¡Descarga Exercicis algebra 2017 y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!
Exercicis d’ `Algebra Curs 2017-2018, 1a llista
Grau en Enginyeria Inform`atica
I. Nombres complexos
- Calculeu la part real, la part imagin
aria, el modul, el conjugat i l’invers, de cadascun dels nombres complexos seg¨uents:
(1 + i)^3 ; (1 + i)^6 ; i^17 ;
i 1 i + 1
i^7 + i + 1; (3 + 3i)^4 ; ( i) ^1 ;
i 4 2 i 3
- Expresseu cadascun dels seg¨uents nombres complexos en forma polar:
5 i; 1 +
p 3 i; 3 + 3i; 5
p 3 + 5i; ; 7 + 7i;
p 3 i 2
; cos(
) i sin(
Calculeu (3 + 3i)^829 , (
p 3 + 5i)^135 , ( 7 + 7i)^1017 , [(1
p 3 i)=2]^4002.
- Calculeu la part real, la part imagin
aria, el modul, el conjugat i l’invers, de cadascun nombres complexos seg¨uents:
eiπ; 2 e ^2 πi/^3 ; ecos(2); ecos(2)i; 12 eπi/^6 ; e^2 πi/^3 + e^4 πi/^3 ; e 1+iπ/^4 ; e5+iπ/^2 :
- Dibuixeu en el pla complex els subconjunts seg¨uents:
A 1 = fz 2 C : jz + 3j < 2 g; A 2 = fz 2 C : j Re zj + j Im zj < 1 g; A 3 = fz 2 C : jzj z = ig; A 4 = fz 2 C : jzj Re z + 2g
- Calculeu les arrels quadrades, expressades en forma cartesiana, de tots els nombres com- plexos dels exercicis 2 i 3.
- Proveu que per a tot nombre complex z es t´e ez^ ̸= 0. Proveu que per a tot parell z; w de nombres complexos, la igualtat ez^ = ew^ equival a z w 2 2 iZ.
- Trobeu f´ormules trigonom`etriques de sin(3x) i cos(3x) en funci´o de sin(x); cos(x); sin(2x) i cos(2x).
- Calculeu les arrels c´ubiques, en forma polar, dels nombres complexos
1 ; i; e; 8 ; 1 + i
- Trobeu les arrels dels polinomis quadr
atics i biquadratics seg¨uents: x^2 + 3x + 4 x^2 + 4i x^2 +
p 5 x^2 + 2ix + i 1 x^2 + 2ix +
p 3 i x^2 + 2ix
p 3 i x^4 + 4x^2 + 3 x^4 + x^2 + 1 x^4 (1 i)x^2 i
- Factoritzeu, a C[x] i a R[x], els polinomis: x^4 + 16; x^3 + 27; x^4 1 ; x^6 + x^3 + 4.
- Factoritzeu a C[x] i a R[x] el polinomi x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Indicaci´o: Calculeu el producte (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x 1).
- Factoritzeu a C[x] els polinomis:
x^3 + (i 1)x^2 + (1 i)x 1 ; x^3 + i; x^3 (
p 3 + i):
II. Matrius.
- Considerem les matrius amb entrades a R:
A =
0 @
0 3 7 1 2 9
1 A (^) ; B =
( 6 1 4 5 1 2 2 0
) :
Expresseu cada columna de la matriu AB com a combinaci´o lineal de les columnes de la matriu A. Expresseu cada fila de la matriu AB com a combinaci´o lineal de les files de B.
- Comproveu que les matrius de M 2 (C) seg¨uents s´on inverses l’una de l’altra: ( i 1 + i 1 2 i
) ;
( 1 2 i 1 + i i 1
) :
Resoleu aquests sistemes d’equacions lineals utilitzant el producte de matrius: ( i 1 + i 1 2 i
) ( x y
)
( 1 7
) ;
( x y
) (^ i 1 + i 1 2 i
)
( 1 7
)
- Considerem la matriu A =
0 @
0 1 1 0 1 0 0 3 3 2 3 2 0 1 1 1 1 1
1 A (^2) M 3 6 (Q).
(a) Calculeu la forma normal de Gauss-Jordan, A′, de la matriu A, i calculeu tamb´e una matriu invertible P tal que A′^ = P A. (b) Expresseu les files de la matriu A′^ com a combinaci´o lineal de les files d’A. (c) Expresseu les files de la matriu A com a combinaci´o lineal de les files d’A′.
