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Tema 3
Repaso de funciones elementales, límites y
continuidad
3.1. Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones
3.1.1. Definiciones
Una función real de (una) variable real es una aplicación f : A → B donde A y B son subconjuntos de R, es decir, es una regla que hace corresponder a cada x ∈ A un único elemento f (x) ∈ B, que se llama imagen de x mediante f.
Se llama expresión analítica de una función a la fórmula matemática que nos indica las opera- ciones que debemos realizar con el elemento x ∈ A para calcular f (x). El conjunto A sobre el que la función está definida recibe el nombre de dominio de f. Cuando no se especifique el dominio de una función se entenderá que éste es el subconjunto más grande de R en el que la expresión analítica que define a la función tiene sentido. Lo denotamos Dom( f ). Se llama imagen o recorrido de f al conjunto, que representaremos por f (A) o por Im( f ), cuyos elementos son las imágenes de los puntos de A mediante f , es decir:
f (A) = Im( f ) = {y ∈ R : existe x ∈ A con f (x) = y}.
Una manera práctica de decidir si un punto y está o no en Im( f ) consiste en intentar resolver la ecuación f (x) = y, siendo x la incógnita de la ecuación. Si somos capaces de despejar la x en función de y con x ∈ A, entonces y ∈ Im( f ); de lo contrario y ∈/ Im( f ).
Se llama gráfica de f a la curva y = f (x) del plano R^2 , es decir:
G( f ) = {(x, y) ∈ R^2 : x ∈ A, y = f (x)} = {(x, f (x)) ∈ R^2 : x ∈ A}. Normalmente representaremos los puntos de A sobre el eje x (o eje de abcisas) y sus imágenes f (x) en el eje y (o eje de ordenadas). El punto (x 0 , f (x 0 )) se obtiene entonces como la intersec- ción de la recta vertical {x = x 0 } y la recta horizontal {y = f (x 0 )}. La gráfica de f es la curva en el plano que se forma cuando unimos todos estos puntos. Nótese que esta curva corta a cada línea vertical a lo sumo una vez por la definición de función. Además, un número y 0 pertenecerá a la imagen de f si la recta horizontal {y = y 0 } corta a la gráfica de f al menos una vez.
Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 2
Ejemplo: Para la función f : R → R dada por f (x) = x^2 su dominio es R. Su expresión analítica es la fórmula y = x^2 , que nos indica como calcular la imagen de cualquier elemento x. El recorrido de esta función estará formada por aquellos y ∈ R tales que la ecuación x^2 = y tiene solución en la incógnita x. Ahora, si queremos despejar la x en la ecuación x^2 = y, necesitamos hacer la raíz cuadrada de y, para lo que se precisa que y ≥ 0. En tal caso, al despejar tendríamos x = ±
y. Concluimos que Im( f ) = [ 0 , +∞). Por otro lado, es bien sabido que la gráfica de f es una parábola cuyo vértice es el punto ( 0 , 0 ).
Ejemplo: Para la función f : ( 0 , 1 ) → R dada por f (x) = 1 /x su dominio está especificado y es el intervalo abierto y acotado ( 0 , 1 ). Su expresión analítica es la fórmula y = 1 /x, que nos indica como calcular la imagen de cualquier elemento x. Por otro lado, como no se puede dividir por cero, el conjunto más grande donde la función está bien definida es Dom( f ) = R − { 0 } = R∗. La gráfica de f es el trozo de la hipérbola xy = 1 cuando x ∈ ( 0 , 1 ).
- Se dice que una función f : A → R está acotada superiormente si su gráfica se queda siempre por debajo de una recta horizontal, es decir, existe K ∈ R tal que f (x) ≤ K para cada x ∈ A. Se dice que f está acotada inferiormente si su gráfica se queda siempre por encima de una recta horizontal, es decir, existe M ∈ R tal que f (x) ≥ M para cada x ∈ A. Se dice que f está acotada si lo está superior e inferiormente. Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f está contenida dentro de una banda horizontal del plano, equivalentemente, el recorrido de la función está contenido en un intervalo cerrado y acotado de R.
Ejemplos: La función f : R → R dada por f (x) = x^3 no está acotada ni superior ni inferiormente, ya que su recorrido es todo R. La función g(x) = x^2 + 1 está acotada inferiormente por 1 pero no está acotada superiormente ya que toma valores arbitrariamente grandes. La función g(x) = 1 /(x^2 + 1 ) está acotada superiormente por 1 ya que el denominador está acotado inferiormente por 1. Además, está también acotada inferiormente ya que toma siempre valores positivos.
- Se dice que una función f es creciente si para cualesquiera x < y se cumple que f (x) ≤ f (y). Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f siempre sube o se mantiene constante. Se dice que f es estrictamente creciente si para cualesquiera x < y se cumple f (x) < f (y) (siempre sube).
