PROBLEMAS DE ´
ALGEBRA LINEAL
CURSO 2019/2020
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
0. N´umeros Complejos
Problema 0.1 Represente gr´aficamente los siguientes n´umeros complejos:
(a) 2+3i;(b) 1−2i;(c) 3 + i;(d) 3−i.
¿Es alguno de estos n´umeros suma de otros dos? ¿Es alguno de ellos el conjugado de otro?
Problema 0.2 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
(a) Una ecuaci´on de segundo grado con coeficientes reales tiene dos soluciones reales.
(b) La ecuaci´on 5x2+ 10 = 0 tiene como ´unica soluci´on x=√2i.
(c) El n´umero 0 es imaginario puro.
(d) El producto de dos n´umeros imaginarios puros no puede ser un n´umero real.
(e) Se verifica que (2 + 3i)·(5 −6i) = 28 + 3i.
(f) Se verifica que i23 =i.
(g) El inverso de (i7−i−7)es i/2.
(h) Se verifica que 2+5i
3−2i(1 −i) = 15
13 +23
13 i.
(i) El n´umero complejo con m´odulo 2y argumento 135oes −√2 + √2i.
Problema 0.3 Obtenga el valor de los par´ametros myn∈Rpara que se verifique:
(a) (2+mi)+(n+5i) = 7−2i;(b) m+i
1 + i= 2−i;(c) (2−mi)(3−ni) = 8+4i;(d) (3−6i)(4+mi)real.
Problema 0.4 Dado z= 1, demuestre que (1 + z)/(1 −z)es imaginario puro si y s´olo si |z|= 1.
Problema 0.5 Dado z∈Ctal que |z|= 1, demuestre que 1/zn+znes un n´umero real ∀n∈N.
Problema 0.6 Obtenga las ra´ıces complejas de los siguientes n´umeros:
(a) √2+2√3i;(b) 3√1; (c) 3√i;(d) n√1.
Problema 0.7 Sean los n´umeros complejos expresados en forma polar z1= 460oyz2= 3210o.
(a) Exprese z1yz2en forma bin´omica.
(b) Obtenga ¯z1,z6,z−1
1,z1·z2yz2/z1.
Problema 0.8 Determine todas las soluciones de la ecuaci´on x6−2x3+ 2 = 0.
Problema 0.9 Determine todos los n´umeros complejos que verifiquen la ecuaci´on z2+ ¯z2= 0.
Problema 0.10 Sean a∈R(a= 0), n∈Ny considere la ecuaci´on
(z+ai)n−(z−ai)n= 0.
(a) Demuestre que todas las soluciones de la ecuaci´on son reales.
(b) Obtenga todas las soluciones de la ecuaci´on.
