¡Descarga Ejercicios Cinematica y más Ejercicios en PDF de Ingeniería Industrial solo en Docsity!
Mec´anica de Fluidos - 2007
Problemas resueltos
Cinem´atica
- Se tiene el siguiente campo de velocidades:
vx =
x x^2 + y^2
, vy =
y x^2 + y^2
, vz = 0
a) Encuentre las l´ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ıneas de humo. b) Encuentre una expresi´on para el campo Lagrangiano de velocidades (tome como referencia el tiempo t = 0).
Si a t = 0 se tiene una mancha contaminante de la forma:
C(x, y, z) = C 0 e−^
x^2 +y^2 σ^2
y se sabe que el contaminante es un is´otopo radiactivo que decae seg´un la ley: C = Cie−t/λ,
c) ¿Cu´al ser´a la concentraci´on de contaminante que medir´ıa un sensor ubi- cado en el punto (σ, 0 , 0) a tiempo t = 0? d ) Encuentre la tasa de cambio de la concentraci´on que medir´ıa el mismo sensor, en el mismo punto, en el mismo intante t = 0.
Respuesta:
a) Como se trata de un campo estacionario, las l´ıneas de corriente, las tra- yectorias y las l´ıneas de humo ser´an coincidentes. La velocidad en todo punto es paralela al vector posici´on (proyectado sobre el plano x − y), de manera que toda part´ıcula del fluido se mueve siempre alej´andose del eje z, describiendo rectas radiales. Para obtener una expresi´on formal de la ecuaci´on de estas l´ıneas se puede partir de la ecuaci´on de las l´ıneas de corriente:
dx ds
= vx =
x x^2 + y^2
dy ds
= vy =
y x^2 + y^2
dz ds
= vz = 0
eliminando el par´ametro s e integrando desde un punto en particular (x 0 , y 0 , z 0 ) se tiene:
dy dx
y x
∫ (^) y
y 0
dy y
∫ (^) x
x 0
dx x
, log
y y 0
= log
x x 0
y y 0
x x 0
, z = z 0
b) Sabemos que el campo Lagrangiano de velocidades (V ) evaluado en (x, t) debe ser igual al campo Euleriano (v) evaluado en (Φ(x, t), t), donde Φ(x, t) es la posici´on, a tiempo t, de la part´ıcula que en cierto tiempo
de referencia estaba en la posici´on x. Adem´as, el campo Lagrangiano de velocidades se puede obtener de la funci´on Φ(x, t), tomando su derivada parcial respecto del tiempo:
V (x, t) = v(Φ(x, t), t) =
∂Φ(x, t) ∂t para nuestro caso particular, todas las l´ıneas son radiales y equivalen- tes, en el sentido en que la velocidad cambia s´olo con el radio, podemos simplificar el c´alculo restringi´endonos al eje x:
∂Φ(x, t) ∂t
= V (x, t) = v(Φ(x, t), t) =
de donde, considerando que al tiempo de referencia t = 0, la part´ıcula se encuentra en Φ 0 = Φ(x, 0) = x: ∫ (^) Φ
Φ 0
wdw =
∫ (^) t
0
dt ⇒ Φ^2 − Φ^20 = 2t
Φ(x, t) =
x^2 + 2t
derivando: V (x, t) =
x^2 + 2t Si quisi´eramos generalizar este resultado -obtenido para una part´ıcula en el eje x- a todo el espacio, “x” debe ser interpretado como el radio, y “V ” como la velocidad radial:
Vx =
x √ x^2 + y^2
x^2 + y^2 + 2t
, Vy =
y √ x^2 + y^2
x^2 + y^2 + 2t
, Vz = 0
c) Sustituendo en la expresi´on de C(x, y, z), a t = 0:
C(σ, 0 , 0) = C 0 e−σ
(^2) /σ 2
C 0
e
d ) La ley de decaimiento radiactivo es v´alida para cada punto material, de manera que derivando la expresi´on C = Cie−t/λ^ se obtiene la derivada material de la concentraci´on del contaminante. La tasa de variaci´on medi- da por el sensor fijo al espacio representa la derivada parcial con respecto al tiempo del campo Euleriano de concentraciones. Usando la expresi´on de la derivada material: DC Dt
= v · ∇C +
∂C
∂t se conocen la derivada material, el campo de velocidades, y el gradiente del campo euleriano en el instante t = 0. Despejando ∂C∂t :
∂C ∂t
DC
Dt
− v · ∇C =
−Ci λ
e−t/λ^ −
σ
∂C
∂x
Calcule las trayectorias. Respuesta: Si Φ(x, t) es la trayectoria seguida por una part´ıcula fluida que en un cierto tiempo de referencia estaba en x, el campo de velocidades Euleriano dato se puede expresar como:
