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Facultad de Economía y Empresas
Ayudantía de Econometría
Ayudantía n°
Profesor: Benjamín Villena
Ayudante: Vicente Abrigo
Mail: [email protected]
Modelo de regresión lineal
Caso 1:
El profesor Benjamín Villena ha realizado una investigación para el consumo de los chilenos y en
esta ha utilizado como regresión la función de consumo keynesiana:
𝑑
, donde la unidad de medida tanto del consumo como del ingreso disponible
está en miles de pesos.
a) Obtenga 𝐸[𝐶|𝑌
𝑑
= 200 ]
R: Sólo debemos reemplazar y obtenemos que:
𝐸[𝐶|𝑌
𝑑
= 200 ] = 30 + 0. 6 ∗ 200 = 150. (¿Qué quiere decir esto?)
b) ¿Cuánto aumenta el consumo si el ingreso disponible aumenta un una unidad?
R: En esta ecuación, nuestra pendiente corresponde a la propensión marginal a consumir,
que corresponde a 0.6, y considerando las unidades que manejamos, esto se interpreta
como: Al aumentar mil pesos de mi ingreso disponible, aumentaré, en promedio, 600
pesos de consumo.
c) Interprete el intercepto
R: El intercepto corresponde al consumo autónomo, que al igual que otras funciones que
hemos visto hasta ahora, representaría el consumo promedio que obtendría alguien no
posee ingreso disponible.
d) Comente. Si cambiamos la unidad de medida del ingreso disponible a simplemente pesos
unitarios, nuestros estimadores no variaran, dado que el significado se mantiene.
Falso. Para responder, es posible (y necesario) demostrarlo mediante la fórmula del
estimador, y las propiedades de la varianza/covarianza.
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Sabemos que:
i. 𝛽
1
𝐶𝑜𝑣(𝐶,𝑌
𝑑
)
𝑉𝑎𝑟(𝑌
𝑑
)
1
𝐶𝑜𝑣(𝐶,
1
1000
∗𝑌
𝑑
)
𝑉𝑎𝑟(
1
1000
∗𝑌
𝑑
)
ii. 1 𝑌 ∗= $1 1Y=
Le cambiamos el signo a nuestro estimador para diferenciarlo del original. Por propiedades
de varianza, sabemos que la constante sale elevada al cuadrado. (Repasar en caso de tener
dudas)
iii.
1
1000
∗𝐶𝑜𝑣(𝐶,𝑌
𝑑
)
1
( 1000 )
2
𝑉𝑎𝑟(𝑌
𝑑
)
𝐶𝑜𝑣(𝐶,𝑌
𝑑
)
𝑉𝑎𝑟(𝑌
𝑑
)
1
1
iv. En conclusión, si bien el significado económico no se ve alterado, ya
que sólo es una amplificación, el valor de nuestro estimador si
cambia.
Caso 2
Se quiere estimar el siguiente modelo: 𝑆𝑐𝑜𝑟𝑒 𝑖
1
𝑖
𝑖
, donde Score es el puntaje PSU y
Hrs es la cantidad de horas que se estudian a la semana para la prueba.
a) Obtenga el estimador de 𝛽
1
¿Se cumple que necesariamente que
𝑖
𝑛
𝑖= 1
R: Despejamos 𝑢
𝑖
y aplicamos sumatorio tal como en un modelo estándar para
luego elevar al cuadrado toda la ecuación (¿Por qué? )
i. ∑ 𝑢
𝑖
2 𝑛
𝑖= 1
𝑖
1
𝑖
𝑛 2
𝑖= 1
Luego, para encontrar un óptimo, derivamos el lado izquierdo por el estimador
que queremos obtener.
ii.
𝜕
∑ 𝑢
𝑖
̂
2 𝑛
𝑖= 1
𝜕𝛽
1
̂
𝑖
𝑖
1
𝑖
𝑛
𝑖= 1
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Y también sabemos que podemos escribir el 𝑅
2
como
𝑆𝐶𝐸
𝑆𝐶𝑇
, y esto puede ser escrito como
1
2
∑ 𝑋
𝑖
100 2
𝑛= 1
∑ 𝑌
𝑖
2 100
𝑛= 1
que es lo mismo que escribir→ 𝑅
2
1
2
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑉𝑎𝑟(𝑌)
2
1
2
100
2
200
2
Reemplazando y resolviendo, tenemos que:
1
2
1
2
1
Ya que sabemos que 𝛽
1
es 1 pero desconocemos su signo, podemos volver a su fórmula
inicial:
1
𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
→ La varianza de X siempre es positivo, y el signo de nuestra
covarianza, lo podemos saber por el signo de la correlación de Pearson, ya que
siempre que las desviaciones estándares sean positivas, estos estadísticos tienen el
mismo signo. Por lo tanto 𝛽
1
1