- Repetiu l’exercici anterior amb les matrius:
A =
0 BB @
0 2 i 1 3 i 2 0 6 i 3 9 i 6 0 2 i 3 2 i 0 4 i 2 0 4
1 CC A 2 M^4 ^5 (C);^ B^ =
0 BB @
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0
1 CC A 2 M^4 ^5 (Z^2 ):
- Resoleu els sistemes d’equacions lineals seg¨uents a K = R. Doneu una descripci´o param`etrica de la varietat lineal que formen les solucions del sistema i una fam´ılia de vectors directors.
x + y z 2 t = 0 3 x y + z + 4t = 1 2 y 2 z 5 t = 0
9
=
;
;
x y + z t = 0 x + y z + 2u = 1 x y + z + t = 2
9
=
;
:
- Resoleu els sistemes d’equacions lineals seg¨uents, treballant respectivament als cossos K = C i K = Z 2. Podeu utilitzar els c`alculs de l’exercici 16.
0 x + 2iy z + 3it = 2 0 x 6 iy + 3z 9 it = 6 0 x + 2y + iz + 3t = 2 i 0 x 4 iy + 2z + 0t = 4
9
=
;
;
x + y + z + t = 0 x + y + t = 1 x + y + z = 1 x + y = 0
9
=
;
:
- Resoleu simult`aniament els sistemes d’equacions lineals seg¨uents a K = Q, mitjan¸cant un ´unic proc´es d’esglaonament:
- Proveu (amb raonaments) les afirmacions seg¨uents: (a) Una matriu A 2 Mn(K) amb una fila id
enticament nul.la no pot ser invertible. (b) Una matriu A 2 M 3 (Q) que satisfa la identitat seg¨uent ( 1 7 3
A =
no pot ser invertible. (c) Una matriu A 2 Mn(K) que t´e dues columnes id`entiques no pot ser invertible. (d) Si A 2 Mn(K) ´es invertible, aleshores At^ ´es invertible i (At) ^1 = (A ^1 )t. (e) Si A 2 Mn(K) ´es invertible, llavors per a cada n 1 la matriu An^ ´es invertible i (An) ^1 = (A ^1 )n.
- Sigui A =
2 M 2 (K). Trobeu totes les matrius B 2 M 2 (K) que commuten amb A, i.e. les matrius que satisfan AB = BA. Comproveu amb exemples que si B 2 M 2 (K) no commuta amb A aleshores les identitats seg¨uents poden ser falses:
(AB)^2 = A^2 B^2 ; (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 ; (A + B)(A B) = A^2 B^2 :
- Siguin A, B 2 Mn(K) invertibles. Trobeu totes les X 2 Mn(K) que satisfan:
AB ^1 AXA ^1 B + 5AB = 0:
- Apliqueu la t`ecnica de les transformacions elementals per files per mirar si aquestes matrius quadrades s´on invertibles. En cas afirmatiu, calculeu la seva inversa. 0 @
2 1 1 4 2 3 2 1 2
1 A (^) ;
0 @
1 1 1 1 2 3 1 4 6
1 A (^) ;
0 @
i 0 i 1 + i 1 i 2 0 1 1
1 A (^) :
- Calculeu les inverses respectives de les matrius seg¨uents suposant que els coeficients estan a K = Z 2 : 0 @
1 1 1 1 0 1 1 1 0
1 A (^) ;
( 1 1 1 0
) ;
0 BB @
1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1
1 CC A :
Trobeu l’´unica matriu X 2 M 3 4 (Z 2 ) que satisf`a: 0 @
1 1 1 1 0 1 1 1 0
1 A (^) X =
0 @
1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1
1 A (^) :
- Si A 2 Mn(K) i trobeu matrius invertibles P; Q 2 Mn(K) tals que In = P AQ. Quina seria la matriu inversa d’A?
- Constru¨ıu una matriu invertible 4 4 que tingui ( 1 2 3 4 ) per primera fila i ( 1 2 3 5 ) per quarta fila.
- Considerem la matriu A =
A.
(a) Trobeu una matriu B 2 M 4 3 (Q) tal que AB = I 3.
(b) Proveu que no existeix cap matriu B 2 M 4 3 (Q) tal que BA = I 4.
- Sigui A 2 Mn(K) una matriu invertible. Proveu que qualsevol matriu-fila (a 1 : : : an) 2 M 1 n(K) ´es combinaci´o lineal de les files d’A.
- Calculeu el determinant de les matrius del problema 27. Per a les que s´on invertibles, calculeu la inversa pel m`etode de la matriu adjunta.
