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Tema 1: N´umeros reales y complejos
Poli Abascal Fuentes (Apuntes originales de Mar´ıa Luisa Serrano Ortega) Grupo D
Dpto. de Matem´aticas Universidad de Oviedo
email: [email protected]
Poli Abascal- Grupo D Tema1 1 / 39
Contenido I
(^1) Introducci´on Ley de composici´on interna Estructura de grupo Estructura de cuerpo 2 El cuerpo de los n´umeros complejos Estructura de C R ⊆ C Unidad imaginaria. Forma bin´omica Complejo conjugado. Propiedades M´odulo y argumento (^3) Otras expresiones Forma polar Ra´ız n-´esima de un complejo Funci´on exponencial. Forma exponencial Logaritmo Poli Abascal- Grupo D Tema1 2 / 39
Contenido II
(^4) Polinomios. Teorema Fundamental del ´Algebra Introducci´on Operaciones en K[X ] Ra´ız de un polinomio
Introducci´on
Contenido
(^1) Introducci´on Ley de composici´on interna Estructura de grupo Estructura de cuerpo
(^2) El cuerpo de los n´umeros complejos
3 Otras expresiones
(^4) Polinomios. Teorema Fundamental del ´Algebra
Introducci´on Ley de composici´on interna
Introducci´on
Ley de composici´on interna
Definici´on 1.
Dado un conjunto A 6 = ∅ llamaremos operaci´on interna en A, ley de composici´on interna en A o, de forma abreviada, lci, a cualquier aplicaci´on del producto cartesiano A × A en A:
∗ : A × A −→ A (a, b) → a ∗ b = c ∈ A
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Introducci´on Ley de composici´on interna
Introducci´on
Ley de composici´on interna
Ejemplo 1.
¿Cu´ales de las siguientes operaciones son lci? a) Suma de n´umeros naturales b) Resta de n´umeros naturales c) Producto de n´umeros racionales d) Producto de n´umeros irracionales e) Producto de n´umeros reales f) Divisi´on de n´umeros reales
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Introducci´on Estructura de grupo
Introducci´on
Estructura de grupo
Definici´on 1.
Un grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto G y una l.c.i. ∗, (G , ∗) que verifica: a) Asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀a, b, c ∈ G b) Elemento neutro: ∃e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a, ∀a ∈ G c) Elemento sim´etrico: ∀a ∈ G , ∃a′^ ∈ G tal que a ∗ a′^ = a′^ ∗ a = e
Si adem´as, d) Conmutativa: ∀a, b ∈ G se verifica que a ∗ b = b ∗ a entonces diremos que se trata de un grupo conmutativo o abeliano.
Introducci´on Estructura de grupo
Introducci´on
Estructura de grupo
Ejemplo 1.
¿Cu´ales de los siguientes pares son grupos?
a) (N, +)
b) (N, ·)
c) (Z, +)
d) (Z, ·)
e) (Q, +)
f) (Q, ·)
g) (Q \ { 0 }, ·)
h) (R, +)
i) (R, ·)
j) (R \ { 0 }, ·)
El cuerpo de los n´umeros complejos Estructura de C
El cuerpo de los n´umeros complejos
Estructura de C
Definici´on 1.
Se considera el conjunto R^2 y en ´el se definen dos leyes de composici´on interna suma y producto como sigue (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) · (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c) Se denota por C a la estructura (R^2 , +, ·).
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El cuerpo de los n´umeros complejos Estructura de C
El cuerpo de los n´umeros complejos
Estructura de C
Teorema 1. El conjunto C con las operaciones anteriores verifica las propiedades siguientes: (^1) (C, +) es un grupo conmutativo. (^2) (C − {(0, 0)}, ·) es un grupo conmutativo. (^3) Distributiva: ∀z 1 , z 2 , z 3 ∈ C, (z 1 + z 2 ) · z 3 = z 1 · z 3 + z 2 · z 3. Por lo tanto (C, +, ·) es un cuerpo conmutativo.
