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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
La mecánica es la parte de la física donde se estudian las fuerzas y los movimientos que
éstas producen en la materia. La cinemática sólo describe el movimiento en sí, mientras
que en la dinámica se estudia la relación entre el movimiento y las causas que lo
producen.
Posición (x) es el lugar que un móvil (puntual) ocupa en el espacio. El
desplazamiento es la diferencia entre dos posiciones ( Δ x = x 2 - x 1 )
Decimos que un objeto está en movimiento , respecto a otro, cuando cambia su posición
respecto a éste. Tanto el reposo como el movimiento son conceptos relativos, que
dependen tanto del objeto como del cuerpo o sistema empleado como referencia. Por
ejemplo: el árbol está en reposo respecto a la Tierra, en movimiento respecto al Sol.
De lo dicho anteriormente se deduce que, antes de describir un movimiento, hay que
fijar el sistema de referencia.
La trayectoria de un objeto es la sucesión de los puntos por los que va pasando en su
movimiento. Una trayectoria se puede recorrer de diferentes formas (trayectoria
rectilínea con movimiento uniforme, o acelerado, o armónico simple…), y distintas
trayectorias pueden corresponder a movimientos similares (armónico simple en una
dimensión, o circular uniforme…).
Empezaremos estudiando la cinemática de la partícula cuyo objetivo es saber dónde se
encuentra la partícula, con qué velocidad y aceleración en cada momento. Una partícula
es un objeto cuyo movimiento se puede describir por el de un solo punto (p.e. un sólido
rígido que se traslada “es” una partícula).
1. Movimiento en una dimensión, o rectilíneo
Este es un tipo sencillo de movimiento en que la trayectoria de la partícula es una línea
recta. Las magnitudes que lo describen son: la posición respecto al origen elegido como
referencia, la velocidad y la aceleración.
Si elegimos la recta de la trayectoria como eje OX, y en ella un punto como origen, los
vectores posición, velocidad y aceleración tienen la dirección de la trayectoria. Además
de la elección del origen, tenemos que convenir a qué sentido le asignamos el signo
positivo. Podemos omitir la flecha de vector, y las magnitudes cinemáticas se manejan
como escalares con signo que indica su sentido.
Figura 1
La figura 1 muestra un coche en dos posiciones (respecto a O): en xi en el instante ti, y
en xf en el instante tf.
Se define el desplazamiento Δx = xf - xi (1.1)
y la velocidad media vm en el intervalo de tiempo Δt = tf - ti
f i
f i m t t
x x
t
x v !
El signo de vm indica su sentido, de acuerdo el convenio de signos adoptado.
El módulo de la velocidad media vm es el cociente entre el espacio total recorrido (s) y
el tiempo empleado (t). Ambas magnitudes son positivas, por lo que vm también lo es.
t
s vm = (1.3)
Las dimensiones de la velocidad son L/T = LT
- 1 , por lo tanto sus unidades en el sistema
internacional (SI) m/s. Lógicamente también se puede medir en km/h, m/ min…etc.
Hay situaciones en que conocer el valor de la velocidad media es suficiente (p.e. en una
carrera), pero en otras interesa tener más información del detalle del movimiento, en
este caso es de interés la velocidad instantánea v, en cada punto del recorrido
dt
dx
t
x v t
! " 0
lim (1.4)
Como vemos, en la expresión anterior, v es el límite de la velocidad media cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero, o lo que es lo mismo, la derivada de la función
posición respecto al tiempo.
Figura 2.1 Figura 2.
Tangente al punto P
1 .1 Movimiento rectilíneo uniforme
Es el caso más sencillo ya que la velocidad no varía, a = 0
Mediante las integraciones sucesivas 1.7 y 1.8 llegamos a
v = v 0 = cte., (1.9)
x-x 0 = v 0 (t-t 0 ) o bien x = x 0 + v 0 (t-t 0 ) (1.10)
Como ya se ha señalado, en la recta habrá que elegir el origen O, y los signos + y –
1 .2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
En este caso a = cte.
Mediante las integraciones sucesivas 1.7 y 1.8 llegamos a
t t
v v adt 0 0 como a^ es^ cte, implica^ v^ =^ v^0 +^ a^ (t^ -^ t^0 )^ (^1 .11)
t t
x x v at t dt 0 0 0 (^0 ))^ o sea^ x^ =^ x^0 +^ v^0 (t^ -^ t^0 )^ +^ (½)^ a^ (t^ -^ t^0 )
2 ( 1 .12)
Ejemplo: movimiento ascendente o descendente en caída libre:
Este es un caso en que la a = cte = g (aceleración debida a la gravedad) = 9,8 m/s
2
Si estudiamos la caída libre , la dirección será la vertical y asignaremos el signo positivo
al sentido hacia abajo. Con este convenio de signos todas las magnitudes serán
positivas.