v(Φ(x, t), t) = V (x, t) =
∂Φ(x, t) ∂t
donde V (x, t) es el campo Lagrangiano de velocidades. Escribiendo en compo- nentes: (^) ( Φ˙x, Φ˙y, Φ˙z
)
x 1 + t
2Φy 1 + t
3Φz 1 + t
)
Dado que la ecuaci´on diferencial: dudt = (^) 1+aut tiene como soluci´on a: u = u 0 (1+t)a, entonces:
Φx = A(1 + t) Φy = B(1 + t)^2 Φz = C(1 + t)^3
Aplicando la condici´on inicial: Φ(x, 0) = x resulta la expresi´on final para las trayectorias, donde t es el par´ametro y (x, y, z) la posici´on inicial de la part´ıcula: (^)
Φx = x(1 + t) Φy = y(1 + t)^2 Φz = z(1 + t)^3
- En las proximidades de un punto de remanso (o punto de estancamiento) bidimensional, la velocidad est´a dada por:
u = U 0
x L
, v = −U 0
y L
, w = 0
a) Calcular el vector aceleraci´on y verificar que es puramente radial. b) Hallar las l´ıneas de corriente, las trayectorias y las l´ıneas de humo, dibu- jarlas esquem´aticamente. c) En particular dibuje la trayectoria de la part´ıcula que a t = 0 estaba en el punto (0, 2 L, 0), la l´ınea de corriente que, a tiempo L/U 0 , pasa por el punto (2L, L, 0) y la l´ınea de humo del punto (2L, 0 , 0), en en instante t = L/U 0.
Respuesta:
a) Para calcular la aceleraci´on a partir del campo euleriano de velocidades, se calcula la derivada material de la velocidad:
D~v Dt
∂~v ∂t
ax =
∂u ∂t
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
= 0 + u
U 0
L
ay =
∂v ∂t
∂v ∂x
∂v ∂y
∂v ∂z
= 0 + 0 + v
( −
U 0
L
)
az =
∂w ∂t
∂w ∂x
∂w ∂y
∂w ∂z
ax =
U 02
L^2
x, ay =
U 02
L^2
y, az = 0
Siendo la aceleraci´on un m´ultiplo
( (^) U 2 0 L^2
) del vector posici´on.
b) Como se trata de un campo estacionario, las l´ıneas de corriente, las tra- yectorias, y las l´ıneas de humo ser´an coincidentes. Calculemos las l´ıneas de corriente:
dx u
dy v
L dx U 0 x
L dy U 0 y
, ln x = − ln y + c, x =
k y
Entonces las l´ıneas de corriente tienen la for- ma: y = kx , como se indica en la figura.
c) La trayectoria de la part´ıcula que a t = 0 estaba en el punto (0, 2 L, 0) es la semirrecta: (x = 0, y > 0). La l´ınea de corriente que, a tiempo L/U 0 , pasa por el punto (2L, L, 0) es la curva: (y = 2 L
2 x ). Y la l´ınea de humo del punto (2L, 0 , 0), en en instante t = L/U 0 es la semirrecta (x > 0 , y = 0)
Como se ve, despreciar el peso del aire conduce a un error menor al 0,03 %.
b) Siguiendo con la aproximaci´on de gas ideal y considerando que la tempe- ratura no cambiar´a, el producto P V se mantiene:
Pf =
PiVi Vf
kgf cm^2
A 1 , 97 m A (l − 0 , 03 m)
96530 P a m l − 0 , 03 m
donde l es la longitud indicada en la figura, en el estado de equilibrio. Adem´as sabemos que en equilibrio, la diferencia de presiones entre las caras del pist´on es igual a su peso:
Ph − Pf =
500 kgf 0 , 1 m^2
= 49000P a (2)
y que las presiones en la cara inferior del pist´on y en la cara superior del cilindro pueden calcularse como:
Ph = Patm + ρgh (3) Pf = Patm + ρg(h − l) (4)
y finalmente que en la condici´on de equilibrio:
h = 2l (5)
Estamos en condiciones de calcular, usando las ecuaciones 1 a 5, las 5 inc´ognitas: l, Pf , Ph, ρ y h. Reemplazando (3) en (2) eliminamos Ph:
Patm + ρgh − Pf = 49000P a (6)
Despejando ρg de (4), reemplazando en (6) y operando se llega a:
Pf − Patm =
h − l l
49000 P a (7)
reemplazando h por lo indicado en (5):
Pf = Patm + 49000P a = 147000P a = 1, 5
kgf cm^2
c) De la ecuaci´on (1) se puede despejar l:
l = 0, 03 m +
96530 P a m 147000 P a
= 0, 687 m
de (6) y (5):
ρ =
49000 P a + Pf − Patm g 2 l
(^98000) skg m (^2) m 2 9 , 8 ms 2 2 0, 687 m
kg m^3
O sea, un peso espec´ıfico de ∼ 7 ,3.
