¡Descarga Determinantes: Definición, Cálculo y Propiedades y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
UNIDAD 2
DETERMINANTES
DEFINICIÓN:
El determinante es una función que asocia a una matriz cuadrada A, un número
llamado determinante de A , se simboliza con
| A | , o det A .
Se dice que el determinante es de orden n si la matriz A es de nxn.
Cálculo de determinantes.
a) Si A es de 2x2,
A =
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
, entonces
| A |= a 11
a 22
− a 21
a 12
b) Si A es de 3x3:
Regla de Sarrus
Se agregan las dos primeras filas conservando su orden. Luego se suman
los tres productos indicados de izquierda a derecha y se restan los tres
productos indicados de derecha a izquierda.
| A |=|
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
también se pueden agregar hacia la derecha las dos
primeras columnas.
c) Si A es de nxn
Menor:
Sea A de nxn, se llama menor
ij
A
de A, a la matriz obtenida de A al suprimir el
renglón i y la columna j.
Cofactor:
Sea A de nxn,
ij
a un elemento de A, se llama cofactor
ij
a al número
( 1) det
i j
ij
A
, siendo
ij
A
el menor correspondiente. Simbolizamos con
C
ij (^).
Definición: Se denomina determinante de orden n asociado a una matriz A de
nxn al valor calculado mediante la función
det A =
{
a 11
si n = 1
∑
k = 1
n
a i 1 k
C ik
si n > 1
Donde
C
ik (^) es el cofactor de
a
ik
Regla de Laplace
El determinante de una matriz de orden nxn se puede calcular sumando los
productos obtenidos entre los elementos de una fila o columna por sus
respectivos cofactores.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. Si A tiene una fila de ceros, entonces
det A = 0
Desarrollando
det A
por la fila de ceros y se obtiene
det A = 0
2. Si B se obtiene al multiplicar una fila de A por
m , entonces
det B = m det A
Supongamos que multiplicamos la fila i de A por k, desarrollemos
det A
y
det B
por la fila i:
det A =∑
j = 1
n
a ij
C
ij
det B =∑
j = 1
n
ma ij
C
ij
= m (^) ∑
j = 1
n
a ij
C
ij
= m det A
Corolario
| kA |= k
n det A , siendo A de nxn.
3. Sea A de nxn, si se intercambian dos filas ( o columnas), el determinante
de la matriz obtenida al intercambiar las filas, cambia de signo.
Consideremos primero el caso de intercambiar dos renglones consecutivos,
obteniéndose así la matriz B.
A =
[
a 11
a 12
.... a 1 n
a 21
a 22
.... a 2 n
a k 1
a k 2
.... a kn
a k +1,
a n 1
a k +1,
a n 2
a k + 1 , n
ann
]
B =
[
a
11
a
12
.. .. a
1 n
a
21
a
22
.. .. a
2 n
a
k +1,
a
k +1,
.. .. a
k + 1 ,n
a
k 1
a
n 1
a
k 2
a
n 2
a
kn
ann
]
Si desarrollamos det A por la fila k y det B por la fila k+1, que es igual a la fila k
de A, los menores son los mismos y por tanto sus determinantes, sin embargo
el signo del cofactor cambiará en una unidad ( por el orden de la fila), por lo
que si la suma es par para det A, la suma será impar para det B, si cada
sumando cambia de signo en el desarrollo de det B, se tiene que
| B |=−| A |
Si intercambiamos dos filas cualesquiera, hagamos el intercambio de dos filas
consecutivas n veces hasta conseguir el intercambio que queremos, por
ejemplo, si queremos cambiar las filas i y j, cambiamos la fila i por las filas i+1,
i+2, i+3, …, hasta llegar a la fila j, con ello hicimos (j-i) cambios, luego
cambiamos las fila j por j-1,j-2, etc hasta llegar a la fila i, con lo cual hicimos
(j-i-1) cambios. En total hicimos (2j-2i-1) cambios, es decir un número impar de
cambios, con lo que se tiene
| B |=−| A | .
Corolario
6. El determinante del producto de dos matrices A y B de nxn, es el
producto de los determinantes:
det( AB )=det A. det B
( sin
demostración).
7. Si A es de nxn,
det A =det A
t
Si desarrollamos
det A
por la primera fila y det^ A
t
por la primera columna,
se demuestra fácilmente el enunciado.