Nota 1. Dado x = (x 1 , x 2 ) 6 = (0, 0) existe un ´unico yyy = (y 1 , y 2 ) tal que x ∗ yyy = 1
Se denota por xxx−^1 = (
x 1 x 12 + x 22
,
−x 2 x 12 + x 22
)
y xxx
= y · xxx−^1
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El cuerpo de los n´umeros complejos R ⊆ C
El cuerpo de los n´umeros complejos
R ⊆ C
Existe una biyecci´on entre el cuerpo R y el subconjunto de C formado por los complejos de la forma (a, 0). Las operaciones definidas en C sobre estos elementos son:
(x, 0) + (y , 0) = (x + y , 0) (x, 0) · (y , 0) = (x · y , 0) Si y 6 = 0 (x, 0)/(y , 0) = (x/y , 0)
Podemos realizar las operaciones s´olo con las partes reales. Y tienen las mismas propiedades aritm´eticas que los n´umeros reales. As´ı, podremos identificar un n´umero complejo (x, 0) con el n´umero real x.
El cuerpo de los n´umeros complejos Unidad imaginaria. Forma bin´omica
El cuerpo de los n´umeros complejos
Unidad imaginaria. Forma bin´omica
Dado que (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), llamando i = (0, 1), se suele escribir (a, b) = a + bi. Esta otra forma de representar los n´umeros complejos se denomina forma bin´omica. Al complejo i = (0, 1) se le denomina unidad imaginaria. Obs´ervese que i^2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (− 1 , 0), que en forma binomial ser´ıa i^2 = −1. Esta propiedad (que su cuadrado sea -1) no la satisface ning´un n´umero real y gracias a ella en C se pueden calcular ra´ıces cuadradas de n´umeros negativos.
El cuerpo de los n´umeros complejos Complejo conjugado. Propiedades
El cuerpo de los n´umeros complejos
Complejo conjugado. Propiedades
El eje de abscisas se llama eje real y el de ordenadas eje imaginario. Dado z = a + bi ∈ C, se llama conjugado de z al n´umero complejo ¯z = a − bi = (a, −b), y es el sim´etrico de z respecto del eje real.
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El cuerpo de los n´umeros complejos Complejo conjugado. Propiedades
El cuerpo de los n´umeros complejos
Complejo conjugado. Propiedades
Teorema 1.
Para cualesquiera z, z 1 y z 2 elementos de C se verifica que: (^1) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 (^2) z 1 · z 2 = z 1 · z 2 (^3) Si z 2 6 = 0, z 1 /z 2 = z 1 /z 2 (^4) z = z (^5) z = z ⇐⇒ z ∈ R (^6) Real(z) = z^ +^ z 2
; Imag(z) =
z − z 2 i
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El cuerpo de los n´umeros complejos Complejo conjugado. Propiedades
El cuerpo de los n´umeros complejos
Complejo conjugado. Propiedades
Ejemplo 1.
Halle la parte real y la parte imaginaria de (1 − 2 i)(1 − i).
Ejemplo 1.
Sean z, w ∈ C. ¿Son ciertas las relaciones? a) Real(z · w ) = Real(z) · Real(w ) b) Real(z · i) = −Imag (z)
c) Imag
( (^) z
w
Imag (z) Imag (w )
con Imag (w ) 6 = 0
El cuerpo de los n´umeros complejos M´odulo y argumento
El cuerpo de los n´umeros complejos
M´odulo y argumento
Dado z = a + bi ∈ C, se llama m´odulo de z a |z| =
√ a^2 + b^2.
Teorema 1. Sean z 1 y z 2 elementos de C, se verifica que: (^1) |z 1 | ≥ 0. Adem´as, |z 1 | = 0 si, y s´olo si, z 1 = 0 (^2) |Re(z)| ≤ |z| |Im(z)| ≤ |z| |z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)| (^3) |z 1 | = |z 1 | (^4) |z 1 · z 2 | = |z 1 | · |z 2 | 5
∣∣ ∣∣^ z^1 z 2
∣∣ ∣∣ = |z^1 | |z 2 |
si z 2 6 = 0
(^6) z 1 · z 1 = |z 1 |^2 (^7) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | (desigualdad triangular)
Definici´on 1. Se llama distancia entre z y w al valor real d(z; w ) = |z − w |.