d ) Dado que el ´unico grado de libertad es la posici´on vertical del cilindro, analizaremos la estabilidad ante una perturbaci´on en la posici´on de equi- librio: h − l. Si se sumerge el sistema un poco m´as all´a de la posici´on de equilibrio, la presi´on en su interior aumentar´a, y, aplicando la ecuaci´on de estado del gas en su interior, su volumen decrecer´a. Este menor volumen har´a que el empuje ejercido por el fluido sobre el sistema cilindro-pist´on se haga menor, y el sistema tender´a a bajar a´un m´as por efecto del peso que no cambi´o. Por lo tanto el equilibrio del sistema es inestable. (Tambi´en se puede plantear la hip´otesis opuesta: una menor profundidad conduce a menor presi´on en el interior del cilindro, que conduce a mayor volumen y por lo tanto mayor empuje que supera al peso del sistema y tiende a hacer flotar a´un m´as al dispositivo)
- Un man´ometro de tres fluidos como el que se muestra en la figura se utiliza para medir diferencias de presi´on (P 1 − P 2 ) muy peque˜nas. Sabiendo que se utiliza la misma cantidad de l´ıquido en ambos reservorios obtenga:
a) La ecuaci´on que relaciona la diferencia de al- tura h medida en las ramas con la diferencia de presi´on P 1 − P 2 como funci´on de las den- sidades de los fluidos utilizados (ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 ) y las ´areas de los reservorios y las ramas (A y a respectivamente).
b) ¿C´omo elegir´ıa estos par´ametros para au- mentar la sensibilidad del instrumento?
P
ρ
ρ ρ
P P
b
x
c
h
d
a
A
1 2
f
3
1 2
Respuesta:
a) Dadas las distancias b, c, d marcadas en la figura, la presi´on Pf se puede calcular de dos maneras, integrando ρg en cada una de las ramas:
Pf = P 1 +ρ 1 g(b+x)+ρ 2 g(c+h)+ρ 3 gd = P 2 +ρ 1 gb+ρ 2 g(x+c)+ρ 3 g(h+d)
Simplificando, se eliminan b, c, d:
P 1 − P 2 = (ρ 2 − ρ 1 ) gx + (ρ 3 − ρ 2 ) gh
Usando adem´as que, por continuidad: Ax = ah se obtiene:
P 1 − P 2 =
[ (ρ 2 − ρ 1 )
a A
] gh
por las presiones, o podemos recurrir a la f´ormula para calcular el “centro de presiones”: x′ cp = ρg^ sin Ap^ cgθI xx, donde θ es el ´angulo de inclinaci´on, en este caso π
- A es el ´area de la superficie, en nuestro caso^ h^ (suponiendo profundidad unitaria). pcg es la presi´on en el centro geom´etrico de la superficie, en este caso
pcg = patm + ρg h 2. El momento de inercia de un segmento es
∫ h 2 − h 2 x
(^2) dx = h^3
Resultando:
x′ cp =
ρg h 3 12 h
( patm + ρg h 2
)
El brazo de palanca de Fh ser´a h 2 − x′ cp. Las magnitudes de Fh y Fv se calculan como el producto de la presi´on en los centros geom´etricos de las superficies respectivas por sus ´areas:
Fv = (patm + ρgh) H, Fh =
( patm + ρg
h 2
) h
S´olo resta tener en cuenta las fuerzas de presi´on en el exterior de la compuerta, que estar´a dada por la presi´on atmosf´erica (aproximadamente constante):
∑ M = Fv
H
− Fh
( h 2
− x′ cp
)
h 2
− patmH
H
Reemplazando y operando:
... h =
3 H
Observaci´on: N´otese que si bien algunos valores intermedios (por ejemplo la ubicaci´on del centro de presiones) dependen de la presi´on atmosf´erica, el resul- tado final no. Esto es porque sumar una constante a la presi´on -a ambos lados de la compuerta- no altera el equilibrio de fuerzas. Teniendo esto en cuenta se podr´ıa haber considerado patm = 0 para simplificar los c´alculos.