Exercicis d’ `Algebra Curs 2017-2018, 2a llista
Grau en Enginyeria Inform`atica
III. Espais Vectorials i aplicacions lineals.
- Determineu quins dels subconjunts seg¨uents s´on subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. f(x; y; z) 2 R^3 j x = y = zg, f(x; y; z) 2 C^3 j xy + iz = xg, f(x; y) 2 (Z 2 )^2 j x = y + 1g, f(x; y) 2 Q^2 j x ´es enter i m´ultiple de 7g, f(x; y) 2 Q^2 j y = x^2 g, f(x; y) 2 C^2 j y = eiπ/^3 xg,
- Determineu quins dels subconjunts seg¨uents de R[x] s´on subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. fp(x) 2 R[x] j p(x) ´es de grau 12 g; fp(x) 2 R[x] j p(x) ´es de grau parellg.
- Determineu quins dels subconjunts seg¨uents d’aquests espais de matrius s´on subespais vectorials. En cas afirmatiu, trobeu un sistema de generadors del subespai. fA 2 M 2 , 3 (Z 2 ) j la suma dels elements de la 2a fila ´es 1g, fA 2 M 2 , 3 (Z 2 ) j la suma dels elements de la 2a fila ´es 0g, fA 2 M 2 , 3 (C) j (i 5)A = (0 0 0)g; fA 2 M 3 (Q) j det(A) = 0g fA 2 M 2 (Z 2 ) j a 21 = 0g.
- Determineu si el vector uk pertany al subespai Fk, per k = 1; 2 ; 3 ; 4.
u 1 = (0; 3 ; 5 ; 1), F 1 = ⟨ (1; 0 ; 1 ; 0); (1; 1 ; 1 ; 0); (0; 1 ; 1 ; 1); (0; 1 ; 2 ; 0) ⟩Q Q^4 , u 2 = x^2 2 x + 4, F 2 =
⟨ x + 7; x^2 + x + 4; x^2 x 10 ; 2 x^2 + x + 1
⟩ R ^ R[x],
u 3 =
0 @ 3 2 3 = 2 2
1 A, F 3 =
⟨^0 @ 0 ^1 =^2 4 3
1 A (^) ;
0 @ 2 4 8 5 = 2
1 A (^) ;
0 @ 0 1 2 1
1 A
⟩
R
M 2 (R),
u 4 = (3; 0 ; i; 5 + i), F 4 =
{ (x; y; z; t) 2 C^4 j ix + 3z = 0
} C^4.
- Considerem els subespais seg¨uents de R^4 :
F = ⟨ (2; 4 ; 3 ; 4); (0; 1 ; 1 ; 1); (2; 1 ; 0 ; 1) ⟩R; G = f(x; y; z; t) 2 R^4 j 3 x + 5y 6 z = tg:
Proveu que F ( G. (Es a dir,´ F G i F ̸= G.)
- Proveu que
Z 2 = (Z^2 )
(^3) , tot comprovant la doble inclusi´o:
⟨ (1; 1 ; 1); (1; 1 ; 0); (1; 0 ; 1)
Z 2 ^ (Z^2 )
3 ; ⟨^ (1; 1 ; 1); (1; 1 ; 0); (1; 0 ; 1) ⟩
Z 2 ^ (Z^2 )
- Determineu quines de les aplicacions seg¨uents s´on lineals:
f 1 : R^2! R^3 , f 1 (x; y) = (0; y + 1; x y) f 2 : Q^2! Q^2 , f 2 (x; y) = (xy; x y) f 3 : R^3! R^2 , f 3 (x; y; z) = (3x z; 2 x + z) f 4 : R^2! R, f 4 (x; y) = ex+y f 5 : (Z 2 )^2! Z 2 , f 5 (x; y) = x + y f 6 : C! C^3 , f 6 (x) = ( x; 0 ; 3 ix) f 7 : R[x]! R[x], f 7 (p(x)) = p′(x) f 8 : M 2 (R)! R^2 , f 8 (A) = (a 22
p 2 a 11 ; 7 a 22 ) f 9 : Mn(Z 2 )! Mn(Z 2 ), f 9 (X) = Xt det : Mn(Q)! Q
- Determineu quines de les fam´ılies de vectors seg¨uents s´on LD, i per a les que ho siguin trobeu un vector que sigui combinaci´o lineal de la fam´ılia de dues maneres diferents.
