ´es la seg¨uent:
P 1 : mantenen un 90% dels seus votants, guanyen un 40% de votants de P 2 i un 10%
de votants de P 3.
P 2 : mantenen un 50% dels seus votants, guanyen un 10% de votants de P 1 i un 10%
de votants de P 3.
P 3 : mantenen un 80% dels seus votants i guanyen un 10% de votants de P 2.
D’aquesta manera, el producte Au, on u ´es el vector-columna (0. 45 , 0. 3 , 0 .25), d´ona els
percentages de vot de la seg¨uent contesa electoral. I an`alogament amb la matriu B.
Suposant que aquesta din`amica de flux de vots es mant´e, estudieu l’evoluci´o del pes
electoral de P 1 , P 2 i P 3 al llarg de les legislatures per a cadascuna de les dues estrat`egies.
19. Un tanc A de 50 litres de capacitat est`a ple d’aigua que cont´e 2 Kg de sal dissolta.
Simultaniament, treiem aigua del diposit a una velocitat de 3 litres per minut, i afegim el
mateix cabal d’aigua pura. Quina quantitat de sal hi ha en el dip`osit al cap de 20 minuts?
A
3 l/m^ -
20. El tanc A t´e 50 litres de capacitat i est`a ple d’aigua que cont´e 2 Kg de sal dissolta. El
tanc B cont´e 50 litres d’aigua pura. Bombegem l´ıquid des de i cap als tancs com s’indica a
la figura. Quina quantitat de sal hi ha a cada dip`osit al cap de 20 minuts?
1 l/m
4 l/m
A B
3 l/m^ -
aigua pura
21. Resoleu les equacions diferencials:
(a)
x
y
x′
y′
, (b)
x
y
z
x′
y′
z′
22. Resoleu la seg¨uent equaci´o diferencial, on x(t), y(t) s´on funcions diferenciables sotmeses a
les condicions inicials: x(0) = 0, y(0) = 15.
x′(t) = 3 x(t) + 2y(t)
y′(t) = x(t) + 4y(t)
23. Resoleu la seg¨uent equaci´o diferencial, on x(t), y(t) s´on funcions diferenciables sotmeses a
les condicions inicials: x(0) = 10, y(0) = 20.
x′(t) = 10 x(t) − 6 y(t)
y′(t) = 11 x(t) − 7 y(t)
24. Resoleu la seg¨uent equaci´o diferencial, on x(t), y(t) s´on funcions diferenciables sotmeses a
les condicions inicials: x(0) = 50, y(0) = 20.
x′(t) = 4 x(t) + 3y(t)
y′(t) = 6 x(t) + y(t)
25. Resoleu la seg¨uent equaci´o diferencial, on x(t), y(t) s´on funcions diferenciables sotmeses a
les condicions inicials: x(0) = 100, y(0) = 20.
x′(t) = x(t) − 5 y(t)
y′(t) = x(t) − y(t)
Solucions.
- S´on lineals les aplicacions (c), (e), (f), (g), (h), (i).
- f (1, 2 , 3 , 4) = (10, − 7 , 44), f −^1 (1, 1 , 0) = ∅, f −^1 (0, 0 , 0) =
- f (3, − 1 , 2) = (− 3 , 5), f −^1 (1, −1) = (− 13 , 13 , 0) +
, f −^1 (0, 0) =
- f (x, y) = (2x + 3y, − 5 x −
2 y, 9 x), A =
- Valors propis de A: 1, 0. 8 , 0 .4. Vectors propis de A: E 1 =
, E 0. 8 =
E 0. 4 =
. La tend`encia electoral a la llarga ve donada per la matriu:
lim m→∞ Am^ =
que dona lloc als seg¨uents percentatges de vots: P 1 : 75%, P 2 : 16.66%, P 3 : 8.33%. Valors propis de B: 1 , 0. 6 , 0 .5. Vectors propis de B: E 1 =
, E 0. 6 =
E 0. 5 =
. La tend`encia electoral a la llarga ve donada per la matriu:
lim m→∞ Bm^ =
que dona lloc als seg¨uents percentatges de vots: P 1 : 60%, P 2 : 40%, P 3 : 0%.
- Sigui g(t) el nombre de grams de sal dissolts al dip`osit al cap de t minuts. Tenim: g(t) = 2000 e−^3 t/^50.