Ecuaciones diferenciales
- Dos fluidos inmiscibles e incompresibles de propiedades ρ 1 , μ 1 y ρ 2 , μ 2 respec- tivamente, circulan debido a un gradiente de presi´on dpdz en un estrecho canal horizontal de ancho B (en la direcci´on y) como se indica en la figura. Los caudales de cada fluido se ajustan de forma tal que B 1 = B 2 = B/2.
Q
Q
z
y
B
B2 μ
μ
B
Suponiendo flujo laminar completamente desarrollado calcular:
a) La distribuci´on de velocidades Vz (y) en ese sistema y esquematice. b) Determine la relaci´on precisa entre el gradiente de presi´on y caudal total.
Respuesta:
a) Dada la simetr´ıa del problema, proponemos un perfil de velocidades dado por: −→ V = (0, 0 , Vz ) (8)
adem´as, teniendo en cuenta que buscamos la soluci´on estacionaria, todas las derivadas parciales con respecto al tiempo ser´an cero. Plantendo la conservaci´on de masa para un fluido incompresible obtenemos:
V =
∂Vx ∂x
∂Vy ∂y
∂Vz ∂z
∂Vz ∂z
De aqu´ı obtenemos que Vz ser´a s´olo funci´on de la coordenada y. Planteamos ahora la ecuaci´on de conservaci´on de momento en la direcci´on z (Ecuaci´on de Navier-Stokes para fluido Newtoniano incompresible):
ρ
dVz dt
∂P
∂z
= fz + μ
( ∂^2 Vz ∂x^2
∂^2 Vz ∂y^2
∂^2 Vz ∂z^2
) (10)
donde fz son las fuerzas por unidad de volumen en la direcci´on z, que en este caso son nulas. Utilizando el perfil de velocidades 8 y teniendo en cuenta lo dicho hasta ahora, la ecuaci´on 10 se reduce a
∂P ∂z
= μ
∂^2 Vz ∂y^2
debido a que la viscosidad toma valores diferentes para cada fluido, divi- dimos la regi´on en dos partes de forma tal que
De esta manera reemplazando en las ecuaciones 14 los valores de las constantes obtenemos para el perfil de velocidades:
Vz (y) =
D 2
( y^2 − β β−+1^1 B 2 y − (^) ββ+1^ B
2 2
) −B 2 ≤ y ≤ 0
βD 2
( y^2 − β β−+1^1 B 2 y − (^) β+1^1 B
2 2
) 0 ≤ y ≤ B 2
O, en variables originales:
Vz (y) =
1 2 μ 1
∂p ∂z
( y^2 − μ μ^11 −+μμ^22 B 2 y − (^) μ 1 μ+^1 μ 2 B
2 2
) −B 2 ≤ y ≤ 0
1 2 μ 2
∂p ∂z
( y^2 − μ μ^12 −+μμ^21 B 2 y − (^) μ 1 μ+^2 μ 2 B 2 2
) 0 ≤ y ≤ B 2
En la siguiente figura se muestra esquem´aticamente el perfil de velocida- des para el caso μ 2 < μ 1
z
y B
μ 2 < μ 1
En cada secci´on el perfil es parab´olico y en la interface las pendientes guardan una relaci´on igual a β.
b) Para calcular el caudal total debemos integrar el campo de velocidades entre las placas:
HD 2
[∫ 0 − B 2
( y^2 −
β − 1 β + 1
B
y −
β β + 1
B^2
) dy+
β
∫ B 2
0
( y^2 −
β − 1 β + 1
B
y −
β + 1
B^2
) dy
] (20)
Donde H representa el ancho del canal en la direcci´on x. Realizando la integral obtenemos para la expresi´on del caudal:
Q = −
HDB^3
( −
β + 1 4
(β − 1)^2 β + 1
3 β β + 1
) (21)
O, en variables originales:
Q = −
HB^3
∂p ∂z
( 1 8
μ 1 + μ 2 μ 1 μ 2
μ 1 + μ 2
) (22)
donde quda expll´ıcita la “simetr´ıa” entre μ 1 y μ 2. N´otese que si las visco- sidades de los dos fluidos son iguales (β = 1) el caudal se reduce al caudal para un solo fluido entre dos placas:
Q = −
HB^3
μ
∂P
∂z
Adem´as, si, por ejemplo μ 1 tiende a un valor muy grande, el primer t´ermino del par´entesis tiende a (^8) μ^12 , mientras que el segundo t´ermino se hace despreciable. El caudal resultante tiende al que se obtendr´ıa con el fluido de viscosidad menor, circulando en un canal de la mitad de tama˜no.