Las expresiones anteriores 1.11 y 1.12 quedan:
v = v 0 + g (t - t 0 ) (1.13)
y = y 0 + v 0 (t - t 0 ) + (½) g (t - t 0 )
2 ( 1 .14)
Si se deja caer el objeto sin velocidad inicial (v 0 =0), y contamos tanto el tiempo como la
posición desde el momento inicial (t 0 =0), entonces v 0 , t 0 , y 0 son nulos:
v = g t (1.15) y = (½) g t
2 (1.16)
La velocidad aumenta linealmente con el tiempo (1.13), y el espacio recorrido aumenta
con el cuadrado del tiempo (1.14).
Eliminando t en las expresiones anteriores t = v/ g, y = (1/2)g(v/g) 2 = (1/2) v 2 /g, o sea
v = 2 gy (1.17)
Si estudiamos el movimiento ascendente , la dirección será la vertical y asignaremos el
signo positivo al sentido hacia arriba. En este caso la aceleración g, al ir hacia abajo,
será negativa. Si empezamos a contar el tiempo cuando y=y0, v=v 0 , entonces t 0 =0.
Las ecuaciones 1.13 y 1. 14 quedan:
v = v 0 - g t ( 1 .1 8 )
y = y 0 + v 0 t - (½) g t 2 ( 1 .19)
En este caso la velocidad positiva de subida disminuirá linealmente con el tiempo
(1.18), y llegará un momento t= ta, en que esta se anula y entonces el espacio de subida
es el máximo y = ym (ver figura 3)
La ecuación (1.18) queda v = v 0 - g ta = 0 ⇒ ta= v 0 /g
La (1.19) queda ym = y 0 + v 0 ta - (½) g ta 2 = y 0 + v 0 v 0 /g - (½) g (v 0 /g) 2 = y 0 +(1/2) v 0 2 /g
Para t > ta el objeto realizará una caída libre (velocidad y posición negativos según
nuestro convenio de signos).
La figura 3 muestra la representación de y(t) ecuación 1.19 y v(t) 1.18. En ella se ve el
cambio de signo para v e y, cuando a transcurrido un tiempo para que la velocidad se
anule.
En el caso representado: y 0 =0, v 0 =15 m/s, por lo tanto ta=1,5 s; ym= 11 m.
Figura 3
En la figura se representan posición, velocidad y aceleración, según las expresiones (1.20), (1.21) y (1.22) para una fase inicial ϕ = π/2. En la figura se puede ver claramente el desfase entre las magnitudes, por ejemplo en la posición de equilibrio la velocidad es máxima y en los extremos del movimiento la posición y aceleración son máximas pero la velocidad es nula.
2. Movimiento en dos o en tres dimensiones
En este punto extenderemos nuestro estudio a los movimientos en dos o en tres
dimensiones. Los conceptos, posición velocidad y aceleración, son los mismos que en el
punto anterior. El formalismo se complica pues la dirección del movimiento no está
definida, y hay que emplear muy estrictamente la notación vectorial. Las magnitudes
vectoriales se designan con una flecha superior o, por facilitar la escritura, en negrita.
Estudiaremos el movimiento en dos dimensiones. En el caso de tres dimensiones, los
vectores tendrían una tercer componente en el eje cartesiano OZ.
Figura 4
En la figura 4 se muestra una trayectoria en dos dimensiones, y en ella dos posiciones P 1
y P 2 de la partícula (para tiempos t 1 y t 2 ) definidas por los vectores posición r 1 y r 2.
Las coordenadas cartesianas del vector posición son x e y; los vectores unitarios en los
ejes correspondientes i y j. La expresión del vector r es por lo tanto
r xi yj
El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo t 2 - t 1 , es Δ r = r 2 – r 1.
El vector velocidad media en el mismo intervalo de tiempo es t
r vmedia !
Su dirección y sentido son los del vector desplazamiento Δ r
El vector velocidad instantánea en cada punto dt
d r
t
r v (^) t vmedia t
= lim! " 0 =lim!" 0
En componentes cartesianas j v i v j dt
dy i dt
dx
dt
d r v (^) x y
La dirección y sentido de v son los de la tangente a la trayectoria en cada punto. El
razonamiento es el empleado en el punto 1 (una dimensión), y en la figura 2.2.
El vector aceleración media en el mismo intervalo de tiempo es t
v amedia !