- Se dice que una función f es decreciente si para cualesquiera x < y se cumple que f (x) ≥ f (y). Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f siempre baja o se mantiene constante. Se dice que f es estrictamente decreciente si para cualesquiera x < y se cumple f (x) > f (y) (siempre baja). Ejemplos: La función f : R → R dada por f (x) = x es una función creciente: su gráfica es la recta que pasa por ( 0 , 0 ) y ( 1 , 1 ). La función f (x) = −x es decreciente: su gráfica es la recta que pasa por ( 0 , 0 ) y ( 1 , − 1 ). La función g : R → R dada por g(x) = x^2 no es creciente ni decreciente.
- Una función f : R → R se dice que es par si para cada x se cumple que f (−x) = f (x). Ge- ométricamente, ésto significa que la gráfica de f es simétrica respecto del eje de ordenadas.
- Una función f : R → R se dice que es impar si para cada x se cumple que f (−x) = − f (x). Geométricamente, ésto significa que la gráfica de f es simétrica respecto del origen de coordenadas.
Ejemplos: La función f : R → R dada por f (x) = |x| es una función par ya que f (−x) = | − x| = |x| = f (x). La función g(x) = x^3 es una función impar, ya que g(−x) = (−x)^3 = −x^3 = −g(x). La función h(x) = 2 x + 7 no es ni par ni impar.
Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones 4
3.1.2. Inversa para la composición de una función
Normalmente, se suele entender que la inversa de una función f es la función 1/ f que definimos más arriba y que trabaja como ( 1 / f )(x) = 1 / f (x). No obstante, existe otro concepto de función inversa que puede llevar a confusión con el anterior al llamarse de la misma manera. Para introducir este segundo concepto de inversa necesitamos unas definiciones previas.
- Sea f : A → B una aplicación entre dos subconjuntos de R. Se dice que f es inyectiva si no toma dos veces el mismo valor, es decir, si x, y ∈ A y x 6 = y, entonces f (x) 6 = f (y). Geométricamente, ésto significa que cada recta horizontal del plano corta a la gráfica de f en a lo sumo un punto.
- Se dice que una aplicación f : A → B es sobreyectiva si cada elemento de B es la imagen mediante f de algún elemento de A, es decir, Im( f ) = B. Dicho de otra manera, la ecuación f (x) = y siempre tiene solución en x ∈ A, sea cual sea el número real y ∈ B. Geométricamente, ésto significa que cada recta horizontal del plano con altura y ∈ B corta a la gráfica de f por lo menos en un punto.
- Se dice que f : A → B es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Geométricamente, ésto significa que cada recta horizontal del plano con altura y ∈ B corta a la gráfica de f en exactamente un punto; equivalentemente, cada número real y ∈ B es la imagen de exactamente un elemento x ∈ A mediante f. Dicho de otra manera, para cada real y ∈ B existe una sola solución de la ecuación f (x) = y con x ∈ A. A esta única solución que, evidentemente, depende de y, la representaremos por x = f −^1 (y). A la función f −^1 : B → A definida por f −^1 (y) = único valor x ∈ A tal que f (x) = y, la llamaremos la función inversa para la composición de f.
Importante: La función inversa para la composición f −^1 que acabamos de definir NO COINCIDE con 1/ f , es decir, no es lo mismo f −^1 (y) que 1/ f (y).
Ejemplo 1: Consideremos la función f : R → R dada por f (x) = 2 x + 7. La gráfica de f es la recta que pasa por los puntos ( 0 , 7 ) y (− 3 , 1 ) (dibujarla). Por tanto, es una función biyectiva, ya que cada recta horizontal del plano corta a la gráfica de f en exactamente un punto. Para calcular la inversa ponemos y = 2 x + 7, y despejamos x en función de y. Al hacerlo se obtiene x = (y − 7 )/2, con lo que f −^1 (y) = (y − 7 )/2, cuya gráfica es otra recta (dibujarla). Obsérvese que la gráficas de f y de f −^1 son simétricas con respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano).
Ejemplo 2: Consideremos la función f : R → R dada por f (x) = x^2 , cuya gráfica es una parábola con vértice en el origen de coordenadas. Es claro que f no es inyectiva ya que cada recta horizontal {y = K} con K > 0 corta a la gráfica dos veces. Esto es un reflejo de que la ecuación x^2 = y tiene siempre dos soluciones cuando y > 0, concretamente, x = ±
y. Tampoco es sobreyectiva, porque cada recta {y = K} con K < 0 no corta a la gráfica de f , o lo que es lo mismo, la ecuación x^2 = y no tiene solución siempre que y < 0. ¿Cómo obtener a partir de esta función otra que sea biyectiva? Para arreglar el problema de la falta de inyectividad tenemos que restringir el dominio de f a un subconjunto donde la función no repita valores; ésto ocurre por ejemplo en [ 0 , +∞) y en (−∞, 0 ]. Así, la función g : [ 0 , +∞) → R dada por g(x) = x^2 sí es inyectiva (nos estamos quedando con la rama derecha de la parábola) pero sigue sin ser sobreyectiva porque la gráfica no corta a las rectas horizontales {y = K} con K < 0. Para arreglar la falta de sobreyectividad se sustituye el conjunto de llegada de la función por el recorrido de la función. En este caso, es claro que el recorrido de g es el conjunto [ 0 , +∞) (todo número real no negativo es el cuadrado de su raíz cuadrada). Concluimos que la función h : [ 0 , +∞) → [ 0 , +∞) dada por h(x) = x^2 es biyectiva. Para calcular su inversa para la composición escribimos y = x^2 , y despejamos x en función de y. Deducimos que x = √y, con lo que la inversa para la composición de h es la función h−^1 (y) =
y.