Otras expresiones Forma polar
Otras expresiones
Forma polar
Nota 1.
La forma polar resulta especialmente ´util para multiplicar y dividir n´umeros complejos.
z 1 · z 2 = r 1 · (cos(α 1 ) + i sen(α 1 )) · r 2 · (cos(α 2 ) + i sen(α 2 )) = r 1 · r 2 (cos(α 1 )cos(α 2 ) − sen(α 1 ) sen(α 2 ) + +i(sen(α 1 )cos(α 2 ) + cos(α 1 )sen(α 2 ))) = r 1 · r 2 · (cos(α 1 + α 2 ) + i sen(α 1 + α 2 ))
z 1 z 2
r 1 r 2
· (cos(α 1 − α 2 ) + i sen(α 1 − α 2 ))
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Otras expresiones Forma polar
Otras expresiones
Forma polar
Nota 1.
C´alculo del inverso de un n´umero complejo
1 z
r
· (cos(α) − i sen(α))
Teorema 1.4 (F´ormula de De Moivre)
Si z = r · (cos(θ) + i sen(θ)) y n ∈ N
zn^ = r n^ · (cos(θ) + i sen(θ))n^ = r n(cos(nθ) + i sen(nθ))
Ejemplo 1.
Obtener (1 + i)^6 y (1 + i)−^1
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Otras expresiones Ra´ız n-´esima de un complejo
Otras expresiones
Ra´ız n-´esima de un complejo
Definici´on 1.
Dado un n´umero complejo z y n ∈ N. Una ra´ız n-´esima de z es cualquier n´umero complejo w tal que w n^ = z
Otras expresiones Ra´ız n-´esima de un complejo
Otras expresiones
Ra´ız n-´esima de un complejo
Nota 1.
La f´ormula de De Moivre permite obtener ra´ıces n-´esimas:
w = s(cosφ + i sen φ) z = r (cosα + i sen α) w n^ = z ⇐⇒ sn(cosnφ + i sen nφ) = r (cosα + i sen α)
As´ı
sn^ = r → s = n
r cosnφ = cosα sen nφ = sen α
} → nφ = α + 2kπ
Luego w = r 1 /n(cos( α+2 n kπ) + i sen( α+2 n kπ)) As´ı, tenemos n ra´ıces distintas de z, 1 para cada valor de k = 0, 1... , n − 1
Otras expresiones Ra´ız n-´esima de un complejo
Otras expresiones
Ra´ız n-´esima de un complejo
Ejemplo 1.
Halle y represente 3
− 27 y 4
i
Ejemplo 1.
Resuelva la ecuaci´on z^3 = 1 + i
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Otras expresiones Funci´on exponencial. Forma exponencial
Otras expresiones
Funci´on exponencial. Forma exponencial
Definici´on 1.
Sea z = x + iy ∈ C llamaremos exponencial compleja, y la denotamos por ez^ = ex+iy^ al n´umero complejo
ez^ = exp(z) = ex^ (cos(y ) + isen(y ))
Nota 1.6 (Propiedades)
Extiende a la exponencial real: si z = x + 0i, entonces ez^ = ex Si z = 0 + iy , con y ∈ R, entonces eiy^ = cos(y ) + i sen(y ), y |eiy^ | = 1. |ez^ | = ex e^ ¯z^ = e z¯^ , (ez^ )−^1 = e−z^ , ez+w^ = ez^ ew^ , para todo z, w ∈ C ez^ = 1 ⇐⇒ z = 2nπi con n ∈ N ez^1 = ez^2 ⇐⇒ z 1 − z 2 = 2nπi
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Otras expresiones Funci´on exponencial. Forma exponencial
Otras expresiones
Funci´on exponencial. Forma exponencial
Definici´on 1. Sea z ∈ C, con |z| = r y θ un argumento de z, entonces
z = r · eiθ
A esta forma de expresar el complejo se le llama forma exponencial de representaci´on del complejo.