c) Por el resultado del item a, la presi´on sobre corte vertical en la garganta deber´ıa mostrar un m´aximo de la presi´on en el punto medio, y m´ınimos en los puntos 1 y 3. Por el resultado de b, un corte horizontal por el centro de la garganta deber´ıa mostrar un m´ınimo de presiones en el punto central (considerando que la velocidad es m´axima, y aplicando Bernoulli). Por lo tanto, el punto central es un punto de ensilladura de la funci´on presi´on. En la figura se muestran las l´ıneas de nivel del m´odulo de velocidad, obtenidas median- te la resoluci´on num´erica del flujo en la geo- metr´ıa dada. Estas l´ıneas de m´odulo de velo- cidad constante se corresponden (aplicando la ecuaci´on de Bernoulli) con l´ıneas de pre- si´on constante. N´otese sin embargo que el es- paciamiento de las l´ıneas se corresponde con diferencias del m´odulo de la velocidad y no diferencias de presi´on.
d ) Para calcular la distribuci´on de presiones en la l´ınea central se puede integrar la ecuaci´on de arriba, teniendo en cuenta la variaci´on del radio de curvatura de las l´ıneas de corriente. Tomando el origen de coordenadas en el punto central, y llamando x a la coordenada vertical, la curvatura puede expresarse como: (^) R^1 = − (^) abx , y utilizando la ecuaci´on de Bernoulli: p 0 = p + 12 ρv^2 , la ecuaci´on en la direcci´on transversal al flujo queda:
∂p ∂n
∂p ∂x
= ρ
−x ab
v^2 = −ρ
x ab
2(p 0 − p) ρ
∂(p 0 − p) ∂x
2(p 0 − p) ab
x ∫ (^) p
p 1
d(p 0 − p) p 0 − p
ab
∫ (^) x
−b
x dx
ln(p 0 − p)|pp 1 =
ab
( x^2 − b^2
) ,
p 0 − p p 0 − p 1
= e
x^2 −b^2 ab
Evaluando en x = 0: p p^00 −−pp^21 = e−^ ab
e) Una vez calculada la presi´on, la velocidad se deduce de la ecuaci´on de Bernoulli: v =
√ (^2) ρ (p^0 −^ p).
Vol´umenes de control
- Un jet de un l´ıquido de densidad ρ, caudal volum´etrico Q y velocidad V incide sobre una placa de largo L y masa M que esta sostenida en uno de sus extremos por un pivote que le permite rotar libremente como lo muestra la figura. Si el jet se ubica una distancia H por debajo del pivote calcular:
Pivote
ρ V Q
θ^ H
L
a) El ´angulo θ que formar´a la placa con la horizontal en el estado esta- cionario en funci´on de estos par´ametros. Considerar los efectos viscosos despreciables. b) ¿C´omo cambia este resultado si se tiene en cuenta el efecto de la viscosidad del fluido?
Respuesta:
a) Si realizamos conservaci´on de momento angular respecto del pivote ve- mos que los dos jet de salida no poseen momento angular debido a que poseen una direcci´on radial respecto del pivote. De esta manera el mo- mento entrante del jet deber´a ser compensado por el torque ejercido por la gravedad sobre la placa resultando:
QρV · H =
M g · L cos(θ) 2 De aqu´ı obtenemos finalmente
θ = arc cos
( 2 ρQV H M gL
)
b) En el an´alisis anterior s´olo fue necesario hacer suposiciones sobre la vis- cosidad del fluido, s´olo es necesario que se cumpla la aproximaci´on de que los jet de salida son radiales respecto del pivote. De esta manera, el resul- tado anterior no depende de la viscosidad del l´ıquido (ni de la rugosidad de la placa por ejemplo)mientras esta condici´on se siga cumpliendo.
- El esquema muestra un dispositivo que posee dos paletas con una curvatura suave que termina con un ´angulo β. Las paletas est´an montadas sobre una cinta que se mueve a velocidad constante U. Adem´as, las paletas reciben un chorro de agua proveniente de una tobera fija a una velocidad V.