Repaso de las funciones elementales 5
En definitiva, si queremos construir una función biyectiva a partir de otra que no lo es, debemos restringir el dominio de la función para hacerla inyectiva, y el conjunto de llegada por el recorrido de la función para hacerla sobreyectiva. Con estas restricciones, podemos calcular la inversa para la composición de la función escribiendo y = f (x), y despejando la variable x en función de y.
- Si f es biyectiva y f −^1 es su inversa para la composición, entonces es claro de la definición de f −^1 que ( f −^1 ◦ f )(x) = x y ( f ◦ f −^1 )(y) = y. Además, las gráficas de f y de f −^1 son simétricas respecto de la recta y = x.
3.1.3. Idea intuitiva de límites y continuidad
Hablaremos con más detalle y rigor de los conceptos de límite y continuidad en las secciones tercera y cuarta de este tema. Aquí nos conformaremos con dar ideas intuitivas que nos sirvan para comprender estas nociones y los ejemplos que expondremos en la sección siguiente.
- Sea f una función definida alrededor de un punto x 0 ∈ R (no hace falta que f esté definida en x 0 , pero sí alrededor de x 0 ). Sea L ∈ R ∪ {±∞} (ésto significa que L puede representar a +∞ o a −∞, que no son números). Diremos que f tiene límite L cuando x tiende a x 0 si cada vez que le damos a la variable independiente x valores muy cercanos a x 0 entonces los valores de la función f (x) están muy cercanos del valor L. En tal caso escribimos:
l´ım x→x 0 f (x) = L.
Diremos que f tiene límite L cuando x tiende a +∞ (resp. −∞) si cada vez que le damos a la variable independiente x valores muy grandes (resp. muy pequeños) entonces los valores de la función f (x) están muy cercanos del valor L. En tal caso escribimos:
l´ım x→+∞ f (x) = L (resp. l´ım x→−∞ f (x) = L).
- Intuitivamente una función f : I → R definida sobre un intervalo I es continua si la gráfica es una curva que no presenta saltos ni interrupciones, es decir, para dibujarla no tenemos que levantar el bolígrafo del papel.
3.2. Repaso de las funciones elementales
Esta sección está dedicada a recordar algunas funciones básicas y sus propiedades.
- Función potencial de exponente b (b 6 = 0): Estas funciones están definidas en todo R cuando b ∈ N. Para b arbitrario, a veces el dominio de definición es R∗^ = R − { 0 } (por ejemplo para b = −1), otras es R+ 0 (por ejemplo, para b = 1 /2), y otras es R+^ = ( 0 , +∞) (por ejemplo, para b = − 1 /2). Aquí nos restringiremos a estudiar el comportamiento de la función en R+. Por tanto consideramos la función f : R+^ −→ R dada por f (x) = xb. Propiedades:
a) f es biyectiva de R+^ en R+^ y continua. b) (xy)b^ = xbyb, (x/y)b^ = xb/yb^ (xb)c^ = xbc. c) Si b > 0, entonces f es estrictamente creciente en R+, l´ım x→ 0 xb^ = 0 y (^) xl´→ım+∞ xb^ = +∞.
d) Si b < 0, entonces f es estrictamente decreciente en R+, l´ım x→ 0 xb^ = +∞ y (^) xl´→ım+∞ xb^ = 0.
Repaso de las funciones elementales 7
- Función logaritmo neperiano: Es la función ln : R+^ −→ R que coincide con la inversa para la composición de la función exponencial. Esto significa que ln(y) = único número real x tal que ex^ = y. Algunas propiedades de esta función son las siguientes:
a) Es continua en R+, biyectiva de R+^ en R, y estrictamente creciente. b) Es una función no acotada superior ni inferiormente; de hecho, su imagen es R. c) ln 1 = 0 , ln e = 1 , ln ek^ = k, ln(xy) = ln x + ln y, ln( xy ) = ln x − ln y, ln(xy) = y ln x. d) l´ım x→ 0 +^ ln x = −∞, (^) x→l´ım+∞ ln x = +∞.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
Figura 3.5: La función logaritmo neperiano
- Función exponencial de base a > 0 (a 6 = 1 ): Es la función f : R −→ R dada por f (x) = ax, para cada x ∈ R. Algunas propiedades de esta función son las siguientes:
a) f es biyectiva de R en R+, continua, y acotada inferiormente por 0; de hecho, ax^ > 0 para cada x ∈ R. No está acotada superiormente. b) a^0 = 1, ax+y^ = axay, ax−y^ = ax/ay, (ax)y^ = axy. c) Si a > 1, entonces f es estrictamente creciente, l´ım x→−∞ ax^ = 0, l´ım x→+∞ ax^ = +∞.
d) Si 0 < a < 1, entonces f es estrictamente decreciente, (^) x→−l´ım∞ ax^ = +∞, (^) x→l´ım+∞ ax^ = 0.