El vector aceleración instantánea en cada punto
j dt
d y i dt
d x j dt
dv i dt
dv
dt
d r
dt
d v
t
v a a x y t media t
2
2
2
2
2
2 lim 0 lim 0 = = = + = + !
El paso inverso: a partir de a , conocer v y r , se hace por integraciones sucesivas de cada
una de las componentes cartesianas, como hemos hecho en el caso unidimensional.
Figura 5
En la figura 5a) ve un coche en dos puntos de su trayectoria a diferente velocidad (tanto
en magnitud como en dirección), en 5b) el cambio en el vector velocidad, en 5c) el
vector aceleración media en el intervalo de tiempo entre las dos posiciones.
2.2 Movimiento circular
Es un caso particular importante de movimiento en dos dimensiones. La trayectoria es
una circunferencia, en ella el radio de curvatura es constante r = R, el arco, s, recorrido
en un intervalo de tiempo, abarca un ángulo θ. Por la definición de radián la relación
entre estas magnitudes es:
s = R θ (θ en radianes) (1.30)
t t ut R ut dt
d u R dt
d R u dt
ds v
R
dt
d R dt
d R dt
dv at = = 2 = =
2 (1.32)
R
R
v an 2
2 = =! (1.33)
a R ut Run
Figura 7
En las expresiones anteriores se descomponen los vectores velocidad y aceleración en
sus componentes intrínsecas, en lugar de las cartesianas. En las figuras 8a y 8b se ven
dos casos en que el módulo de la velocidad cambia, aumentando y disminuyendo, por lo
que la aceleración tangencial va a favor o en contra de la velocidad respectivamente.
Además, en las ecuaciones anteriores se definen unas nuevas magnitudes angulares
apropiadas para este movimiento:
(1.31) velocidad angular ω = dθ/dt se mide en rad/s, y su análoga lineal es v =ds/dt
(1.32) aceleración angular α = dω/dt se mide en rad/s
2 , y su análoga es at =dv/dt
El paso inverso: a partir de α, conocer ω y θ, se hace por integraciones sucesivas de
estas magnitudes.
s
θ
R
Figura 8 a Figura 8 b Figura 8 c
Movimiento circular uniforme
Este es un caso particular en que la trayectoria (circunferencia) se recorre a velocidad
constante.
Se define el periodo T como el tiempo que le cuesta al móvil dar una vuelta completa
(s = longitud de la circunferencia = 2πR), o lo que es lo mismo girar un ángulo de
2 π radianes. Por lo tanto ω = 2π/T.
La velocidad lineal v , angular ω y periodo T son magnitudes constantes. Figura 8c se ve
que, la aceleración tangencial es nula, y sólo hay aceleración normal ya que cambia la
dirección de la velocidad.
En 1.31 en un dt, el ángulo cambia dθ = ω dt, o sea integrando Δθ = ω Δt
Mientras el móvil describe la circunferencia a v=cte, la proyección del vector posición (el radio A) en el eje Ox realiza un MAS en este eje
x = A cos! = A cos( " t + #)
De ahí que ambos movimientos, tan diferentes, compartan conceptos como periodo y frecuencia (una vuelta a la circunferencia = un ciclo en el MAS). Figura 9
2.3 Movimiento de proyectiles
Consideraremos un proyectil un cuerpo que recibe una velocidad inicial, y después
sigue una cierta trayectoria sometido a la acción de la gravedad y de la resistencia del
aire. Resolveremos el modelo ideal en que:
ax =0 vx = v0x = v 0 cos α 0 x = x 0 + (v 0 cos α 0 ) t (1.36)
ay = - g vy = v 0 sen α 0 - g t y = y 0 + (v 0 sen α 0 ) t – (1/2) g t
2 (1.37)
En la figura 10 se pone de manifiesto lo que se expresa en las ecuaciones anteriores: a)
la componente x de la velocidad se mantiene, b) la componente y de la velocidad
(positiva) disminuye hasta que y es máxima, después empieza a crecer pero hacia abajo
(negativa)
La ecuación de la trayectoria (una parábola, fig.10) la obtendremos eliminando el
tiempo de las dos anteriores, consideraremos x 0 e y 0 = 0.
2
0
(^22) 0
0 2 cos
(tan ) x v
g y x !
Podremos calcular (ver fig. 10):
- La altura máxima calculando el tiempo en que vy = 0, y sustituyendo en 1.
- El alcance máximo calculando el tiempo en que y = 0, y sustituyendo en 1.
- La posición y la velocidad en cualquier punto de la trayectoria.