Ejemplo 1. Exprese en forma bin´omica: eπi^ , e2+i^
π 2 y eiπ/^4
Ejemplo 1. Exprese en forma exponencial los n´umeros complejos:
a) 1 − i , b) − 1 , c) −i , d) 1 +
√ 3 i
Otras expresiones Funci´on exponencial. Forma exponencial
Otras expresiones
Funci´on exponencial. Forma exponencial
Teorema 1.
Si z 1 = r 1 · eiθ^1 y z 2 = r 2 · eiθ^2 entonces z 1 · z 2 = (r 1 · r 2 ) · ei(θ^1 +θ^2 ). Si, adem´as z 2 6 = 0,
z 1 z 2
r 1 r 2
· ei(θ^1 −θ^2 )
Nota 1.
Si z = r · eiθ^6 = 0, entonces
z
r
· e−iθ
Teorema 1.
Si z = r · eiθ^6 = 0 y m ∈ Z, entonces zm^ = r m^ · eimθ
Polinomios. Teorema Fundamental del ´Algebra Operaciones en K[X ]
Polinomios. Teorema Fundamental del Algebra´
Operaciones en K[X ]
Sean P(X ) =
∑^ n
i=
ai X i^ y Q(X ) =
∑^ m
i=
bi X i^ ∈ K[X ]
Considerando s = m´ax{n, m} llamaremos suma de los polinomios P y Q al polinomio denotado por P(X ) + Q(X ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )X + (a 2 + b 2 )X 2 +... + (as + bs )X s Si m > n, entonces an+1 = an+2 =... = am = 0, es decir, completamos con coeficientes cero. Llamaremos producto de los polinomios P y Q al polinomio denotado por
P(X ) · Q(X ) =
∑^ n
i=
ai X i^ ·
∑^ m
i=
bi X i^ =
n∑+m
i=
ci X i^ con ci =
∑^ i
k=
ak bi−k
Nota 1.
Con estas operaciones (l.c.i) K[X ] tiene estructura de anillo conmutativo Poli Abascal- Grupo D Tema1 37 / 39
Polinomios. Teorema Fundamental del ´Algebra Ra´ız de un polinomio
Polinomios. Teorema Fundamental del Algebra´
Ra´ız de un polinomio
Definici´on 1.
Se dice que α ∈ K es una ra´ız del polinomio P(X ) ∈ K[X ] si P(α) = 0
Teorema 1.
Un polinomio de grado n posee, a lo sumo, n ra´ıces.
Teorema 1.8 (Teorema Fundamental del Algebra)´
Sea P(X ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + · · · + anX n^ un polinomio con coeficientes en C, an 6 = 0, entonces existen x 1 , x 2 ,... , xk ∈ C de forma que
P(X ) = an(X − x 1 )n^1 (X − x 2 )n^2 · · · (X − xk )nk
n 1 + n 2 + · · · + nk = n ni ≥ 1
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Polinomios. Teorema Fundamental del Algebra´ Ra´ız de un polinomio
Polinomios. Teorema Fundamental del Algebra´
Ra´ız de un polinomio
Nota 1.
Si los coeficientes son n´umeros reales y una de las ra´ıces tiene su parte imaginaria no nula, entonces su conjugado tambi´en es ra´ız del polinomio con la misma multiplicidad.
Ejemplo 1.
Factoriza el polinomio siguiente:
p(z) = z^3 − 4 z^2 + 6z − 4
Ejemplo 1.
Factoriza el polinomio siguiente:
q(z) = z^2 − 2 iz + 1 Poli Abascal- Grupo D Tema1 39 / 39