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
20
Figura 3.6: Función exponencial con a > 1
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
20
Figura 3.7: Función exponencial con 0 < a < 1
Repaso de las funciones elementales 8
- Función logarítmica de base a > 0 (a 6 = 1): Es la función f : R+^ −→ R dada por f (x) = loga x = ln ln^ xa , para todo x ∈ R+. Coincide con la inversa para la composición de la función exponencial de base a. Algunas de sus propiedades son:
a) Es biyectiva de R+^ en R y continua. No está acotada ni superior ni inferiormente. b) loga(xy) = loga x + loga y, loga( xy ) = loga x − loga y, loga(xy) = y loga x. c) Si a > 1, loga es estrictamente creciente, l´ım x→ 0 +^
loga x = −∞, l´ım x→+∞ loga x = +∞. d) Si 0 < a < 1, loga es estrictamente decreciente, l´ım x→ 0 +^
loga x = +∞, l´ım x→+∞ loga x = −∞.
0.5 1 1.5^2 2.5 3
Figura 3.8: Función logaritmo con a > 1
1 2 3 4
2
4
6
Figura 3.9: Función logaritmo con 0 < a < 1
- Funciones seno y coseno: Son las funciones trigonométricas sen, cos : R −→ R.
a) Ambas son continuas en todo R. Sus recorridos coinciden con el intervalo [− 1 , 1 ], por lo que son funciones acotadas. No tienen límite ni en +∞ ni en −∞. b) Son periódicas, ya que: sen(x + 2 π) = sen(x), cos(x + 2 π) = cos(x) para todo x ∈ R. c) sen : [− π 2 , π 2 ] −→ [− 1 , 1 ] es biyectiva y estrictamente creciente. d) cos : [ 0 , π] −→ [− 1 , 1 ] es biyectiva y estrictamente decreciente. e) sen(x) = 0 si y sólo si x = kπ con k un número entero, sen(x) = 1 si y sólo si x = π 2 + 2 kπ con k un número entero, sen(x) = −1 si y sólo si x = 32 π + 2 kπ con k un número entero. f ) cos(x) = 0 si y sólo si x = π 2 + kπ con k un número entero, cos(x) = 1 si y sólo si x = 2 kπ con k un número entero, cos(x) = −1 si y sólo si x = ( 2 k + 1 )π con k un número entero. g) Seno es impar: sen(−x) = − sen(x) para todo x ∈ R. Coseno es par: cos(−x) = cos(x) para todo x ∈ R.
Repaso de las funciones elementales 10
- Funciones cosecante, secante y cotangente: Las soluciones de la ecuación sen(x) = 0 son x = kπ, con k número entero. Definimos el conjunto B = R − {kπ : k ∈ Z} y las funciones:
cosec : B −→ R, cosec(x) =
sen(x)
, para todo x ∈ B,
sec : A −→ R, sec(x) =
cos(x)
, para todo x ∈ A,
cotg : B −→ R, cotg(x) = cos(x) sen(x) , para todo x ∈ B.
- Función arcoseno: Es la inversa para la composición de la función sen : [− π 2 , π 2 ] → [− 1 , 1 ]. Por tanto, es la función arcsen : [− 1 , 1 ] −→ [− π 2 , π 2 ] definida de la siguiente manera: para cada y ∈ [− 1 , 1 ] se tiene que arc sen(y) es el único ángulo en el intervalo [− π 2 , π 2 ] cuyo seno coincide con y. Algunas propiedades son:
a) Es biyectiva, continua y estrictamente creciente. Es impar. b) arc sen(− 1 ) = −π/2, arc sen( 0 ) = 0, arc sen( 1 ) = π/2.
- Función arcocoseno: Es la inversa para la composición de la función cos : [ 0 , π] → [− 1 , 1 ]. Por tanto, es la función arc cos : [− 1 , 1 ] −→ [ 0 , π] definida de la siguiente manera: para cada y ∈ [− 1 , 1 ] se tiene que arc cos(y) es el único ángulo en el intervalo [ 0 , π] cuyo coseno coincide con y. Algunas propiedades de esta función son:
a) Es biyectiva, continua y estrictamente decreciente. b) arc cos(− 1 ) = π, arc cos( 0 ) = π/2, arc cos 1 = 0.