- Siguin gA(t), gB (t) els grams de sal dissolts als dip`osits A, B respectivament, al cap de t minuts. Tenim: gA(t) = 1000
e−^2 t/^50 + e−^6 t/^50
, gB (t) = 2000
e−^2 t/^50 − e−^6 t/^50
- (a) Valors propis: 3 , −1. Vectors propis E 3 =
, E− 1 =
x(t) = 5a e^5 t^ + b e−t, y(t) = −a e^5 t^ − b e−t, on a, b ∈ R s´on par`ametres lliures. (b) Valors propis: 2 , − 1 , −7. Vectors propis E 2 =
, E− 1 =
, E− 7 =
x(t) = 3a e^2 t^ + 9b e−t^ + 3c e−^7 t, y(t) = − 2 a e^2 t^ − 7 b e−t^ − c e−^7 t, z(t) = a e^2 t^ − b e−t^ − c e−^7 t, on a, b, c ∈ R s´on par`ametres lliures.
- Valors propis: 5 , 2. Vectors propis E 5 =
, E 2 =
x(t) = 10 e^5 t^ − 10 e^2 t, y(t) = 10 e^5 t^ + 5 e^2 t.
- Valors propis: 4 , −1. Vectors propis E 4 =
, E− 1 =
x(t) = − 2 e^4 t^ + 12 e−t, y(t) = − 2 e^4 t^ + 22 e−t.
- Valors propis: 7 , −2. Vectors propis E 7 =
, E− 2 =
x(t) = 40 e^7 t^ + 10 e−^2 t, y(t) = 40 e^7 t^ − 20 e−^2 t.
- Valors propis: 2 i, − 2 i. Vectors propis E 2 i =
(1 + 2i, 1)
, E− 2 i =
(1 − 2 i, 1)
x(t) = 100 cos(2t), y(t) = 20 cos(2t) + 40 sin(2t).
IV. Productes escalars
1. Calculeu l’area del triangle del pla amb vertexs en els punts (2, 3), (5, 3), (9, 9).
Calculeu el volum del tetraedre de l’espai ordinari amb v`ertexs en els punts (1, 2 , 3),
2. Calculeu la longitud dels vectors u = (4, 6 , −4), v = (1, − 21 , 4) ∈ R^4. Calculeu l’angle que
formen aquests dos vectors. Trobeu un vector w ∈ R^3 de longitud 11, que sigui perpendicular
a u i v simult`aniament.
3. Calculeu la longitud dels vectors u = (1, 2 , 3 , 2), v = (5, 0 , 4 , 9) ∈ R^4. Calculeu l’angle que
formen aquests dos vectors.
Considerem el seg¨uent hiperpl`a de R^4 :
H =
(x, y, z, t) ∈ R^4 | x + y + z + t = 0
Trobeu un vector w ∈ H de longitud 2, que sigui perpendicular a u i v simult`aniament.
4. Considerem el seg¨uent subespai de R^3 :
F =
⊂ R^3.
(a) Apliqueu el m`etode de Gram-Schmidt per trobar una base ortogonal v 1 , v 2 de F.
(b) Considerem el vector u = (4, 1 , 1) ∈ R^3. Calculeu la projecci´o ortogonal de u sobre F ,
expressada en coordenades repecte de la base v 1 , v 2.
(c) Si prenem v 3 = u − prF (u), comproveu que v 1 , v 2 , v 3 ´es una base ortogonal de R^3.
(d) Considerem la base ortonormal de R^3 formada pels vectors:
w 1 =
‖v 1 ‖
v 1 , w 2 =
‖v 2 ‖
v 2 , w 3 =
‖v 3 ‖
v 3.
Comproveu que la matriu que formen aquests vectors posats en columna ´es una matriu
ortogonal.
Solucions.
- Area del triangle: 9 unitats de superf´` ıcie. Volum del tetraedre: 3 unitats de volum.
- ‖u‖ = 2
17, ‖v‖ =
- Els vectors formen un angle de 2.46862162102253 radians. El vector buscat ´es w = (6, 2 , 9).
- ‖u‖ = 3
2, ‖v‖ =
- Els vectors formen un angle de 0.727436007796471 radians. El vector buscat ´es w = (1, − 1 , 1 , −1).
- (a) v 1 = u = (1, 1 , 1), v 2 = (1, 4 , −5). (b) prF (u) = 2v 1 + 141 v 2. (c) v 1 · v 2 = v 1 · v 3 = v 2 · v 3 = 0.
(d) La matriu que t´e w 1 , w 2 , w 3 per columnes ´es A =
√^1 3 √^1 42 √^3 1 14 √ 3 √^4 42 −^ √^2 1 14 √ 3 −^ √^5 42 −^ √^1 14
i satisf`a^ AAt^ =^ I.
