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Las definiciones e imágenes de diferentes tipos de funciones, incluyendo polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas. También se tratan los conceptos de operaciones entre funciones, simetría, monotonía y funciones inversas.
Tipo: Resúmenes
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Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Domini. Imatge Operacions Propietats
Donada la funci´o f : A → R, A ⊆ R, el domini i la imatge de f s´on els conjunts:
Domf = {x ∈ R / ∃y ∈ R : f (x) = y} = A Imf = {y ∈ R / ∃x ∈ R : f (x) = y}
f (x) = ln(x + 1)
Domf = {x ∈ R / x + 1 > 0 } = (− 1 , +∞)
f (x) =
x
(x − 3)^2
Domf = {x ∈ R / x − 3 6 = 0} = R \ { 3 }
f (x) =
4 − x^2
Domf = {x ∈ R / 4 − x 2 ≥ 0 } = [− 2 , 2]
f (x) = ln
x + 1 √ 4 − x^2
Domf = {x ∈ R /
x + 1 √ 4 − x 2
0 i 4 − x 2 0 } =
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Domini. Imatge Operacions Propietats
Sigui f : A ⊆ R → R
f ´es parella ⇐⇒ ∀x ∈ Domf f (−x) = f (x) La grafica ´es simetrica respecte a l’eix OY.
f ´es senar⇐⇒ ∀x ∈ Domf f (−x) = −f (x) La grafica ´es simetrica respecte a l’origen
f ´es creixent en A ⊆ Domf , si ∀x 1 , x 2 ∈ A x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 )
estrictament creixent <
f ´es decreixent en A ⊂ Domf , si ∀x 1 , x 2 ∈ A x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 )
estrictament decreixent >
f ´es (estrict) mon`otona en A si ´es (estric) creixent o (estric) decreixent en A.
f ´es fitada ⇐⇒ ∃K ∈ R tal que |f (x)| ≤ K ∀x ∈ [a, b]
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Polin`omiques:
p(x) = anx n
Domf = R
Exponencials f (x) = ax, a > 0
Domf = R
Logar´ıtmiques
f (x) = loga(x), a > 0 Domf = (0, +∞)
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Inverses de trigonom`etriques:
f −^1 (x)= arcsin(x)
Domf − 1 = [− 1 , 1] Imf −^1 = [−π/ 2 , π/2]
g − 1 (x) = arccos(x)
Domg − 1 = [− 1 , 1] Img − 1 = [0, π]
h−^1 (x) =arctan(x)
Domh − 1 = R Imh − 1 = (−π/ 2 , π/2)
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Valor absolut
|x|=
x si x ≥ 0
−x si x < 0
Domf = R
Imf = [0, +∞)
Part entera
bxc =
− 1 si − 1 ≤ x < 0
0 si 0 ≤ x < 1
1 si 1 ≤ x < 2
· · ·
Domf = R
Imf = Z
Heaviside
u(x) =
1 si x ≥ 0
0 si x < 0
Domf = R
Imf = { 0 , 1 }
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Injectiva. Exhaustiva Bijectiva. Funci´o inversa
Funci´o exhaustiva. Sigui f : A → B. f ´es exhaustiva ⇐⇒ Imf =B
Funci´o injectiva. Sigui f : A → B f ´es injectiva en A ⇐⇒
∀x 1 , x 2 ∈ A f (x 1 ) = f (x 2 ) =⇒ x 1 = x 2 ⇐⇒ x 1 6 = x 2 =⇒ f (x 1 ) 6 = f (x 2 )
Funci´o bijectiva. Direm que la funci´o f ´es bijectiva ⇐⇒
f ´es injectiva
f ´es exhaustiva
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Injectiva. Exhaustiva Bijectiva. Funci´o inversa
Sigui f : A → B i y ∈ B
f −^1 (y) = {x ∈ A : f (x) = y} ´es el conjunt de les antiimatges de y
f − 1 no ´es una funci´o
f no seria injectiva i no tindria inversa
x^2 : R → R+
2 7 → 4 − 2 ↗
x 2 : R
→ R
2 7 → 4
x : R
→ R
x 2 : R − → R
x : R
→ R −
4 7 → − 2
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Injectiva. Exhaustiva Bijectiva. Funci´o inversa
Les funcions trigonom`etriques no s´on injectives.
Com definir doncs, les funcions inverses trigonom`etriques? Per conveni, restringim els dominis als intervals seg¨uents:
[−π/ 2 , π/2]
sin(x) → [− 1 , 1] arcsin(x) ←
[0, π]
cos(x) → [− 1 , 1] arccos(x) ←
(−π/ 2 , π/2)
tan(x) → R arctan(x) ←
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
Injectiva. Exhaustiva Bijectiva. Funci´o inversa
Exemple. Demostreu que la funci´o f (x) =
2 x + 1 ´es injectiva. Trobeu f − 1 .
Domf = {x ∈ R : 2x + 1 ≥ 0 } = [− 1 / 2 , +∞), Imf = [0, +∞)
f ´es injectiva:
2 x 1 + 1 =
2 x 2 + 1 =⇒ x 1 = x 2
y =
2 x + 1 =⇒ y 2 = 2x + 1 =⇒ x =
y 2 − 1
2
=⇒ f − 1 (x) =
x 2 − 1
2
Exemple. Raoneu si la funci´o f (x) =
x 2
sin(x 2 ) + 2
− 3 ´es o no invertible.
Domf = R, ates que f esta ben definida a tot R (sin(x 2 ) + 2 6 = 0).
A m´es, observem que t´e simetria parell i, per tant, trobem punts diferents (x 0 6 = −x 0 )
amb la mateixa imatge (f (x 0 ) = f (−x 0 )).
f (−x) =
(−x)^2 + 2
sin(−x)^2 ) + 2
− 3 = f (x) =⇒ f parell =⇒ f no injectiva
=⇒ f no invertible
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
As´ımptota horitzontal. Si es compleix: lim x→±∞
f (x) = b
La recta y = b ´es una as´ımptota horitzontal, AH
Ex. f (x) = arctan x Domf = R
lim x→+∞
arctan x = π/2 =⇒ la recta y = π/ 2 ´es AH quan x → +∞
lim x→−∞
arctan x = −π/2 =⇒ la recta y = −π/ 2 ´es AH quan x → −∞
Funcions elementals Funci´o inversa As´ımptotes
As´ımptota obl´ıqua. Si es compleix:
lim x→±∞
(f (x) − (mx + b)) = 0
La recta y = mx + b ´es una as´ımptota obl´ıqua, AO, on m i b es calculen:
m = lim x→±∞
f (x)
x
, b = lim x→±∞
(f (x) − mx)
Ex. f (x) =
1 + x^2 Domf = R
lim x→+∞
1 + x 2
x
= 1, lim x→+∞
1 + x^2 − x) = 0
=⇒ y = x AO quan x → +∞
lim x→−∞
1 + x^2
x
= − 1 , lim x→−∞
1 + x^2 + x) = 0
=⇒ y = −x AO quan x → −∞
