¡Descarga Ejercicios sobre cálculo de números complejos y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Ejercicios
4.1 Calcular los siguientes números complejos y expresar el resultado en forma
binómica simplificando al máximo:
𝑧 1 𝑧 2 ,^
𝑧 2 𝑧 1
- 𝑧 1 𝑧 2
- 𝑧 3 1
- 𝑧 1 𝑧¯ 1
- ( 𝑧¯ 2 )^2
donde 𝑧 1 = 3 − 2 𝑖 y 𝑧 2 = −
√ 3 2 +^
1 2 𝑖
√ 3 2
3 2 𝑖
− 3
√ 3 2
2
13
3
√ 3 26
3 26
√ 3 13
3
√ 3 2
3 2 +
1 2 +
√ 3 2 𝑖
4.2 Sabiendo que 𝑖^2 = − 1 , 𝑖^3 = −𝑖 e 𝑖^4 = 1 , simplificar las siguientes potencias de
𝑖 :
1. 𝑖^5
2. 𝑖^15
27
- 𝑖^118
- 𝑖 307
4.3 Resolver las siguientes ecuaciones para los números reales 𝑥 e 𝑦 :
2 − 2 (𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥 + 𝑖𝑦
1 +𝑖 1 −𝑖
1 𝑥+𝑖𝑦 =^1 +^ 𝑖
- ( 3 − 2 𝑖)(𝑥 + 𝑖𝑦) = 2 (𝑥 − 2 𝑖𝑦) + 2 𝑖 − 1
3
5
5
- 𝑥 = −1, 𝑦 = 0
4.4 Escribir en forma polar los siguientes números complejos:
− 3 )^2
1 +𝑖
√ 7 1 −𝑖
√ 7
- ( 2 + 3 𝑖)( 1 − 2 𝑖)
- 1 −𝑖 1 +𝑖
2 𝜋 (^3) 𝑖
𝑒
- 419 𝑖
65 𝑒−^0.^124 𝑖
− 𝜋 2 𝑖
- 6𝑒 𝜋𝑖
4.5 Escribir en forma binómica los siguientes números complejos:
1. 𝑒𝑖^
𝜋 3
- 𝑒 2 +𝑖 𝜋
- 𝑒 𝜋+𝑖
- 𝑒^3 −𝑖^
5 𝜋 4
2
√ 3 2
2. −𝑒^2
𝜋 cos( 1 ) + 𝑒 𝜋 sin( 1 )𝑖
- − √𝑒^3 2
𝑒 √^3 2
4.6 Calcular las siguientes raíces:
- Las raíces séptimas de 𝑧 = 3
- Las raíces quintas de 𝑧 = 1 + 𝑖
- Las raíces cúbicas de 𝑧 = 1 1 +𝑖
- 𝑤 0 = 1 .1699, 𝑤 1 = 0. 7294 + 0. 9147 𝑖, 𝑤 2 = 0. 7294 − 0. 9147 𝑖, 𝑤 3 = − 0. 2603 +
- 1406 𝑖, 𝑤 4 = − 0. 2603 − 1. 1406 𝑖, 𝑤 5 = − 1. 0541 + 0. 5076 𝑖, 𝑤 6 = − 1. 0541 −
- 5076 𝑖
- 𝑤 0 = 1. 0586 + 0. 1677 𝑖, 𝑤 1 = 0. 1677 + 1. 0586 𝑖, 𝑤 2 = − 0. 9549 + 0. 4866 𝑖, 𝑤 3 = − 0. 7579 − 0. 7579 𝑖, 𝑤 4 = 0. 4866 − 0. 9549 𝑖
- 𝑤 0 = 0. 8605 − 0. 2306 𝑖, 𝑤 1 = − 0. 2306 + 0. 8605 𝑖, 𝑤 2 = − 0. 6299 − 0. 6299 𝑖
4.7 Hacer uso de la fórmula de Euler para demostrar las siguientes identidades
en C :
cos(𝑧) =
𝑖𝑧
, sin(𝑧) =
𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧
4.8 Hallar los números reales 𝑎 y 𝑏 , tales que el número complejo 𝑧 = 2 𝑎+𝑖 3 𝑏 3 + 4 𝑖 sea
real y su módulo sea la unidad.