Figura 3.13: Las funciones arcoseno y arcocoseno
- Función arcotangente: Es la inversa para la composición de la función tg : (− π 2 , π 2 ) → R. Por tanto, es la función arc tg : R −→ (− π 2 , π 2 ) definida de la siguiente manera: para cada y ∈ R se tiene que arc tg(y) es el único ángulo en el intervalo (− π 2 , π 2 ) cuya tangente coincide con y.
a) Es biyectiva, continua, estrictamente creciente, impar y acotada. b) l´ımx→−∞ arc tg(x) = −π/2, arc tg( 0 ) = 0, arc tg(± 1 ) = ±π/4, l´ımx→+∞ arc tg(x) = π/2.
Repaso de límites 11
Figura 3.14: La función arcotangente
3.2.1. Identidades trigonométricas
Identidades pitagóricas
sen^2 (x) + cos^2 (x) = 1 , tg^2 (x) + 1 = sec^2 (x), cotg^2 (x) + 1 = cosec^2 (x).
Suma y diferencia de ángulos
sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x) sen(y), cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sen(x) sen(y),
tg(x ± y) = tg(x) ± tg(y) 1 ∓ tg(x) tg(y)
Ángulo doble
sen( 2 x) = 2 sen(x) cos(x), cos( 2 x) = 2 cos^2 (x) − 1 = cos^2 (x) − sen^2 (x).
Ángulo mitad
sen^2 (x) =
1 − cos( 2 x) 2 , cos^2 (x) =
1 + cos( 2 x) 2 , tg
( (^) x 2
1 − cos(x) sen(x)
sen(x) 1 + cos(x)
3.3. Repaso de límites
3.3.1. Definición de límite y propiedades
Representamos por N al conjunto de los números naturales. Una sucesión de números reales es una manera de hacer corresponder a cada número natural n ∈ N un único número real, que representamos por xn, y que llamamos término n-ésimo de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión { 1 /n} viene dada por la familia de números { 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 ,... }. El término 5-ésimo de esta sucesión es 1/5.
- Diremos que una sucesión {xn} tiende a un número real L si podemos hacer que todos los términos n-ésimos de la sucesión se aproximen tanto como queramos al número L sin más que tomar n suficientemente grande. Esto lo representamos por {xn} → L o por l´ımn→+∞ xn = L.
- Diremos que una sucesión {xn} tiende a +∞ si podemos hacer que todos los términos n-ésimos de la sucesión sean tan grandes como queramos sin más que tomar n suficientemente grande. Esto lo representamos por {xn} → +∞ o por l´ımn→+∞ xn = +∞.
Repaso de límites 13
si para cada sucesión de números reales {xn} con xn > x 0 y tal que {xn} → x 0 , se cumple que { f (xn)} → L.
La idea de los límites laterales consiste en estudiar hacia dónde tiende una función cuando nos acercamos a un punto por ambos lados del mismo. El siguiente resultado relaciona la existencia y el valor del límite de una función en un punto con la existencia y el valor de los límites laterales de la función en dicho punto.
Teorema 3.1. Sea f una función definida alrededor de un punto x 0 y L ∈ R ∪ {±∞}. Entonces se tiene: l´ım x→x 0 f (x) = L ⇐⇒ l´ım x→x 0 − f (x) = L y l´ım x→x+ 0
f (x) = L.
(el límite existe si y sólo si existen los dos límites laterales y son iguales).
Nota: los límites laterales en un punto x 0 hay que calcularlos cuando la función tiene distinta expresión analítica a la izquierda y a la derecha de x 0 (funciones a trozos). Cuando la función sólo está definida a un lado de x 0 hay que estudiar el límite lateral por ese lado y nada más.
Algunas propiedades de los límites (que son también válidas para límites laterales) son:
- l´ımx→x 0 ( f (x) + g(x)) = l´ımx→x 0 f (x) + l´ımx→x 0 g(x).
- l´ımx→x 0 (λ f (x)) = λ l´ımx→x 0 f (x).
- l´ımx→x 0 ( f (x) g(x)) = (l´ımx→x 0 f (x)) (l´ımx→x 0 g(x)).
- l´ımx→x (^0) g^ f^ ((xx)) = l´ımx→x 0 f (x) l´ımx→x 0 g(x) , siempre que l´ımx→x^0 g(x)^6 =^ 0.
- l´ımx→x 0 f (x)g(x)^ = (l´ımx→x 0 f (x))l´ımx→x^0 g(x).
Ejemplo: Sea p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 una función polinómica. Por la definición de límite y las propiedades, se obtiene fácilmente que:
l´ım x→x 0 p(x) = p(x 0 ),
es decir para calcular el límite de una función polinómica cuando x → x 0 , basta con evaluar la función polinómica en el punto x 0. Por ejemplo:
l´ım x→− 1 (− 2 x^2 + 5 x − 7 ) = − 2 (− 1 )^2 + 5 (− 1 ) − 7 = − 2 − 5 − 7 = − 14.