(a) (0; 2 ; 3 ; 6); (0; 13 ; 12 ; 1); (0; 3 ; 2 ; 4); (0; 0 ; 1 ; 2) 2 R^4 (b) x^3 1 ; x^2 1 ; x 1 ; 5 x^3 + 4x^2 7 x 2 2 R[x]
(c)
( 1 2 3 4 5 6
) ;
( 4 5 6 1 2 3
) ;
( 1 2 6 4 5 3
) 2 M 2 3 (Q)
- Siguin v; e 1 ; e 2 ; e 3 vectors d’un K-espai vectorial E. Demostreu o doneu un contraexemple de les afirmacions seg¨uents segons siguin certes o falses:
(a) e 1 ; e 2 ; e 3 LI; =) e 1 ; e 3 LI
(b) e 1 ; e 2 ; e 3 LD; =) e 1 ; e 3 LD
(c) e 1 ; e 2 ; e 3 LI; v ̸2 fe 1 ; e 2 ; e 3 g =) e 1 ; e 2 ; e 3 ; v LI
(d) e 1 ; e 2 ; e 3 LI; v ̸2 ⟨ e 1 ; e 2 ; e 3 ⟩K =) e 1 ; e 2 ; e 3 ; v LI
(e) e 1 ; e 2 ; e 3 ; v LD =) v 2 ⟨ e 1 ; e 2 ; e 3 ⟩K
(f) e 1 ; e 2 ; e 3 SG de E; e 3 2 ⟨ e 1 ; e 2 ⟩K =) e 1 ; e 2 SG de E.
(g) e 1 ; e 2 ; e 3 SG de E; =) e 1 ; e 2 ; e 3 ; v SG de E.
(h) e 1 ; e 2 ; e 3 SG de E; v ̸2 ⟨ e 1 ; e 2 ⟩K =) e 1 ; e 2 ; v SG de E.
(i) e 1 ; e 2 ; e 3 ; v LI; () e 1 ; 2 e 2 ; 3 e 3 ; 4 v LI.
- Proveu que la successi´o finita de vectors (1; 1 ; i); (1; 1 ; 0); (i; 0 ; 1) ´es una base de C^3. Trobeu les coordenades dels vectors (1; 1 ; i) i (1; 0 ; 0) respecte d’aquesta base. Quin vector t´e coordenades (i; 0 ; 1) en aquesta base?
- Calculeu una base dels subespais seg¨uents:
(a) F = ⟨ (1; 1 ; 2 ; 0); (1; 1 ; 0 ; 2); (1; 1 ; 1 ; 1); (1; 0 ; 3 ; 3); (0; 3 ; 5 ; 1) ⟩R R^4. (b) V = f(x; y; z; t) 2 R^4 j x = y + t; y = x + zg R^4.
- Considerem el subespai vectorial
F = ⟨ (1; 2 ; 3 ; 4); (2; 3 ; 4 ; 5); (3; 4 ; 5 ; 6); (4; 5 ; 6 ; 7) ⟩Q Q^4 :
(a) Trobeu una base de F.
(b) Amplieu aquesta base de F a una base de Q^4.
(c) Comproveu que el vector u = ( 1 ; 0 ; 1 ; 2) pertany a F i calculeu les coordenades de u respecte de la base de F que heu trobat a l’apartat (a).
(d) Trobeu una base de F que contingui u entre els seus membres.
- Considerem el subespai vectorial V R^4 format pels vectors (x; y; z; t) 2 R^4 que satisfan:
0 @
4 0 2 1 2 0 1 (^12) 3 1 2 0
1 A
0 BB @
x y z t
1 CC A =
0 @
0 0 0
1 A
(a) Trobeu una base de V i amplieu-la fins obtenir una base de R^4.
(b) Comproveu que el vector u = (1; 1 ; 2 ; 0) pertany a V i calculeu les coordenades de u respecte de la base de V que heu trobat a l’apartat anterior.
(c) Trobeu una base de V de la qual u en formi part.
- Considerem el subespai vectorial V = f(x; y; z; t) 2 R^4 j x + y + z + t = 0g R^4. Trobeu una base de V que contingui el vector u = (2; 3 ; 1 ; 4). Amplieu la base de V que heu trobat en una base de R^4.
- Seleccioneu una base de l’espai R 3 [x] format pels polinomis de grau menor o igual que 3. Resoleu els exercicis seg¨uents treballant en coordenades respecte de la base escollida.
