Formulari de Matem`atiques: funcions, derivades i integrals
J. Ripoll, Universitat de Girona, Facultat de Ciencies.
1. Una funci´o y=f(x) ´es una relaci´o entre dues variables de manera que per cada valor de x(variable
independent) s’assigna un sol valor de y(variable dependent). Gr`afiques. Eixos de coordenades.
2. Exemples de funcions (a, b, c par`ametres): funcions polin`omiques com rectes y=ax +b, par`aboles
y=ax2+bx +c, etc., funcions exponencials i logar´ıtmiques y=exiy= ln(x) amb e= 2.718281· ··,
y=axiy= loga(x) amb a > 0, a 6= 1, i funcions peri`odiques com y= sin(ax) i cos(ax).
3. El logaritme ´es la funci´o inversa de l’exponencial: y=ex↔x= ln y,y=ax↔x= logay.
4. Propietats de exp. & log: ax·ay=ax+y,ax
ay=ax−y,a0= 1, (ax)y=ax y , loga(x·y) = logax+ logay,
logax
y= logax−logay, loga(xb) = b·logax, loga1 = 0, √a=a1/2.
5. Conversi´o entre exp. & log: ax=exln a, logay=ln y
ln a, (a > 0, a 6= 1).
6. La derivada d’una funci´o representa el canvi infinitesimal de la funci´o respecte de la seva variable.
La derivada en un punt f0(x0) ens diu com varia la funci´o en aquell punt x0i ens d´ona la direcci´o que
segueix la funci´o. Taxa instant`ania de canvi: dy
dx = lim
∆x→0
∆y
∆x=f0(x0) ´es la variaci´o de la variable
dependent yrespecte de la variaci´o arbitr`ariament petita de la variable independent x.
7. Equaci´o de la recta tangent a una funci´o f(x) en un punt x0:y=f0(x0)(x−x0) + f(x0).
8. Derivades b`asiques. La derivada d’un polinomi del tipus f(x) = xn, on n≥0 ´es el grau del polinomi,
´es f0(x) = nxn−1que ´es un polinomi d’un grau menys. La derivada de l’exponencial ´es ella mateixa, si
f(x) = exllavors f0(x) = ex. La funci´o logaritme compleix que f(x) = ln xif0(x)=1/x. En derivar
les funcions sinus i cosinus, s’intercanvien entre elles llevat d’un signe, concretament: si f(x) = sin x
llavors f0(x) = cosx, i si f(x) = cosxllavors f0(x) = −sin x.
9. Regles de derivaci´o I. Un factor constant multiplicant es pot treure fora de la derivada i la derivada
d’una suma ´es suma de derivades. Combinant les dues regles tenim que si y=af(x) + bg(x) llavors
y0=af0(x) + bg0(x), on a, b s´on par`ametres.
10. Regles de derivaci´o II. La derivada d’un producte ´es la derivada del primer pel segon sense derivar
m´es la derivada del segon pel primer sense derivar, (u·v)0=u0·v+v0·u. La derivada d’una divisi´o
´es igual per`o restant i dividint pel segon sense derivar al quadrat, (u/v)0= (u0·v−v0·u)/v2
11. Magnituds encadenades x7→ y7→ z. Regla de la cadena dz
dx =dz
dy ·dy
dx , la variaci´o de zrespecte de x
´es igual a la variaci´o de zrespecte de yper la variaci´o de yrespecte de x. Exemple: y= 40e−0.1xi
z=y2−1, llavors dz
dx = (2y)(−0.1·40e−0.1x).
12. Derivada de la funci´o inversa: dx
dy =1
f0(x).
13. Una funci´o ´es creixent en un punt x0si f(x)−f(x0)
x−x0≥0. Una funci´o derivable ´es creixent si f0(x0)≥0.
´
Idem per funci´o decreixent canviant la desigualtat per ≤.
14. El punt x0´es un m´ınim local (o relatiu) de la funci´o si f(x)≥f(x0) per xen un entorn de x0. Aquest
punt, no ´es necess`ariament ´unic. ´
Idem per m`axim local (o relatiu) canviant la desigualtat per ≤.
15. Donada una funci´o derivable f(x), si x0´es un punt d’inflexi´o de la funci´o llavors f00(x0) = 0.