Ejemplo: Sea r(x) = p q((xx)) una función racional. Teniendo en cuenta el ejemplo anterior y las propiedades de los límites deducimos que si q(x 0 ) 6 = 0, entonces:
l´ım x→x 0 r(x) = r(x 0 ) = p(x 0 ) q(x 0 )
es decir, para calcular el límite de una función racional en un punto que no sea una raíz del denomi- nador, basta con evaluar la función en el punto. Por ejemplo:
l´ım x→ 0
x^3 − 1 2 x + 7
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3.3.2. Límites en el infinito
Hasta ahora hemos estudiado el comportamiento de una función en las cercanías de un punto x 0 ∈ R. Ahora estudiaremos el comportamiento que puede presentar una función cuando la variable x toma valores arbitrariamente grandes (x → +∞) o pequeños (x → −∞).
- Sea f : R → R una función y L ∈ R ∪ {±∞}. Decimos que
l´ım x→+∞ f (x) = L,
si para cada sucesión de números reales {xn} tal que {xn} → +∞ se cumple que { f (xn)} → L. Del mismo modo, diremos que
x→−l´ım∞ f^ (x) =^ L,
si para cada sucesión de números reales {xn} tal que {xn} → −∞ se cumple que { f (xn)} → L. Los límites cuando x → ±∞ cumplen las mismas propiedades que los límites cuando x → x 0.
Nota: para calcular l´ımx→−∞ f (x) se suele proceder de este modo: se calcula f (−x) y se calcula el l´ımx→+∞ f (−x). En otras palabras:
x→−l´ım∞ f^ (x) =^ xl´→ım+∞ f^ (−x).
3.3.3. Indeterminaciones. Técnicas básicas para calcular límites
Al calcular límites muchas veces nos encontramos con operaciones que involucran a 0 y ±∞. En algunas situaciones estas operaciones tienen resultados concretos pero en otras no. En este último caso estamos ante una indeterminación. El cálculo de límites está basado en técnicas que ayudan a resolver distintos tipos de indeterminaciones.
Algunas operaciones que involucran a ±∞ y tienen resultados concretos son las siguientes: a(±∞) = ±∞ si a > 0, a(±∞) = ∓∞ si a < 0. +∞ + ∞ = +∞, −∞ − ∞ = −∞. a + ∞ = +∞, a − ∞ = −∞, para todo a ∈ R. (+∞)(+∞) = +∞, (−∞)(−∞) = +∞, (+∞)(−∞) = −∞, (−∞)(+∞) = −∞. ±∞ 0 =^ ±∞,^
0 ±∞ =^ 0, a ±∞ =^ 0,^
a 0 =^ ±∞, para cualquier^ a^6 =^ 0. a+∞^ = +∞ si a > 1, a+∞^ = 0 si 0 < a < 1. a−∞^ = 0 si a > 1, a−∞^ = +∞ si 0 < a < 1. 0 +∞^ = 0, 0−∞^ = ±∞.
Las indeterminaciones (operaciones que involucran a 0 o ±∞ que no siempre dan el mismo resul- tado y que hay que estudiar en cada caso particular) son las siguientes:
De tipo suma: +∞ − ∞, −∞ + ∞. De tipo producto: 0 (±∞). De tipo cociente: 00 , ± ±∞∞. De tipo exponencial: (±∞)^0 , 0^0 , 1±∞.
Repaso de límites 16
deducimos que l´ım x→ 3 +^
( 2 x − 5 )^1 /(x−^3 )^ = e^2 ,
con lo que concluye este caso. Otro ejemplo es el siguiente:
l´ım x→+∞
x
)x = ( 1 +∞) = el´ımx→+∞^ x^ (^1 +^ (^1) x − 1 ) = el´ımx→+∞^ xx = e.
Ahora resolveremos algunas indeterminaciones que se pueden presentar cuando tomamos límite al tender x a ±∞ en funciones polinómicas y racionales.
Ejemplo: Si p(x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 es una función polinómica de grado n ≥ 1 (an 6 = 0), entonces l´ımx→+∞ p(x) puede dar lugar a una indeterminación del tipo +∞ − ∞ o −∞ + ∞. Este límite se puede calcular siempre haciendo uso de la siguiente regla:
x→l´ım+∞ p(x) = +∞^ si^ an^ >^0 ,
l´ım x→+∞ p(x) = −∞ si an < 0.
Para calcular l´ımx→−∞ p(x) usamos la regla anterior junto con el hecho comentado hace algunas pági- nas de que l´ımx→−∞ p(x) = l´ımx→+∞ p(−x). Por ejemplo:
l´ım x→−∞ (− 2 x^3 − 3 x + 7 ) = l´ım x→+∞ (− 2 (−x)^3 − 3 (−x) + 7 ) = l´ım x→+∞ ( 2 x^3 + 3 x + 7 ) = +∞,
ya que el coeficiente líder del polinomio es 2 > 0.