(a) Trobeu una base del subespai F = ⟨ x^3 1 ; x^2 1 ; x 1 ; 5 x^3 + x^2 4 x 2 ⟩R. Comproveu que el vector (x 1)^2 pertany a F i trobeu les seves coordenades respecte de la base trobada. Proveu que el subespai F coincideix amb el subespai de R 3 [x] format per tots els polinomis que s’anul.len per a x = 1.
(b) Trobeu una base del subespai V = fp(x) 2 R 3 [x] j p(1) = 0 = p′(1)g R 3 [x]. Amplieu la base de V a una base de R 3 [x].
- Seleccioneu una base de l’espai C 2 [x]. Treballant en coordenades respecte d’aquesta base, trobeu la dimensi´o i una base del subespai
F =
x^2 + 1; 1 x^2 ; x i; (x i)^2
C;
i amplieu aquesta base de F a una base de C 2 [x].
- Seleccioneu una base de l’espai M 2 (Q) i resoleu les q¨uestions seg¨uents treballant en coor- denades respecte de la base escollida.
(a) Trobeu la dimensi´o i una base del subespai V format per les matrius que satisfan: la suma dels elements de la primera fila = 0 i, simult`aniament, la suma elements de la primera columna = la suma elements de la segona columna.
(b) Clarament, la matriu u =
pertany al subespai V. Calculeu les coorde-
nades de u respecte de la base de V que heu trobat.
- Seleccioneu una base de l’espai M 2 3 (Z 2 ). Treballant en coordenades respecte d’aquesta base, trobeu la dimensi´o i una base del subespai
F =
⟨ (^1 1 0 1 1
) ;
( 1 1 1 1 0 1
) ;
( 0 0 0 1 1 0
) ;
( 0 0 1 0 0 1
) ⟩
Z 2
:
Comproveu que el vector U =
( 1 1 0 1 0 0
) pertany a F i trobeu les seves coordenades respecte de la base trobada.
- Calculeu la dimensi´o i una base del nucli i la imatge de les aplicacions lineals seg¨uents:
(d) Proveu que Ker(f ) G, i amplieu la base de Ker(f ) a una base de G.
- Digueu quines de les aplicacions lineals seg¨uents s´on isomorfismes.
f 1 : R^3! R^5 , f 1 (x; y; z) = (x + y; x + y; 2 x + y + z; x + y; 3 x + y + z) f 2 : Q^4! Q^4 , f 2 (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y + z + t; z + t; t) f 3 : (Z 2 )^3! (Z 2 )^3 , f 3 (x; y; z) = (x + y + z; x; y + z).
- Proveu que les aplicacions seg¨uents s´on isomorfismes i calculeu l’isomorfisme invers:
f 1 : (Z 2 )^3! (Z 2 )^3 , f 1 (x; y; z) = (x + y + z; z; y + z) f 2 : R 2 [x]! R^3 , f 2 (p(x)) = (p(0); p(1); p(2)).
- Determineu si existeixen aplicacions lineals de R^3 en R^2 que compleixin cadascuna de les condicions seg¨uents: (a) f 1 (1; 2 ; 1) = ( 1 ; 5); f 1 (1; 1 ; 1) = (2; 10); f 1 (0; 0 ; 1) = (3; 4) (b) f 2 (1; 2 ; 1) = ( 1 ; 5); f 2 (1; 1 ; 1) = (2; 10); f 2 (0; 1 ; 0) = (3; 4) (c) f 3 (1; 2 ; 1) = ( 1 ; 5); f 3 (1; 1 ; 1) = (2; 10); f 3 (0; 1 ; 0) = (3; 15). (d) Ker(f 4 ) = f(x; y; z) 2 R^3 : x y + 3z = 0g; Im(f 4 ) = ⟨ (2; 1) ⟩R.