Teniendo en cuenta que estamos considerando el caso estacionario (d/dt =
- y dividiendo la superficie de control en dos partes obtenemos: ∫
S 1
ρ (V − U ) ds =
∫
S 2
ρ
V 2 · −→n ds = ρ (V − U ) A 1 = ˙min (23)
donde A 1 es un ´area equivalente de entrada del jet proveniente de la tobera y m˙in representa el caudal m´asico de entrada. Planteamos la conservaci´on de momento en el VC : d
K
dt
F −
∫
∂Ω
ρ
V
V · −→n
) dΓ
Porcediendo de la misma manera que en el caso de la conservaci´on de masa y teniendo en cuenta que la normal apunta hacia afuera del VC, esta expresi´on se reduce a: ∑ (^) −→ F = −
∫
S 1
ρ (V − U )^2 ds + ∫
S 2
ρ ((V − U ) cos β xˆ + (V − U ) sin β yˆ)
V 2 · −→n ds (24)
La sumatoria de la izquierda incluye las fuerzas volum´etricas y de super- ficie aplicadas al VC. Teniendo en cuenta que sobre todas sus superficies actua la presi´on atmosf´erica y despreciando tanto los efectos viscosos como los gravitatorios esta sumatoria se reduce a la fuerza que realiza la paleta sobre el fluido (y a su vez la cinta sobre la paleta). De esta forma, reemplazando lo hallado en 23 obtenemos: −→ F (^) paleta = − m˙in (V − U ) ˆx + ˙min ((V − U ) cos β xˆ + (V − U ) sin β yˆ) (25) o bien, reagrupando t´erminos y usando la definici´on de m˙in : −→ F (^) paleta = A 1 ρ (V − U )^2 ((cos β − 1) ˆx + sin β ˆy) (26)
b) El trabajo realizado por la fuerza calculada en 26 por unidad de tiempo sobre la cinta se puede calcular a partir de:
W =
F (^) paleta · U ˆx = A 1 ρ(cos β − 1) (V − U )^2 U (27) Para obtener el valor de U que produce la mayor potencia calculamos la derivada con respecto a U de W e igualamos a cero. De esta manera obtenemos la condici´on para la velocidad:
(V − U )^2 − 2 U (V − U ) = 0 (28)
De aqui podemos ver que V = U es soluci´on de 28, aunque en este caso la potencia calculada por 27 es cero. Eliminando esta soluci´on de la ecuaci´on 28 obtenemos:
(V − U ) − 2 U = 0 i.e. U =
V
Y esta es la soluci´on que buscamos.
- Un flujo en un resalto hidr´aulico puede esquematizarse como se muestra en la figura. Un flujo de altura h 1 y velocidad media V 1 , en un canal, se transforma espont´aneamente en un flujo de altura h 2 y velocidad media V 2. Se considera un canal muy ancho, y tal que no hay variaciones significativas en la direcci´on perpendicular al plano del dibujo. Se ha observado que a una peque˜na distancia del salto la distribuci´on de velocidades es razonablemente uniforme.
a) Mostrar, discutiendo las suposiciones necesarias, que la relaci´on entre h 2 y h 1 cumple: h 2 h 1
√ 1 + 8F r 12
donde F r 1 es el n´umero de Froude del estado 1, F r 1 = √Vg^1 ·h 1 b) Calcular la disipaci´on de energ´ıa mec´anica entre las secciones 1 y 2. c) Pueden existir resaltos hidr´aulicos con h 2 < h 1? ¿Por qu´e?
h 1 V 1
h (^2)
V 2
Respuesta:
a) Planteando conservaci´on de la masa, en un volumen de control como el de la figura, se obtiene que:
V 1 h 1 = V 2 h 2
V 1 h 1
V 2 h 2
Planteando conservaci´on de la cantidad de movimiento en el mismo vo- lumen de control se tiene: ∫
∂V C
ρ~u (~u · ˘n) dS =
∫
V C
f^ ~ +
∫
∂V C
−p ˘n dS
en la direcci´on horizontal queda:
−ρV 12 h 1 b + ρV 22 h 2 b =
∫
1
p dS −
∫
2
p dS
donde b es el ancho del canal (normal al dibujo). Si restamos la presi´on atmosf´erica, la presi´on hidrost´atica en cada pared vertical se puede ex- presar como: p = ρgy, con la coordenada y medida en cada caso desde la superficie:
−ρb
( V 12 h 1 − V 22 h 2
) = b
[∫ h 1 0
ρgy dy −
∫ (^) h 2
0
ρgy dy
]