Ejemplo: Sea r(x) = p q((xx)) una función racional. Esto significa que p(x) es un polinomio de grado n, por ejemplo p(x) = anxn^ + · · · + a 0 y q(x) es un polinomio de grado m, por ejemplo q(x) = bmxm^ + · · · + b 0. Por el ejemplo anterior, al intentar calcular
x→l´ım+∞
p(x) q(x)
siempre se obtiene una indeterminación del tipo ± ±∞∞. Esta indeterminación se resuelve dividiendo numerador y denominador por la potencia más grande de x que aparezca en p(x) y en q(x). Este método da lugar a la siguiente regla (regla de los grados):
l´ım x→+∞
p(x) q(x)
= L,
donde L se determina según los siguientes casos:
L = 0 si m > n, es decir, el grado del denominador es más grande que el grado del numerador, L = ±∞ si n > m, es decir el grado del numerador es más grande que el del denominador. Además, el signo del ∞ coincide con el signo de an/bm, L = a bnn si n = m, es decir, cuando numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite coincide con el cociente entre los coeficientes líderes de ambos polinomios.
Repaso de límites 17
Veamos algunos ejemplos concretos de aplicación de la regla anterior.
l´ım x→+∞
− 2 x^2 + 1 x − 7
ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador y (− 2 )/1 es negativo.
l´ım x→+∞
−x^3 + 7 2 x^3 + 3
ya que numerador y denominador tienen el mismo grado y los coeficientes líderes son −1 y 2, respec- tivamente.
xl´→ım+∞
x x^2 + 1
ya que el grado del denominador es mayor que el del numerador. Para calcular el límite de una función racional r(x) cuando x → −∞ se usa l´ımx→−∞ r(x) = l´ımx→+∞ r(−x), y se aplica la regla de los grados para calcular l´ımx→+∞ r(−x). Veamos algunos ejemplos concretos:
l´ım x→−∞
− 2 x^2 + 1 x − 7
= l´ım x→+∞
− 2 (−x)^2 + 1 −x − 7
= l´ım x→+∞
− 2 x^2 + 1 −x − 7
x→−^ l´ım∞
−x^3 + 7 2 x^3 + 3 = (^) x→l´ım+∞ −(−x)^3 + 7 2 (−x)^3 + 3 = (^) x→l´ım+∞ x^3 + 7 − 2 x^3 + 3
x→−^ l´ım∞
x x^2 + 1 = (^) x→l´ım+∞
−x (−x)^2 + 1 = (^) x→l´ım+∞
−x x^2 + 1
Ejemplos: Ahora resolveremos algunas indeterminaciones cuando x → ±∞ para funciones con radicales. Bastará con aplicar conjuntamente algunas de las técnicas ya aprendidas.
l´ım x→+∞
x + 1 −
x) = (+∞ − ∞) = l´ım x→+∞
x + 1 −
x) (
x + 1 +
x) √ x + 1 +
x
= (^) x→l´ım+∞
x + 1 − x √ x + 1 +
x
= (^) x→l´ım+∞
x + 1 +
x
l´ım x→−∞
x^4 + 1 √ x^2 + 1
= l´ım x→+∞
(−x)^4 + 1 √ (−x)^2 + 1
= l´ım x→+∞
x^4 + 1 x^2 + 1
donde al final hemos usado la regla de los grados para calcular el límite de una función racional (la que está dentro de la raíz).
x→l´ım+∞
x^3 + 2 x + 1
= (^) x→l´ım+∞
x + 1
x^3
x^3
= (^) x→l´ım+∞
x x + 1
x
x^3
3.3.4. Estudio de las asíntotas de una función
En general, dada la gráfica de una función, una asíntota es una recta a la cual dicha gráfica se aproxima cada vez más. Ahora discutiremos con detalle y de forma más rigurosa los diferentes casos que se pueden presentar.
- Diremos que la recta {x = x 0 } es una asíntota vertical de una función f (x) si se cumple que l´ımx→x 0 f (x) = ±∞ (el límite puede ser lateral). Los puntos x 0 en los que una función presenta una
Repaso de continuidad 19
(i) Existe f (x 0 ), es decir, x 0 ∈ Dom( f ), (ii) Existe l´ımx→x 0 f (x) y es finito, (iii) l´ımx→x 0 f (x) = f (x 0 ).
- Nota: a diferencia del concepto de límite, la definición de continuidad exige que la función tiene que estar definida en el punto.
- Nota: la propiedad (iii) nos indica que los límites de funciones continuas se calculan evaluando directamente la función en el punto.
Definición: Se dice que una función f es discontinua en x 0 ∈ R si no es continua en x 0. Esto significa que f no cumple alguna de las 3 condiciones en la definición de continuidad. Según sea la propiedad que no se cumple clasificamos las discontinuidades en:
discontinuidad esencial cuando no se cumple (ii). discontinuidad evitable cuando se cumple (ii) pero falla (i) o (iii).