- Trobeu la dimensi´o de F , G, F + G i F \ G en cadascun dels casos seg¨uents:
(a) F = ⟨ (1; 1 ; 1); (2; 0 ; 1) ⟩R; G = ⟨ (1; 0 ; 1); (2; 3 ; 0); (4; 3 ; 2) ⟩R R^3 , (b) F =
⟨ (0; 1 ; 0 ; 0); (0; 1 ; 1 ; 0); (1; 0 ; 1 ; 0)
⟩ Z 2 ; G^ =^
⟨ (1; 0 ; 0 ; 1); (1; 1 ; 1 ; 0); (1; 1 ; 1 ; 1)
⟩ Z 2 ^ (Z^2 )
(^4) :
- Trobeu bases del subespais F , G i F + G i la dimensi´o de F \ G en cadascun dels casos seg¨uents:
(a) F^ =^ f(x; y; z; t; u)^2 R
(^5) j x + y + 2z + 2u = 0; 3 y + 3z t + 2u = 0g; G = f(x; y; z; t; u) 2 R^5 j 2 x y + t = 0; 3 x z + t 4 u = 0g;
(b)
F = f(x; y; z; t) 2 Q^4 j x + z + t = 0; y + 2z t = 0; 2 x y + 3t = 0g G = ⟨ (1; 1 ; 0 ; 1); (3; 2 ; 1 ; 0); (1; 0 ; 1 ; 2) ⟩Q:
- Siguin E, F , G tres subespais vectorials de dimensi´o 2 de R^5. Esbrineu la dimensi´o de F + G sabent que F ̸= G i que E \ (F + G) = f 0 g.
- Considerem l’aplicaci´o lineal f : Q^3! Q^3 f (a; b; c) = ( 2 a + 2b; 4 b + 2c; 3 a b c) per a tot a; b; c 2 Q. Considereu la base B donada pels vectors u 1 = (1; 1 ; 0), u 2 = (1; 1 ; 0) i u 3 = ( 1 ; 1 ; 1). Calculeu f (u 1 ), f (u 2 ) i f (u 3 ). Doneu la matriu M (C f B) de f respecte a la doble elecci´o de bases: B de l’espai de sortida i la base can`onica C de l’espai d’arribada.
- Considerem l’aplicaci´o lineal:
f : Q^3 ! Q^2 ; f (x; y; z) = (x + 2y 3 z; 2 x + 4y 6 z):
(a) Calculeu la dimensi´o i una base dels subespais Ker(f ) i Im(f ).
(b) Sigui C la base can`onica de Q^2. Trobeu una base B de Q^3 tal que la matriu de f
respecte de la doble elecci´o de bases, B a Q^3 i C a Q^2 , sigui
IV. Diagonalitzaci´o de matrius
- Per a cadascun dels endomorfismes de R^2 seg¨uents, trobeu-ne els valors propis i vectors propis. Per a cada cas en que l’endormorfisme sigui diagonalitzable, i si A ´es la matriu d’aquest endomorfisme en la base can
onica, trobeu una matriu invertible P (que dependra de l’en- domorfisme) tal que A = P DP ^1 , on D ´es una matriu diagonal.
(i) f 1 (x; y) = ( x; x y), (ii) f 2 (x; y) = (x 12 y; y 2 x), (iii) f 3 (x; y) = ((5=2)x y; 3 x y), (iv) f 4 (x; y) = (10x 6 y; 11 x 7 y),
- Feu el mateix pels endomorfismes de R^3 seg¨uents:
(i) f 1 (x; y; z) = ( x + 2y + 2z; y + 4z; 2 z), (ii) f 2 (x; y; z) = ( x + 2y; 4 x y + 4z; 2 y z), (iii) f 3 (x; y; z) = (3y + 9z; (x=3) + 3z; (x=9) + (y=3)), (iv) f 4 (x; y; z) = (6x 7 y 20 z; 8 z; x y), (iv) f 5 (x; y; z) = (2x + y + z; 2 x + 3y + 2z; 4 x + 4y + 3z), (v) f 6 (x; y; z) = (8x y 5 z; 2 x + 3y + z; 4 x y z), (vi) f 7 (x; y; z) = (2x + 4y + 2z; 3 x + 3y + 2z; 9 x + 12y + 5z), (vii) f 8 (x; y; z) = (4x + 3y z; x + 3y + 2z; x + 5z), (viii) f 9 (x; y; z) = (2x + 6y 4 z; 3 x 9 y + 6z; x 3 y + 2z),
- Feu el mateix pels endomorfismes de R^4 seg¨uents:
f 1 (x; y; z; t) = (x + y + z + t; 2 y + z + t; z; y + z + 2t) i f 2 (x; y; z; t) = (x + y + z + t; x + y z t; x y + z t; x y z + t):
- Estudieu segons els valors del par`ametre a 2 R la diagonalitzaci´o de la matriu:
A =
3 3 a
A :
- Comproveu que les matrius seg¨uents no diagonalitzen si treballem a R, per`o, en canvi, diagonalitzen si treballem a C.
( 0 1 1 0
A :
- Per a cadascun dels endomorfismes diagonalitzables dels problemes 68 i 69, calculeu les equacions que defineixen l’endomorfisme f 1000.