Consideremos la matriz A de 3x
A =
[
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
]
A
t
[
a 11
a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
]
det A =(− 1 )
2
a
22
a
23
a
32
a
33
3
a
21
a
23
a
31
a
33
4
a
21
a
22
a
31
a
32
det A
t
2
a
22
a
32
a
23
a
33
3
a
21
a
31
a
23
a
33
4
a
21
a
31
a
22
a
32
8. El determinante de la matriz identidad es igual a 1.
I =
[
]
Desarrollando por cualquier fila tendremos que
det I = 1 + 0 + 0. ..+ 0 = 1
Corolario:
Si A es una matriz diagonal de nxn,
11 22
det .... nn
A a a a
La matriz diagonal A se puede obtener de la matriz identidad, multiplicando
sucesivamente los renglones de I por
11 22;
nn
a a a , con lo que
11 22 11 22
det .... det ... nn nn
A a a a I a a a
9. Si A es una matriz triangular superior o inferior, entonces su det es el
producto de los elementos de la diagonal.
Demostración:
Demostraremos para el caso en que A es una matriz triangular superior.
- Si A no tiene ceros en la diagonal principal: podemos utilizar estos
elementos para convertir la matriz A en una matriz diagonal, que tendrá
los mismos elementos en la diagonal principal, entonces:
11 22
nn
detA a a a .
- Si la matriz A tiene un cero en la diagonal principal:,si
nn
a , A tendría
una fila de ceros, con lo que
det A 0 y el teorema se verifica.
- Si algún otro elemento de la diagonal es cero, por ejemplo
ii
a ,
podemos usar los
jj
a j k para hacer ceros los
i i , 1
a , con lo que
tendremos un renglón de ceros y por tanto
det A 0 y el teorema se
verifica.
Lema
Si A es de nxn
a) Existe A
− 1
ssi
| A |≠ 0
Demostración:
− 1
, A es invertible y se tiene que AA
− 1 = A
− 1 A = I
Como
AA
− 1
= I. det ( AA
− 1
)=det I
, pero
det( AA
− 1
)=det A. det A
− 1
y
det I = 1
, luego det^ A^.^ det^ A
− 1
= 1 con lo que necesariamente los dos factores son no
nulos, luego
det A ≠ 0
- Parte 2) si det^ A ≠^0 , la forma escalonada reducida de A es la matriz
identidad puesto que al escalonar no tendremos ningún cero en la
diagonal, ya que de no ser así el det A sería 0, por tanto A es invertible.
b) Si A es invertible entonces
| A
|=| A |
Sea A invertible, entonces det^ A^.^ det^ A
− 1
= 1 , de donde
det A
− 1
det A
=( det A )
− 1
c) Si h es un número real
| A
h
|=| A |
h
det A
h
=det ( A. A. A. ... A )=det A .det A. ... det A =( det A )
h
RESUMEN DE LOS EFECTOS SOBRE EL DET CUANDO SE APLICAN
OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE SUS FILAS
a) Si se permutan dos filas ( o columnas) el det cambia de signo.
b) Si una fila ( o columna) se multiplica por k, el det queda multiplicado por
k.
c) Si a una fila ( o columna) se le suma el múltiplo escalar de otra fila ( o
columna) el det no varía.
USOS DE LOS DETERMINANTES
- Matriz adjunta: se llama matriz adjunta de A, adj(A) a la transpuesta de la
matriz cofactor de A
Sea el sistema AX^ = B^ , si
det A 0 , A es invertible, entonces
A
− 1 AX = A
− 1 B (^) , por tanto El sistema tiene solución única y está dada por
X = A
− 1 B
- Si el sistema es homogéneo, X^ = A
− 1
B = A
− 1
0 = 0 y el sistema tiene sólo la
solución trivial.
REGLA DE CRAMER:
Sea el sistema AX = B, con n ecuaciones y n incógnitas, si
det A 0 , A es
invertible y hay solución única para el sistema:
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2
n
n
m m mn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
Siendo
det
det
i
i
A
x
A
, donde
i
A
es la matriz obtenida de A al reemplazar la
columna i por la matriz B.
RESUMEN Y RELACIÓN DE LOS PRINCIPALES CONCEPTOS
Dada una matriz A de nxn son equivalentes las siguientes proposiciones:
a)
det A ≠ 0
b) Existe la inversa de A
c) La forma escalonada de A tiene n pivotes.
d) La forma escalonada reducida de A es I.
e) El sistema lineal homogéneo AX = 0 es compatible determinado.
f) El sistema AX = B es compatible determinado.
g) El rango de la matriz A es n.
h) Los n vectores fila de A son L.I.