0.5 1 1.5 2
5
10
15
20
Figura 3.16: Una discontinuidad esencial
0.5 1 1.5 2
1
2
3
Figura 3.17: Una discontinuidad evitable
- Nota: un caso particular de discontinuidad esencial ocurre cuando los límites laterales de f en x 0 existen, son finitos, pero son distintos. En este caso hablamos de discontinuidad de salto finito.
- Nota: el nombre de discontinuidad evitable se debe a que podemos “reparar la discontinuidad”. Concretamente, si f presenta una discontinuidad evitable en x 0 , entonces la función f ∗, definida por f ∗(x) = f (x) si x 6 = x 0 y por f ∗(x 0 ) = l´ım x→x 0 f (x),
es una función continua en x 0. En una discontinuidad esencial no es posible la construcción de f ∗^ al no existir l´ımx→x 0 f (x).
Definición: Sea I un intervalo de R. Se dice que una función f es continua en I si f es continua en cada punto x 0 ∈ I.
Propiedades de las funciones continuas: Supongamos que f y g son funciones continuas en un intervalo I. Entonces:
- f + g es continua en I.
- λ f es continua en I, para todo λ ∈ R.
- f g es continua en I.
- (^) gf es continua en I, salvo en los puntos x ∈ I tales que g(x) = 0.
- Si f (x) > 0 para cada x ∈ I, entonces f g^ es continua en I.
Repaso de continuidad 20
- La composición g ◦ f es continua en I.
Ejemplos: Toda función polinómica p(x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 es continua en R al ser suma y producto de funciones continuas. Toda función racional r(x) = p(x)/q(x) es continua en R − {x : q(x) = 0 }. Las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en sus dominios de definición.
Ejemplo: Estudiar la continuidad en el punto x 0 = 0 de la función f : R → R dada por f (x) = (x^2 + 1 )
(^1) x si x < 0, f ( 0 ) = 1, y f (x) = x
2 x^2 +x si^ x^ >^ 0. Solución: Tendremos que comprobar si se cumplen las condiciones de la definición de con- tinuidad. En primer lugar, 0 ∈ Dom( f ) y, de hecho, f ( 0 ) = 1 por definición de f. Ahora debemos estudiar si existe l´ımx→ 0 f (x) y es finito. Como a ambos lados de x 0 = 0 la función tiene distintas expresiones analíticas entonces debemos calcular los límites laterales. Tenemos:
l´ım x→ 0 −^ f (x) = l´ım x→ 0 −^ (x^2 + 1 )
(^1) x = ( 1 −∞) indeter. = el´ımx→^0
(^1) x (x (^2) + 1 − 1 ) = el´ımx→^0 x^ = 1 ,
donde hemos aplicado el criterio 1±∞. Por otro lado:
l´ım x→ 0 +^
f (x) = l´ım x→ 0
x^2 x^2 + x
= l´ım x→ 0
x^2 x (x + 1 ) = l´ım x→ 0
x x + 1
Como los límites laterales son distintos se sigue que no existe l´ımx→ 0 f (x) y, por tanto, f presenta en x 0 = 0 una discontinuidad esencial. Como los límites laterales son finitos estamos, más concretamente, ante una discontinuidad de salto finito.
Ejemplo: Estudiar la continuidad en el punto x 0 = −1 de la función f : R → R dada por f (x) = (x^2 + 1 ) si x 6 = −1, f (− 1 ) = 2008.
Solución: Procedemos como en el caso anterior. En primer lugar existe f (− 1 ) y su valor es 2008. Veamos si existe l´ımx→− 1 f (x). En este caso la expresión de la función a ambos lados de x 0 = −1 es la misma, por lo que no tenemos que calcular límites laterales. Se tiene:
l´ım x→− 1 f (x) = l´ım x→− 1 (x^2 + 1 ) = (− 1 )^2 + 1 = 2.
Por tanto el límite existe y es finito. Por último, como f (− 1 ) = 2008 y l´ımx→− 1 f (x) = 2, deducimos que f presenta una discontinuidad evitable en x 0 = −1.
Terminaremos este tema con tres resultados donde se ponen de manifiesto algunas propiedades relevantes de las funciones continuas.
Teorema 3.2 (Conservación del signo). Si f : I → R es una función continua sobre un intervalo abierto I, y x 0 es un punto de I en el que f (x 0 ) 6 = 0 , entonces existe un entorno abierto B(x 0 , r) en el que el signo de f (x) es el mismo signo que el de f (x 0 ).
Teorema 3.3 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una función continua en un intervalo [a, b] de forma que f (a) 6 = f (b). Entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b), es decir, para cada y en el intervalo determinado por f (a) y f (b), existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = y.
Una de las aplicaciones más conocidas del resultado anterior es la siguiente:
