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Universidad de Oviedo EPI GijÛn Dpto. Matem·ticas
Algebra Lineal Problemas Curso 2018-
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1. N˙meros Complejos
Ejercicio 1 Encontrar todos los x 2 R que cumplen: a) jx 3 j < 1 b) jx + 1j + jx 4 j > 7 c) x^2 jx 1 j = 1
SoluciÛn: a) x 2 (2; 4) ; b) x 2 ( 1; 2) [ (5; + 1 ) ; c) x 2 f 2 ; 1 g
Ejercicio 2 Hallar dos numeros reales x e y, tales que: (43 + yi) = (4 + 3i)(x 5 i): SoluciÛn: x = 7; y = 1
Ejercicio 3 Hallar el valor de 2 R para que z =
3 2 i
4 3 i
sea real. Para el valor
obtenido calcular el valor del cociente.
SoluciÛn: = 9= 8 ; z = 3= 4
Ejercicio 4 Determinar dos n˙meros complejos w 1 y w 2 tales que para z 1 = 2 i y
z 2 = 3 4 i; se veriÖca
a) w 1 z 1 = 32 i b)
w 2
z 2
i:
SoluciÛn: a) w 1 = 13 + 6i; b) w 2 = 1 5 +^
2 5 i
Ejercicio 5 Representar en el plano complejo los siguientes conjuntos: a) A = fz 2 C / jz 1 + ij = 2g b) B = fz 2 C / jzj j 2 z + 1jg
c) C =
z 2 C / Real
z + 1
z 1
Solucion : a) b) c)
Ejercicio 6 Expresar en forma binÛmica los siguientes n˙meros complejos:
a)
1 ei=^2
1 + ei=^2
b) ei^
1 e i=^3
c)
1 i^3
(1 + i)
SoluciÛn: a) i; b) 1 2 ^
p 3 2 i;^ c)^ ^
i 2
Ejercicio 7 Dados los complejos z = 1 + i y w = 1
p 3 i; se pide: a) Escribir z y w en foma mÛdulo-argumento. b) Calcular z^4 w^2 en forma exponencial. c) Escribe el resultado en forma binÛmica.
SoluciÛn: a) z =
p 2 e i= 4 ; w = 2e i= 3 ; b) z 4 w 2 = 16e i= 3 ; c) z 4 w 2 = 8 + 8
p 3 i
Ejercicio 8 Sea z 2 Cnf(1; 0)g. Probar que
1 + z
1 z
es imaginario puro si, y sÛlo si,
jzj = 1:
Ejercicio 9 a) øQuÈ representa, geomÈtricamente, multiplicar un n˙mero complejo z por
i? øy multiplicar por 2 i?
b) Calcular el resultado de girar el n˙mero complejo 3 + i un ·ngulo de
en sentido
antihorario.
SoluciÛn: a) Multiplicar por i es girar el vector de posiciÛn
en sentido antihorario. Multi-
plicar por 2 i es girar el vector de posiciÛn
en sentido antihorario y multiplicar por 2 su longitud.
b)
p 2 + 2
p 2 i
Ejercicio 10 Determinar y representar gr·Öcamente las soluciones de las ecuaciones
siguientes:
a) z^4 16 = 0 b) z^2 i = 0:
SoluciÛn: a) 2 ; 2 i; 2 ; 2 i; b)
p 2 2 +^
p 2 2 i;^
p 2 2 ^
p 2 2 i
Ejercicio 11 a) Calcular los n˙meros complejos z tales que z = z^2. b) Hallar las raÌces c˙bicas de z = 8 : c) Hallar las raÌces quintas de z = 1 +
p 3 i:
SoluciÛn: a) 0 , 1 , 1 2 ^
p 3 2 i;^
1 2 +^
p 3 2 i;^ b)^ ^2 ,^ 1 +^
p 3 i; 1
p 3 i;
c)
p 5 2 e 2 i= 15 ;
p 5 2 e 8 i= 15 ;
p 5 2 e 14 i= 15 ;
p 5 2 e 4 i= 15 ;
p 5 2 e 10 i= 15
Ejercicio 12 Dada una ecuaciÛn polinÛmica de grado 4 de coeÖcientes reales, a) øCu·ntas soluciones imaginarias puede tener si una de ellas es real? b) Si 8 i y 5 3 i son soluciones øCu·les son las otras dos?
SoluciÛn: a) Dos; b) 8 i y 5 + 3i
Ejercicio 13 Determinar una ecuaciÛn de coeÖcientes reales cuyas soluciones en C sean
3 , 2 + i, 2 i.
SoluciÛn: x^3 x^2 7 x + 15 = 0
Ejercicio 14 Determinar un polinomio de coeÖcientes reales de grado 4 que tenga por
raÌces los n˙meros complejos 4 i, 5 + 2i.
SoluciÛn: p(x) = x
4 +10x^3 +45x^2 +160x + 464
Ejercicio 15 Resolver en R y en C las siguientes ecuaciones: a) x^4 + 3x^2 10 = 0 b) x^3 + 5x^2 + 6x = 0 c) x 4
SoluciÛn: a) En R las raÌces son:
p 2 y, por tanto, la ecuaciÛn dada se puede expresar en
la forma: (x
p 2)(x +
p 2)(x^2 + 5) = 0: En C las raÌces son:
p 2 ;
p 5 i y, por tanto, la
ecuaciÛn se expresa en la forma: (x
p 2)(x +
p 2)(x
p 5 i)(x +
p 5 i) = 0: b) En R y C lass raÌces son: 3 ; 2 ; 0 y, por tanto, la ecuaciÛn dada se expresa en la forma:
x(x + 2)(x + 3) = 0:
c) En R la ecuaciÛn dada no tiene raÌces y se expresa en la forma: (x^2 +1)^2 = 0: En C las raÌces
son: i (doble); i (doble) y, por tanto, la ecuaciÛn se expresa en la forma: (x i)^2 (x + i)^2 = 0:
